[PDF] fic00020.pdf Exercice 25. Soit G un





Previous PDF Next PDF



Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base

C'est comme dans R3 sauf qu'ici les coefficients sont des nombres complexes. Indication pour l'exercice 5 ?. Il suffit de montrer que la famille est libre ( 



Cours de mathématiques - Exo7

Enfin nous avons déjà vu que cette multiplication n'est pas commutative. Mini-exercices. 1. Montrer que (R?. +×) est un groupe commutatif.



Corrigé du TD no 11

Montrer que f = g. Réponse : Rappelons d'abord le résultat suivant : tout nombre réel est limite d'une suite de nombres rationnels autrement dit 



Corrigé du TD no 9

Montrer à partir de la définition donnée en cours



Suites 1 Convergence

Montrer que toute suite convergente est bornée. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000506]. Exercice 2. Montrer qu'une suite d'entiers qui converge 



Réduction

Exercice 9 *** I. Soient f et g deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie vérifiant fg?gf = f. Montrer que f est nilpotent. Correction ?. [ 



fic00020.pdf

Exercice 25. Soit G un groupe commutatif. Montrer que l'ensemble des éléments d'ordre fini de G forme un sous-groupe de. G. Indication ?.



TD3 – Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables Exercice

Montrer d'après la definition que la fonction : f(x y) = x2 + y2 est différentiable dans R2. Calculer la différentielle. Solution. La fonction f est 



Arithmétique dans Z

Exercice 4. Démontrer que le nombre 7n +1 est divisible par 8 si n est impair; dans le cas n pair donner le reste de sa division par 8. Indication ?.



Exo7 - Exercices de mathématiques

Démontrer que (1 = 2) ? (2 = 3). Correction ?. [000105]. Exercice 3. Soient les quatre assertions suivantes : ( 

Enoncés : Michel Emsalem,

Corrections : Pierre DèbesExo7

Groupes, sous-groupes, ordre

Exercice 1

On dispose d"un échiquier et de dominos. Les dominos sont posés sur l"échiquier soit horizontalement, soit

verticalement de façon à couvrir deux cases contiguës. Est-il possible de couvrir ainsi entièrement l"échiquier

à l"exception des deux cases extrèmes, en haut à gauche et en bas à droite? Reprendre cette question dans le

cas où l"on exclut deux cases quelconques à la place des deux cases extrèmes ci-dessus.

(I) SoitXun ensemble etP(X)l"ensemble des parties deXordonné par l"inclusion. Soitjune application

croissante deP(X)dans lui-même. (a) Montrer que l"ensembleEdes partiesAdeXqui vérifientj(A)Aest non vide et admet un plus petit

élémentA0.

(b) Montrer quej(A0) =A0. (II) Soit deux ensemblesXetYmunis de deux injectionsgdeXdansYethdeYdansX. (a) Montrer que l"application deP(X)dans lui-même défini par j(A) =Xh(Yg(A)) est croissante. (b) Déduire de ce qui précède qu"il existe une bijection deXsurY.

SoitXun ensemble non vide et ordonné. Montrer qu"il existe une partieYtotalement ordonnée deXqui vérifie

la propriété

8x=2Y9y2X xetynon comparables

L"ensembleYest-il unique?

Un jardinier doit planter 10 arbres en 5 rangées de 4 arbres. Donner une disposition possible. Quel est le

nombre minimal d"arbres dont il doit disposer pour planter 6 rangées de 5 arbres? Généraliser.

Soitnetpdeux entiers,p6n. Démontrer, grâce à un dénombrement, la formule suivante:

06k6pCknCpk

nk=2pCpn 1 Soitnun entier impair non divisible par 3. Montrer que 24 divisen21.

OnconsidèresurRlaloidecompositiondéfinieparx?y=x+yxy. Cetteloiest-elleassociative, commutative?

Admet-elle un élément neutre? Un réelxadmet-il un inverse pour cette loi? Donner une formule pour la

puissancen-ième d"un élémentxpour cette loi.

SoitEun monoïde unitaire. On dit qu"un élémentadeEadmet uninverse à gauche(resp.inverse à droite)

s"il existeb2Etel queba=e(resp.ab=e).

(a) Supposons qu"un élémentaadmette un inverse à gauchebqui lui-même admet un inverse à gauche. Montrer

queaest inversible. (b) Supposons que tout élément deEadmette un inverse à gauche. Montrer queEest un groupe.

SoitEun ensemble muni d"une loi?associative

(i) admettant un élément neutre à gauchee(i.e.8x2E e?x=x) et (ii) tel que tout élément possède un inverse à gauche (i.e.8x2E9y2E y?x=e).

Montrer queEest un groupe pour la loi?.

Les rationnels non nuls forment-ils un sous-groupe multiplicatif deR?

Montrer que l"ensemblef2njn2Zgest un sous-groupe multiplicatif deQ, ainsi que l"ensemblef1+2m1+2njn;m2

Zg.

Montrer que l"ensemble des matrices carrées ànlignes etncolonnes de déterminant non nul est un groupe pour

la multiplication. On considère l"ensembleEdes matrices carrées à coefficients réels de la forme a0 b0 ;a2R;b2R muni du produit des matrices. (a) Montrer queEest ainsi muni d"une loi de composition interne associative. (b) Déterminer tous les éléments neutres à droite deE. (c) Montrer queEn"admet pas d"élément neutre à gauche. 2

(d) Soiteun élément neutre à droite. Montrer que tout élément deEpossède un inverse à gauche pour cet

élément neutre, i.e.

8g2E9h2E hg=e

SoitGun groupe vérifiant

8x2G x2=e

Montrer queGest commutatif. Déduire que siGest fini, alors l"ordre deGest une puissance de 2. SoitGun groupe d"ordre pair. Montrer qu"il existe un élémentx2G,x6=etel quex2=e.

SoitGun groupe d"ordre impair. Montrer que l"applicationfdeGsur lui-même donnée parf(x) =x2est une

bijection. En déduire que l"équationx2=ea une unique solution, à savoirx=e.

SoientGun groupe fini etmun entier premier à l"ordre deG. Montrer que pour touta2Gl"équationxm=a

admet une unique solution. SoitGun groupe etHSoitGun groupe etH;Kdeux sous-groupes deG. (a) Montrer queH[Kest un sous-groupe deGsi et seulement siHMontrer que dans un groupeG, toute partie non vide finie stable par la loi de composition est un sous-groupe.

Donner un contre-exemple à la propriété précédente dans le cas d"une partie infinie. (a) Montrer que les seuls sous-groupes deZsont de la formenZoùnest un entier. 3

(b) Un élémentxd"un groupe est dit d"ordre fini s"il existe un entierktel quexk=eG. Montrer quefk2Zjxk=

e

Ggest alors un sous-groupe non nul deZ. On appelle ordre dexle générateur positif de ce sous-groupe.

(c) Soitxun élément d"un groupeG. Montrer quexest d"ordredsi et seulement si le sous-groupedeG

engendré parxest d"ordred.

On poseSL2(Z) =fa b

c d ja;b;c;d2Z;adbc=1g. (a) Montrer queSL2(Z)est un sous-groupe du groupe des matrices inversibles à coefficients dansZ. (b) On considère les deux matrices 01 1 0 0 1 11 Démontrer queAetBsont d"ordres finis mais queABest d"ordre infini.

SoitGun groupe abélien etaetbdeux éléments d"ordres finis. Montrer queabest d"ordre fini et que l"ordre

deabdivise le ppcm des ordres deaetb. Montrer que si les ordres deaetbsont premiers entre eux, l"ordre de

abest égal au ppcm des ordres deaet deb.

SoitGun groupe commutatif. Montrer que l"ensemble des éléments d"ordre fini deGforme un sous-groupe de

G.

Déterminer tous les sous-groupes dem2m2.

SoientGun groupe fini et commutatif etfGigi2Ila famille des sous-groupes propres maximaux deG. On pose

F=T i2IGi. Montrer queFest l"ensemble des élémentsadeGqui sont tels que, pour toute partieSdeG contenantaet engendrantG,Sfagengendre encoreG.

Déterminer tous les groupes d"ordre65. En déduire qu"un groupe non commutatif possède au moins 6

éléments. Montrer que le groupe symétriqueS3est non commutatif.

Le centre d"un groupeGest l"ensembleZ(G)des éléments deGqui commutents à tous les éléments deG.

Vérifier queZ(G)est un sous-groupe abélien deG. Montrer que siGpossède un unique élément d"ordre 2,

alors cet élément est dans le centreZ(G).

SoientGun groupe etHetKdeux sous-groupes deG.

4 (a) Montrer que l"ensembleHK=fxyjx2H;y2Kgest un sous-groupe deGsi et seulement siHK=KH. (b) Montrer que siHetKsont finis alorsjHKj=jHjjKjjH\Kj. Déterminer tous les sous-groupes du groupe symétriqueS3.

Montrer que dans un groupe d"ordre 35, il existe un élément d"ordre 5 et un élément d"ordre 7.

SoitGun groupe d"ordre 2pavecpun nombre premier. Montrer qu"il existe un élément d"ordre 2 et un élément

d"ordrep. Soientn>0 un entier etpun nombre premier tels quepdivise 22n+1. Montrer quepest de la forme p=k2n+1+1 oùkest un entier. Montrer que tout entiern>0 divise toujoursj(2n1)(oùjest la fonction indicatrice d"Euler). Indication pourl"exer cice1 NConsidérer la couleur des cases exclues.

Indication pour

l"exer cice

2 NPour la question (II) (b) on considèrera la partieA0minimale associée àjet l"on montrera queA0eth(Y

g(A0))forment une partition deX. La bijection sera définie pargsurA0et parh1surh(Yg(A0)).Indication pourl"exer cice4 NNe voir dans le mot "rangée" qu"une condition d"alignement.

Indication pour

l"exer cice

5 NCompter, dans un ensembleEànéléments, le nombre de parties àpéléments obtenues en réunissant une partie

Xàkéléments à une partie àpkéléments du complémentaire deXdansE,kdécrivantf0;:::;pg.Indication pourl"exer cice6 Nn

21= (n1)(n+1)et 24=233.Indication pourl"exer cice7 NLes premières questions ne présentent aucune difficulté.

Pourladernière, leplusdifficile(etleplusintéressant)estdedevinerlaformule. Pourcela, calculerlapuissance

n-ième pourn=1;2;3;4;5:::. (La formule est donnée dans la page "Corrections").Indication pourl"exer cice9 NOn pourra montrer les points suivants:

(a)x?y=e)y?x=e (b) L"élément neutre à gauche est unique. (c) L"élément neutre à gauche est un élément neutre à droite aussi. (d) Tout élément est inversible.Indication pourl"exer cice10 NOui.

Indication pour

l"exer cice

11 NAucune difficulté.

Indication pour

l"exer cice

12 NPour l"existence d"un inverse pour toute matricennde déterminant non nul, noter que det(A)6=0 entraîne

que la matriceAest inversible (comme matrice) et que la matriceA1, qui est de déterminant 1=det(A)6=0 est

alors l"inverse deApour le groupe en question.Indication pourl"exer cice13 NAucune difficulté.

Indication pour

l"exer cice

15 NConsidérer la partition deGen sous-ensembles du typefx;x1g.Indication pourl"exer cice16 N

6 On commence par montrer quefest surjective, en notant que sijGj=2m+1, alors pour touty2Gon a y= (ym+1)2.Indication pourl"exer cice17 Nx m=a,x=auoùum+vjGj=1.Indication pourl"exer cice19 NStandard.

Indication pour

l"exer cice

22 NPour le (c), introduire le morphismeZ!qui associenxà tout entiern2Z. Ce morphisme est surjectif

et de noyaudZoùdest l"ordre dex.Indication pourl"exer cice23 NAucune difficulté.

Indication pour

l"exer cice

25 NConséquence de l"exercice24 .

Indication pour

l"exer cice

26 Nf1g;m2f1g;f1gm2;f(1;1);(i;i)g;m2m2.Indication pourl"exer cice28 NStandard.

Indication pour

l"exer cice

29 NPour la seconde question, noter que sixest d"ordre 2 dansG, alorsyxy1l"est aussi, pour touty2G.Indication pourl"exer cice32 NCommencer par analyser l"ordre possible des éléments deG.Indication pourl"exer cice34 NTrouver l"ordre de 2 dans(Z=pZ).Indication pourl"exer cice35 NTrouver l"ordre de 2 modulo 2

n1.7 Correction del"exer cice2 N(I) (a)E6=/0 carX2E. L"ensembleA0=T A2EAest de manière évidente le plus petit élément deE. (b) On aj(A0)A0puisqueA02E. On déduit, par la croissance dej, quej(j(A0))j(A0), ce qui donne j(A0)2Eet doncA0j(A0). (II) (a) La croissance dejest immédiate.

(b) Considérons la partieA0associée àj. D"après le (b) du (I), on aXnh(Xng(A0)) =A0. Autrement dit, les

partiesA0eth(Xng(A0))constituent une partition deX. Considérons l"applicationf:X!Xdéfinie comme

étantgsurA0eth1surh(Yng(A0)). On voit sans difficulté quefest une bijection (noter que les images

respectives des deux restrictions précédentes sontg(A0)etYng(A0)et qu"elles constituent une partition deY).Correction del"exer cice3 NPour toutx2X, posonsC(x) =fy2Xjxetysont comparablesget considéronsY=T

x2XC(x). La partieY

est totalement ordonnée puisque dès quey;y02Y, alorsy02C(y)et doncyety0sont comparables. De plus,

pour toutx=2Y, il existey2Xtel quex=2C(y), c"est-à-dire,yetxnon comparables.

Il n"y a pas unicité de l"ensembleYen général. En effet, dans un ensemble ordonné où il existe un élémenty

qui n"est comparable qu"à lui-même, on peut prendreY=C(y) =fyg. Il est facile de construire des ensembles

ordonnés possédant plusieurs tels élémentsy(penser à la relation d"égalité, dont le graphe est la diagonale).Correction del"exer cice7 NPour la dernière question, vérifier par récurrence quex?n=nå

k=1(1)k1Cknxk.Correction del"exer cice8 N(a) Désignant parbl"inverse à gauche deaet parcl"inverse à gauche deb, on aab= (cb)(ab) =c(ba)b=

cb=e. L"élémentbest donc l"inverse dea.

(b) découle immédiatement de (a).Correction del"exer cice9 N(a) Pourx;y2Equelconques, notonsx0ety0leurs inverses à gauche respectifs. Sixy=e, on a aussiyx=

(x0x)yx=x0(xy)x=x0x=e.

(b) Soitfun élément neutre à gauche. On a doncfe=e. D"après (a), on a aussief=e, c"est-à-diref=e.

(c) Pour toutx2E, on axe=x(x0x) = (xx0)x=xpuisque d"après (a),xx0=e.

(d) résulte alors de (a), (b) et (c).Correction del"exer cice14 NPour tousx;y2G, on axyx1y1=xyxy= (xy)(xy) =1 c"est-à-direxy=yx. DoncGest abélien. SiGest

fini, il peut être considéré comme espace vectoriel sur le corpsZ=2Z, et est alors nécessairement de dimension

finie, ce qui donneGisomorphe comme espace vectoriel à(Z=2Z)net doncjGj=2n.Correction del"exer cice15 NEn groupant chaque élémentx2Gavec son inversex1, on obtient une partition deGen sous-ensembles

fy;y1gqui ont deux éléments sauf siy=y1, c"est-à-dire siy2=e. L"élément neutreeest un tel élémenty.

Ce ne peut pas être le seul, sinonGserait d"ordre impair.Correction del"exer cice18 NPour touth2H, on aha=khbpour un certainkh2K. En écrivantha=h(ea) =hkeb, on obtientkh=hke, ce

qui donneh=kh(ke)12K. 8

Correction del"exer cice20 N(a) Supposons queH[Ksoit un sous-groupe deGet queHne soit pas inclus dansK, c"est-à-dire, qu"il existe

h2Htel queh=2K. Montrons queKH. Soitk2Kquelconque. On ahk2H[K. Maishk=2Kcar sinon h= (hk)k12K. D"oùhk2Het donck=h1(hk)2H.

(b) découle immédiatement de (a).Correction del"exer cice21 NSoitHune partie finie non vide deGstable par la loi de composition. Pour montrer queHest un sous-groupe,

il reste à voir que pour toutx2H,x12H. Les puissancesxkoùk2Nrestant dansH, il existem;n2Ntels quem>netxm=xn. On a alorsxmn1x=1, soitx1=xmn1, ce qui montre quex12H.

SiHest infini, la propriété précédente n"est pas vraie en général. Par exempleNest une partie stable deZpour

l"addition mais n"en est pas un sous-groupe.Correction del"exer cice24 NSoienta;b2Gd"ordre respectifsmetn. Posonsm=ppcm(m;n). On a(ab)m=ambm=ee=e(am=bm=e

résultant du fait quemetndivisentm). L"ordre deabdivise doncm. Supposons que pgcd(m;n)=1. Soitk2Ztel que(ab)k=1, soitak=bk. On en déduit queank=eetbmk=e.

D"oùmjnketnjmk. L"hypothèse pgcd(m;n) =1 donne alorsmjketnjket donc ppcm(m;n)jk. Cela combiné à

la première partie montre queabest d"ordre ppcm(m;n) =mn.Correction del"exer cice27 NEtant donnéa2F, soitSune partie deGcontenantaet engendrantG. Si6=G, alors il existe

un sous-groupe propre maximalGitel queGi. Mais alorsGi.

Contradiction, donc6=G.

Inversement, supposons quea=2F, c"est-à-dire, il existei2Itel quea=2Gi. Alors pourS=Gi[fag, on a

=G(par maximalité deGi) mais=Gi6=G.Correction del"exer cice30 N(a) ()) SiHKest un groupe, pour toush2Hetk2K, on a(hk)1=k1h12HKet donckh2(HK)1=

K

1H1=KH. D"oùHKKH. L"autre inclusion s"obtient similairement.

(() On vérifie aisément en utilisant l"hypothèseHK=KHque(HK)(HK)HKet que(HK)1HK. (b) Etant donnésh0;h2Hetk0;k2K, on ah0k0=hksi et seulement sih10h=k0k1. Cet élément estquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47