Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base
C'est comme dans R3 sauf qu'ici les coefficients sont des nombres complexes. Indication pour l'exercice 5 ?. Il suffit de montrer que la famille est libre (
Cours de mathématiques - Exo7
Enfin nous avons déjà vu que cette multiplication n'est pas commutative. Mini-exercices. 1. Montrer que (R?. +×) est un groupe commutatif.
Corrigé du TD no 11
Montrer que f = g. Réponse : Rappelons d'abord le résultat suivant : tout nombre réel est limite d'une suite de nombres rationnels autrement dit
Corrigé du TD no 9
Montrer à partir de la définition donnée en cours
Suites 1 Convergence
Montrer que toute suite convergente est bornée. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000506]. Exercice 2. Montrer qu'une suite d'entiers qui converge
Réduction
Exercice 9 *** I. Soient f et g deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie vérifiant fg?gf = f. Montrer que f est nilpotent. Correction ?. [
fic00020.pdf
Exercice 25. Soit G un groupe commutatif. Montrer que l'ensemble des éléments d'ordre fini de G forme un sous-groupe de. G. Indication ?.
TD3 – Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables Exercice
Montrer d'après la definition que la fonction : f(x y) = x2 + y2 est différentiable dans R2. Calculer la différentielle. Solution. La fonction f est
Arithmétique dans Z
Exercice 4. Démontrer que le nombre 7n +1 est divisible par 8 si n est impair; dans le cas n pair donner le reste de sa division par 8. Indication ?.
Exo7 - Exercices de mathématiques
Démontrer que (1 = 2) ? (2 = 3). Correction ?. [000105]. Exercice 3. Soient les quatre assertions suivantes : (
Suites
1 Convergence
Exercice 1Montrer que toute suite convergente est bornée. Montrer qu"une suite d"entiers qui converge est constante à partir d"un certain rang.Montrer que la suite(un)n2Ndéfinie par
u n= (1)n+1n n"est pas convergente. Soit(un)n2Nune suite deR. Que pensez-vous des propositions suivantes : Si(un)nconverge vers un réel`alors(u2n)net(u2n+1)nconvergent vers`. Si(u2n)net(u2n+1)nsont convergentes, il en est de même de(un)n. Si(u2n)net(u2n+1)nsont convergentes, de même limite`, il en est de même de(un)n. Soitqun entier au moins égal à 2. Pour toutn2N, on poseun=cos2npq 1.Montrer que un+q=unpour toutn2N.
2. Calculer unqetunq+1. En déduire que la suite(un)n"a pas de limite.SoitHn=1+12
++1n 1. En utilisant une intégrale, montrer que pour tout n>0 :1n+16ln(n+1)ln(n)61n 2.En déduire que ln (n+1)6Hn6ln(n)+1.
3.Déterminer la limite de Hn.
4. Montrer que un=Hnln(n)est décroissante et positive. 15.Conclusion ?
On considère la fonctionf:R!Rdéfinie par
f(x) =x39 +2x3 +19 et on définit la suite(xn)n>0en posantx0=0 etxn+1=f(xn)pourn2N: 1. Montrer que l"équation x33x+1=0 possède une solution uniquea2]0;1=2[: 2.Montrer que l"équation f(x) =xest équivalente à l"équationx33x+1=0 et en déduire queaest
l"unique solution de l"équationf(x) =xdans l"intervalle[0;1=2]: 3. Montrer que la fonction fest croissante surR+et quef(R+)R+. En déduire que la suite(xn)est croissante. 4. Montrer que f(1=2)<1=2 et en déduire que 06xn<1=2 pour toutn>0: 5.Montrer que la suite (xn)n>0converge versa:
Exercice 8Posonsu2=112
2et pour tout entiern>3,
u n= 1122 113
2 11n 2
Calculerun. En déduire que l"on a limun=12
Déterminer les limites lorsquentend vers l"infini des suites ci-dessous ; pour chacune, essayer de préciser en
quelques mots la méthode employée. 1.1 ; 12
;13 ;:::;(1)n1n 2.2 =1 ; 4=3 ; 6=5 ;:::; 2n=(2n1);:::
3.0 ;23 ; 0;233 ;:::; 0;2333 ;:::
4. 1n 2+2n2++n1n
2 5. (n+1)(n+2)(n+3)n 3 6.1+3+5++(2n1)n+12n+12
7. n+(1)nn(1)n 2 8.2n+1+3n+12
n+3n 9.1=2+1=4+1=8++1=2npuisp2 ;
q2 p2 ; r2 q2 p2 ;::: 10. 113+19 127
++(1)n3 n 11. pn+1pn 12. nsin(n!)n 2+1 13.
Démontrer la formule 1 +22+32++n2=16
n(n+1)(2n+1); en déduire limn!¥1+22+32++n2n 3.On considère les deux suites :
u n=1+12! +13! ++1n!;n2N; v n=un+1n!;n2N:Montrer que(un)net(vn)nconvergent vers une même limite. Et montrer que cette limite est un élément de
RnQ. Soita>0. On définit la suite(un)n>0paru0un réel vérifiantu0>0 et par la relation u n+1=12 u n+au nOn se propose de montrer que(un)tend verspa.
1.Montrer que
u n+12a=(un2a)24un2: 2. Montrer que si n>1 alorsun>papuis que la suite(un)n>1est décroissante. 3.En déduire que la suite (un)converge verspa.
4. En utilisant la relation un+12a= (un+1pa)(un+1+pa)donner une majoration deun+1paen fonction deunpa. 5.Si u1pa6ket pourn>1 montrer que
u npa62pa k2 pa 2n1 6.Application : Calculer
p10 avec une précision de 8 chiffres après la virgule, en prenantu0=3.Soientaetbdeux réels,a Soient u0etv0des réels strictement positifs avecu0 Indication pourl"exer cice1 NÉcrire la définition de la convergence d"une suite(un)avec les "e". Comme on a une proposition qui est vraie pour toute>0, c"est en particulier vrai poure=1. Cela nous donne un "N". Ensuite séparez la suite en deux : regardez lesn constante.Indication pourl"exer cice3 NOn prendra garde à ne pas parler de limite d"une suite sans savoir au préalable qu"elle converge ! Vous pouvez utiliser le résultat du cours suivant : Soit(un)une suite convergeant vers la limite`alors toute sous-suite(vn)de(un)a pour limite`.Indication pourl"exer cice4 NDans l"ordre c"est vrai, faux et vrai. Lorsque c"est faux chercher un contre-exemple, lorsque c"est vrai il faut le prouver.Indication pourl"exer cice5 NPour la deuxième question, raisonner par l"absurde et trouver deux sous-suites ayant des limites distinctes. Pour chacune des majorations, il s"agit de f airela somme de l"inég alitéprécédente et de s"aperce voirque Que f aitune suite décroissante et minorée ? Indication pourl"exer cice7 NPour la première question : attention on ne demande pas de calculera! L"existence vient du théorème des Pour la dernière question : il faut d"une part montrer que(xn)converge et on note`sa limite et d"autre part il avec des entiers.Indication pourl"exer cice11 N1.C"est un calcul de réduction au même dénominateur . suffit pour la précision demandée.Indication pourl"exer cice12 NPourlapremièrequestionetlamonotonieilfautraisonnerparrécurrence. Pourlatroisièmequestion, remarquer que sifest décroissante alorsffest croissante et appliquer la première question.Indication pourl"exer cice13 N1.Re garderce que donne l"inég alitéen éle vantau carré de chaque coté. Une suite croissante et majorée con verge; une suite décroissante et minorée aussi. Indication pourl"exer cice14 NOn noterafn:[0;1]!Rla fonction définie parfn(x) =ånk=1xk1: On sait que fn(an) =0. Montrer par un calcul quefn(an1)>0, en déduire la décroissance de(an). En Donc la suite(un)est stationnaire (au moins) à partir deN. En prime, elle est bien évidemment convergente vers`=a2N.Correction del"exer cice3 NIl est facile de se convaincre que(un)n"a pas de limite, mais plus délicat d"en donner une démonstration formelle. En effet, dès lors qu"on ne sait pas qu"une suite(un)converge, on ne peut pas écrire limun, c"est un n"a pas de sens. Par contre voilà ce qu"on peut dire :Comme la suite1=n tend vers0quand n!¥, la suite nest convergente si et seulement si la suite(1)nl"est. De plus, dans le cas où elles sont toutes les deux convergentes, elles ont même limite.Cette affirmation provient tout simplement du théorème suivant Théorème: Soient(un)et(vn)deux suites convergeant vers deux limites`et`0. Alors la suite(wn)définie par De plus, il n"est pas vrai que toute suite convergente doit forcément être croissante et majorée ou décroissante et minorée. Par exemple,(1)n=nest une suite qui converge vers 0 mais qui n"est ni croissante, ni décroissante. Supposons donc par l"absurde qu"elle soit convergente et notons`=limn!¥un. (Cette expression a un sens Rappel.Unesous-suitede(un)(on dit aussisuite extraitede(un)) est une suite(vn)de la formevn=uf(n)où fest une application strictement croissante deNdansN. Cette fonctionfcorrespond "au choix des indices qu"on veut garder" dans notre sous-suite. Par exemple, si on ne veut garder dans la suite(un)que les termes Théorème: Soit(un)une suite convergeant vers la limite`(le théorème est encore vrai si`= +¥ou`=¥). Correction del"exer cice4 N1.Vrai. T outesous-suite d"une sui tecon vergenteest con vergenteet admet la même limite (c"est un résultat L"autre inégalité s"obtient de la façon similaire en utilisant l"inégalité ln(k+1)ln(k)61k La s uite(un)est décroissante et minorée (par 0) donc elle converge vers un réelg. Ce réelgs"appellela constante d"Euler(d"après Leonhard Euler, 1707-1783, mathématicien d"origine suisse). Cette constante vaut environ 0;5772156649:::mais on ne sait pas sigest rationnel ou irrationnel.Correction del"exer cice7 N1.La fonction polynomiale P(x):=x33x+1 est continue et dérivable surRet sa dérivée estP0(x) =02[a;b]et pour toutn2N;un+1=f(un):
3 1.On suppose ici que fest croissante. Montrer que(un)nest monotone et en déduire sa convergence vers
une solution de l"équationf(x) =x. 2.Application.Calculer la limite de la suite définie par :
u 0=4 et pour toutn2N;un+1=4un+5u
n+3: 3. On suppose maintenant que fest décroissante. Montrer que les suites(u2n)net(u2n+1)nsont monotones et convergentes. 4.Application.Soit
u 0=12 et pour toutn2N;un+1= (1un)2: Calculer les limites des suites(u2n)net(u2n+1)n.
1. Soient a;b>0. Montrer quepab6a+b2
2. Montrer les inég alitéssui vantes( b>a>0) :
a6a+b2 6beta6pab6b:
3. Montrer que un6vnquel que soitn2N.
(b) Montrer que (vn)est une suite décroissante.
(c) Montrer que (un)est croissante En déduire que les suites(un)et(vn)sont convergentes et quelles ont même limite. Soitn>1.
1. Montrer que l"équation
nå k=1xk=1 admet une unique solution, notéean, dans[0;1]. 2. Montrer que (an)n2Nest décroissante minorée par12 3. Montrer que (an)converge vers12
Indication pour
l"exer cice 6 N1.En se rappelant que l"intégrale calcule une aire montrer :
1n+16Z
n+1 ndtt 61n
2. La limite est +¥.
4. Calculer un+1un.
5. 2=(k1)(k+1)k:k. Puis simplifier l"écriture deun.Indication pourl"exer cice10 N1.Montrer que (un)est croissante et(vn)décroissante.
5 2.Montrer que (un)est majorée et(vn)minorée. Montrer que ces suites ont la même limite.
3. Raisonner par l"absurde : si la limite `=pq
alors multiplier l"inégalitéuq6pq 6vqparq! et raisonner
Pour montrer la décroisance, montrer
un+1u n61. 3. Montrer d"abord que la suite con verge,montrer ensuite que la limite est pa. 4. Penser à écrire u2n+1a= (un+1pa)(un+1+pa).
5. Raisonner par récurrence.
6. Pour u0=3 on au1=3;166:::, donc 36p106u1et on peut prendrek=0:17 par exemple etn=4 Petites manipulations des inég alités.
3. (a) Utiliser 1.
(b) Utiliser 2.
(c) C"est une étude de la fonction fn.
2. 6`
Conclure.6
Correction del"exer cice1 NSoit(un)une suite convergeant vers`2R. Par définition 8e>09N2N8n>Njun`j
La convergence de(un)s"écrit :
8e>09N2Ntel que(n>N) jun`j
Fixonse=12
, nous obtenons unNcorrespondant. Et pourn>N,un2I. Mais de plusunest un entier, donc n>N)un2I\N: En conséquent,I\Nn"est pas vide (par exempleuNen est un élément) doncI\N=fag. L"implication précédente s"écrit maintenant : n>N)un=a: Alors, toute sous-suite(vn)de(un)a pour limite`.
Par conséquent, ici, on a que limvn=`et limwn=`donc`=1 et`=1 ce qui est une contradiction. L"hypothèse disant que(un)était convergente est donc fausse. Donc(un)ne converge pas. 7 8e>09N2Ntel que(n>N) jun`j
2p>N1) ju2p`j
2p+1>N2) ju2p+1`j
=cos(2np) =1=u0etunq+1=cos2(nq+1)pq =cos2pq =u1. Supposons, par l"absurde que(un)converge vers`. Alors la sous-suite(unq)nconverge vers`commeunq=u0=1 pour toutnalors`=1. D"autre part la sous-suite(unq+1)nconverge aussi vers`, maisunq+1=u1=cos2pq donc`=cos2pq . Nous obtenons une contradiction car pourq>2, nous avons cos2pq SoitN=max(N1;N2), alors
n>N) jun`j6=1. Donc la suite
(un)ne converge pas.Correction del"exer cice6 N1.La fonction t7!1t est décroissante sur[n;n+1]donc 1n+16Z
n+1 ndtt 61n
par l"aire de deux rectangles.) Par calcul de l"intégrale nous obtenons l"inégalité : 1n+16ln(n+1)ln(n)61n
2.Hn=1n
+1n1++12 +1, nous majorons chaque terme de cette somme en utilisant l"inégalité1k 6 ln(k)ln(k1)obtenue précédemment : nous obtenonsHn6ln(n)ln(n1)+ln(n1)ln(n2)+ ln(2)+ln(2)ln(1)+1. Cette somme est télescopique (la plupart des termes s"éliminent et en plus ln(1) =0) et donneHn6ln(n)+1. 3.Comme Hn>ln(n+1)et que ln(n+1)!+¥quandn!+¥alorsHn!+¥quandn!+¥.
4.un+1un=Hn+1Hnln(n+1)+ln(n) =1n+1(ln(n+1)ln(n))60 d"après la première question.
Doncun+1un60. Ainsiun+16unet la suite(un)est décroissante. Enfin commeHn>ln(n+1)alorsHn>ln(n)et doncun>0.
5. 3x23;qui est strictement négative sur]1;+1[:Par conséquentPest strictement décroissante sur
]1;+1[:CommeP(0) =1>0 etP(1=2) =3=8<0 il en résulte grâce au théorème des valeurs intermédiaires qu"il existe un réel uniquea2]0;1=2[tel queP(a) =0: 2. Comme f(x)x= (x33x+1)=9 il en résulte queaest l"unique solution de l"équationf(x) =xdans ]0;1=2[: 3. Comme f0(x) = (x2+2)=3>0 pour toutx2R;on en déduit quefest strictement croissante surR: Commef(0) =1=9 et limx!+¥f(x) = +¥;on en déduit quef(R+) = [1=9;+¥[:Commex1=f(x0) = 1=9>0 alorsx1>x0=0 ;fétant strictement croissante surR+;on en déduit par récurrence que
x n+1>xnpour toutn2Nce qui prouve que la suite(xn)est croissante. 4. Un calcul simple montre que f(1=2)<1=2:Comme 0=x0<1=2 et quefest croissante on en déduit par récurrence quexn<1=2 pour toutn2N(en effet sixn<1=2 alorsxn+1=f(xn)
la question 2, on en déduit que`=aet donc(xn)converge versa:Correction del"exer cice8 NRemarquons d"abord que 11k
2=1k2k
2=(k1)(k+1)k:k. En écrivant les fractions deunsous la cette forme,
l"écriture va se simplifier radicalement: uTous les termes des numérateurs se retrouvent au dénominateur (et vice-versa), sauf aux extrémités. D"où:
u n=12 n+1nDonc(un)tends vers12
lorsquentend vers+¥.Correction del"exer cice9 N1.0. 2. 1. 3.7 =30.
94.1 =2.
5. 1.6.3=2.
7. 1. 8. 3. 9.1 ; 2.
10. 3 =4. 11. 0. 12. 0. 13.1 =3.Correction del"exer cice10 N1.La suite (un)est strictement croissante, en effetun+1un=1(n+1)!>0. La suite(vn)est strictement
décroissante : v 1): Donc à partir den>2, la suite(vn)est strictement décroissante. 2. Comme un6vn6v2, alors(un)est une suite croissante et majorée. Donc elle converge vers`2R. Demêmevn>un>u0, donc(vn)est une suite décroissante et minorée. Donc elle converge vers`02R. De
plusvnun=1n!. Et donc(vnun)tend vers 0 ce qui prouve que`=`0. 3.Supposons que `2Q, nous écrivons alors`=pq
avecp;q2N. Nous obtenons pourn>2: u n6pq 6vn:Ecrivons cette égalité pourn=q:uq6pq
6vqet multiplions parq!:q!uq6q!pq
6q!vq. Dans cette
double inégalité toutes les termes sont des entiers ! De plusvq=uq+1q!donc: q!uq6q!pq6q!uq+1:
Donc l"entierq!pq
est égal à l"entierq!uqou àq!uq+1=q!vq. Nous obtenons que`=pq est égal àquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] montrer que 3 points sont alignés complexe
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