[PDF] Correction Devoir maison n?12 EXERCICE 1 1. Montrons que les

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Terminale SCorrection Devoir maison n°122016 - 2017 EXERCICE 11. Montrons que les droites ne sont pas coplanaires, pour cela nous allons montrer que les deux droites sont ni sécantes ni parallèles.

•Un vecteur directeur de (D1) est-→u1?

1 3 0?

et un vecteur directeur de (D2) est-→u2?

2 1-1?

Ces deux vecteurs n"étant pas colinéaires, les droites ne sont pas parallèles. •M?(D1)∩(D2) si et seulement si il existe deux réelsaetbtels que :?????3 +a= 0,5 + 2b

9 + 3a= 4 +b

2 = 4-b??????3 +a= 4,5

9 + 3a= 6

b= 2??????a= 1,5 a=-1 b= 2. Ce système est incompatible les droites ne sont pas sécantes, elles sont donc non coplanaires.

2. (a)S?(D1)??????3 +a= 3

9 + 3a= 4

2 = 0,1Ce qui est impossible doncSn"appartient pas à (D1).

PuisS?(D2)??????0,5 + 2b= 3

4 +b= 4

4-b= 0,1??????b= 1,25

b= 0 b= 3,9Ce qui est impossible doncSn"ap- partient pas à (D2). (b) Les plans (P1) et (P2) ont un point communS. Ils ne sont pas confondus car les droites (D1) et (D2) sont non coplanaires, ils sont donc sécants. (c) Montrons par l"absurde que (D1) et Δ sont sécantes. Nous savons déjà que ces deux droites sont coplanaires car incluses dans (P1). Supposons par l"absurde qu"elles ne sont pas sécantes, elles sont donc parallèles. De ce fait,-→u1est un vecteur directeur de Δ, de plusS?Δ. La droite Δ a donc pour représentation paramétrique : Δ? ?x= 3 +c y= 4 + 3c z= 0,1avecc?R.

On étudie alors la position relative de Δ et (D2) qui sont coplanaires, ce deux droites doivent

être sécantes car sinon (D1) parallèle à Δ serait parallèle à (D2) ce qui est exclu.

M?Δ∩(D2) si et seulement si il existe deux réelscetbtels que :?????3 +c= 0,5 + 2b

4 + 3c= 4 +b

0,1 = 4-b??????3 +c= 8,3

3c= 3,9

b= 3,9??????c= 5,3 c= 1,3 b= 2. Ce système est incompatible les droites ne sont pas sécantes, ce qui est absurde.

Donc les droites (D1) et Δ sont sécantes, on montre de même que (D2) et Δ sont sécantes.

(d) La droite Δ coupe les droites (D1) et (D2), cette droite convient donc comme direction du rayon.

EXERCICE 21. (a) Un vecteur directeur de la droite (AB) est-→AB(((200))) = 2-→OI. La droite (AB) est donc parallèle à l"axe (OI).

(b) On axC=xD= 11 donc Les points C et D on la même abscisse, donc la droite (CD) est parallèle

au plan (OJK). (c) Une représentation paramétrique de (AB) est?????x=t y=-1 z= 5, t?Ret une représentation paramé- trique de (CD) est ?x= 11 y= 0,8t? z= 1 + 0,6t?, t??R. On résout le système?????t= 11 -1 = 0,8t? z= 1 + 0,6t?qui n"a pas de solutions, car on trouvet?négatif, donc 1 + 0,6t?<5.

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2 Terminale SCorrection Devoir maison n°122016 - 2017

Les droites (AB) et (CD) ne sont pas sécantes.

2. (a)

MtNt(((11-t

0,8t+ 1

0,6t-4)))

doncMtN2t= (11-t)2+ (0,8t+ 1)2+ (0,6t-4)2 = 121-22t+t2+ 0,64t2+ 1,6t+ 1 + 0,36t2-4,8t+ 16 =

MtN2t= 2t2-25,2t+ 138.

(b)MtNtest positif, donc est minimale quand son carré est minimal. On considère la fonctionf:t?→2t2-25,2t+ 138;fest une fonction du second degré; le coefficient det2est 2. Le minimum est atteint pourt=25,2

4= 6,3.

La distance est

minimalepourt= 6,3 s

EXERCICE 3Dans le repère (A;--→AB;--→AD;-→AE), on aA(0;0;0);B(1;0;0);C(1;1;0);D(0;1;0);E(1;0;0);

F(1;0;1);H(0;1;1) etG(1;1;1).

On appelleIle milieu du segment [AC], alorsIa pour coordonnées (1

2;12;0).

Comme K est le centre de gravité du triangle ACH, on a donc : HK=2

K-xH=2

3(xI-xH)

y

K-yH=2

3(yI-yH)

z

K-zH=2

K=2

3×12

y

K-1 =2

3(-12)

z

K-1 =-2

K=1 3 y K=2 3 z K=1 3.

SoitK(1

3;23;13).

On a alors

DK?1

3-1313?

et--→DF?

1-1 1?

. Ainsi--→DK=13--→DF.

Les points D, K et F sont alignés et le point K est situé au tiersdu segment [DF] en partant de D.

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