[PDF] Correction : montrer quune suite est ou nest pas arithmétique

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Correction : montrer qu"une suite est ou n"est pas arithmétique www.bossetesmaths.com ?Exercice 1 (Montrer qu"une suite n"est pas arithmétique) Pour montrer que la suite (un) n"est pasarithmétique, on calcule les 3 premiers termes. a)Pour toutn?N,u n=-4n+6n2. u

0=-4×0+6×02=0

u

1-u0=2-0=2 etu2-u1=16-2=14. 2?=14 doncu1-u0?=u2-u1

donc la suite (un) n"est pas arithmétique. b)Pour toutn?N,u n=2?n+1. u 0=2? u

1-u0=3-1=2 etu2-u1=2?

2+1-3=2?2-2≈0,8.

2?=0,8 doncu1-u0?=u2-u1

donc la suite (un) n"est pas arithmétique. c)Pour toutn?N?,u n=1n-2. u 1=1

1-2=1-2= -1;u2=12-2=12-42= -32;u3=13-2=13-63= -53.

u

2-u1=-3

2-(-1)=-32+1=-32+22=-12etu3-u2=-53-?

-32? =-53+32=-106+96=-16. 1

2?=-16doncu2-u1?=u3-u2donc la suite (un) n"est pas arithmétique.

d) ?u 0=-2 u n+1=4un+1 pour toutn?N. u 0= -2 ;u1=4u0+1=4-2+1=-2+1= -1;u2=4u1+1=4-1+1=-4+1= -3. u

1-u0=-1-(-2)=-1+2=1 etu2-u1=-3-(-1)=-3+1=-2.

1?=-2 doncu1-u0?=u2-u1

donc la suite (un) n"est pas arithmétique. ?Exercice 2 (Montrer qu"une suite est arithmétique)

Pour montrer que la suite (un) estarithmétique, on calculeun+1-unpour tout entiernet on constate que

le résultat obtenu est constant (cette constante est la raison de la suite). a)Pour toutn?N,u n=-4n+5.

Soitn?N.u

n+1-un=-4(n+1)+5-(-4n+5)=-4n-4+5+4n-5=-4 donc la suite (u n) est arithmétique de raison-4.

Premier terme

:u0=-4×0+5=0+5=5. b)Pour toutn?N,u n=5-30n.

Soitn?N.u

donc la suite (u n) est arithmétique de raison-30.

Premier terme

:u0=5-30×0=5-0=5. c)Pour toutn?N,u n=2n-73.

Soitn?N.u

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un+1-un=23donc la suite (un) est arithmétique de raison23.

Premier terme

:u0=2×0-73=0-73= -73. d) ?u 0=3 u n+1=6+unpour toutn?N. Soitn?N. D"après la relation de récurrence, commeu n+1=6+unalorsun+1-un=6 donc la suite (u n) est arithmétique de raison 6.

Premier terme

:u0=3. ?Exercice 3 (Avec une suite auxiliaire) a)On considère la suite (un) définie par :???u 0=3 u n+1=4-4unpour toutn?N.

On introduit la suite (v

n) définie pour toutn?Npar :vn=1un-2.

Soitn?N.v

n+1=1un+1-2=14-4un-2=12-4un =12un un-4un =12un-4 un =1×un

2un-4=u

n 2un-4 ainsi, en factorisant par 2 au dénominateur, on obtient :v n+1=un

2(un-2).

Alorsv

n+1-vn=un

2(un-2)-1un-2=u

n

2(un-2)-22(un-2)=u

n-2

2(un-2)=1(u

n-2)

2(un-2)=12.

Donc la suite (v

n) est arithmétique de raison12.

Premier terme

:v0=1u0-2=13-2=11=1. b)On considère la suite (u n) définie par :???u 0=1 u n+1=5un-1

4un+1pour toutn?N.

On introduit la suite (v

n) définie pour toutn?Npar :vn=22un-1.

Soitn?N.v

n+1=22un+1-1=22×5un-1

4un+1-1=2

10un-2

4un+1-4u

n+1

4un+1=

2

10un-2-(4un+1)

4un+1 v n+1=210un-2-4un-1

4un+1=

2 6un-3

4un+1=2×4u

n+1

6un-3=8u

n+2

6un-3=8u

n+2

3(2un-1)(en factorisant par 3 au déno-

minateur).

Alorsv

n+1-vn=8un+2

3(2un-1)-22un-1=8u

n+2

3(2un-1)-3×23(2un-1)=8u

n+2

3(2un-1)-63(2un-1)=8u

n+2-6

3(2un-1)

v n+1-vn=8un-4

3(2un-1)=4(2u

n-1)

3(2un-1)=43(en factorisant par 4 au numérateur puis en simplifiant par

2u n-1).

Donc la suite (v

n) est arithmétique de raison43.

Premier terme

:v0=22u0-1=22×1-1=22-1=21=2.

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