[PDF] Droites et plans dans lespace 5.3 droites coplanaires rappel .

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Leçon 3Droites et plans dans l"espace

Le plan est rapporté à un repère(O,-→ı ,-→? ,-→k).

1 droites et plans de base

x=0 z=0 y=0 O xyz

Le plan de base(xOy)a pour équationz= 0.

Le plan vertical(yOz)a pour équationx= 0.

Le plan vertical(xOz)a pour équationy= 0.

L"axe(Ox)est caractérisé par?

y= 0 z= 0

L"axe(Oy)est caractérisé par?

x= 0 z= 0

L"axe(Oz)est caractérisé par?

x= 0 y= 0

2 rappels

2.1 vecteurs colinéaires

définition.Deux vecteurs-→uet-→vsont colinéaires si et seulement si il existe un réelktel que-→u=k-→vou-→v=k-→u

remarque .Avec cette définition le vecteur nul-→0est colinéaire avec tous les vecteurs.

2.2 alignement

rappel .Les trois points A,B et C sont alignés si et seulement les vecteurs--→ABet-→ACsont colinéaires.

2.3 coordonnées

rappel .Le vecteur--→ABa pour coordonnées? xB-xAyB-yAz B-zA?

rappel .Deux vecteurs de l"espace sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.

3 principes d"élimination

Principe :Dans un système comportant des lignes(Li), on peut remplacer une ligne(Lk)parα(Lk) +β(Lj)

avecα?= 0etj?=k. 10

4. REPRÉSENTATION PARAMÉTRIQUE D"UNE DROITE LEÇON 3. DROITES ET PLANS DANS L"ESPACE

En général

1. on garde la ligne(L1)et on élimine une inconnue ou un paramètre dans les lignes suivantes en remplaçant

chaque ligne(Lk) (k?= 1)parα(L1) +β(Lk)avecβ?= 0

2. on garde maintenant la ligne(L2)et on élimine une nouvelle inconnue ou un nouveau paramètre entre

(L2)et les lignes suivantes.

4 représentation paramétrique d"une droite

4.1 représentation paramétrique

Théorème 3.1.SoitDune droite de l"espace contenant le pointA(xA,yA,zA)et dirigée par le vecteur-→u?

abc? tout pointM(x,y,z)deDcorrespont un réélttel que ?x=xA+t×a y=yA+t×b z=zA+t×c Le système est appelé représentation paramétrique de la droiteD

Démonstration.

M?D?--→AMet-→usont colineaires

?il existetréel tel que--→AM=t-→u ?il existetréel tel que? x-xAy-yAz-zA? =t? abc?

remarque .Pourunedroite, il existe une infinité de représentations paramétriques puisqu"on peut choisir n"im-

porte quel point et n"importe quel vecteur directeur.

remarque .Quand on travaille avec plusieurs droites, il est importantde prendre un paramètre différent pour

chaque représentation paramétrique.

5 position relative de deux droites

5.1 parallélisme

Pour mettre en évidence le parallélisme de deux droites, il suffit de montrer qu"un vecteur directeur de

la première et qu"un vecteur directeur de la seconde sont colinéaires, c"est à dire que leur coordonnées sont

proportionnelles.

5.2 intersection

Pour déterminer l"intersection de deux droites, il suffit derésoudre le système de trois équations dont les

inconnues sont les deux paramètres des deux droites. rappel .Deux droites sont sécantes si et seulement si leur intersection est un singleton.

5.3 droites coplanaires

rappel .Deux droites sont coplanaires si et seulement si elle sont parallèles ou sécantes.

Pour montrer que deux droites ne sont pas coplanaires, il suffit de montrer qu"elles ne sont ni parallèles ni

sécantes. http://pagesperso-orange.fr/calque11table des matières

6. PLANS DANS L"ESPACE LEÇON 3. DROITES ET PLANS DANS L"ESPACE

6 plans dans l"espace

6.1 existence

rappel .Pour que le plan(ABC)existe, il faut et suffit que les trois points ne soient pas alignés c"est à dire que les

vecteurs--→ABet-→ACne soient pas colinéaires.

6.2 vecteurs coplanaires

définition.trois vecteurs-→u,-→vet-→wsont coplanaires si et seulement il existe deux réelsαetβtels que

w=α-→u+β-→v (ou dans un autre ordre)

6.3 représentation paramérique

Un pointM(x,y,z)appartient au plan(ABC)si et seulement si il existe deux réelsαetβtels que

AM=α--→AB+β-→AC

on exprime que les vecteurs AM,--→ABetvcACsont coplanaires ce qui conduit à la représentation paramé- trique suivante?????x=xA+αu1+βv1 y=yA+αu2+βv2 z=zA+αu3+βv3avec--→AB=? u1u2u3? et-→AC=? v1v2v3?

6.4 équation cartésienne

En éliminantαetβdans le système paramétrique, on obtient une relation de la forme ax+by+cz+d= 0avec(a,b,c)?= (0,0,0) On verra une autre méthode avec le produit scalaire.

7 positions relatives

7.1 intersection de deux plans non parallèles

rappel .L"intersection de deux plans non parallèles est une droite.On peut obtenir une équation paramétrique de

celle ci en choisissant arbitrairement une inconnue comme paramètre.

7.2 parallélisme droite plan

SiDa pour vecteur directeur?w, siPest dirigé par deux vecteurs?uet?vnon colinéaires, on a

D?P??u,-→vet-→wcoplanaires

7.3 intersection d"une droite et d"un plan

rappel .Si la droiteDet le planPne sont pas parallèles , leur intersection est un singleton. http://pagesperso-orange.fr/calque12table des matièresquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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