Continuité PDF Montrer que f est non

Corrigé du TD no 11

Soient f et g deux fonctions continues R → R. On suppose que : ∀x ∈ Q f(x) = g(x). Montrer que f = g. Réponse : Rappelons d'abord le résultat suivant

Continuité 1 Théorie

Exercice 10 Soit f : R → R continue en 0 telle que ∀x ∈ R f(x) = f(2x). Montrer que f est constante. 3´Etude de fonctions. Exercice 11 Déterminer les

Injection surjection

http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00003.pdf

Corrigé du TD no 9

On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x sin x. 1. Pour tout n Nous allons montrer que f est constante. Soit x0 ∈ R alors la suite x0 + nT ...

Séance de soutien PCSI2 numéro 8 : Fonctions réelles : limites et

Exercice 12 : Soit f : R → R continue et décroissante. Montrer que f admet un unique point fixe. Correction :Unicité : Soit g : x ↦→ f(x) − x.

Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles

On peut aussi dire que f(x) tend vers l quand x tend vers x0. Pour que ceci ait un sens il faut montrer l'unicité de la limite — quand elle existe. Proposition

Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

∀x ∈ Vf(x) − f(x0) ≤ 0. Comme x0 est un point intérieur `a I

Continuité

Montrer que f est non nulle sur un intervalle ouvert contenant a. Exercice 2.2 (Fonction lipschitzienne). Soit f : R → R et k ∈ R+. On suppose que

TD3 – Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables Exercice

Montrer d'après la definition que la fonction : f(x y) = x2 + y2 est différentiable dans R2. Calculer la différentielle. Solution. La fonction f est

Corrigé du TD no 11

J. Gillibert. Corrigé du TD no 11. Exercice 1. Soient f et g deux fonctions continues R ? R. On suppose que : ?x ? Q f(x) = g(x). Montrer que f = g.

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et

est linéaire et son noyau E est un sous-espace vectoriel de C1. Exercice 10 : Montrer que l'ensemble F des triplets (x y

Corrigé du TD no 9

1. Montrer à partir de la définition donnée en cours

Séance de soutien PCSI2 numéro 8 : Fonctions réelles : limites et

c) Montrer que f : x ?? x + sin. (1 x. )2 n'admet pas de limite en 0. d) h1 + h2 admet-elle une limite en 0 ? e) Montrer que la fonction sin n'admet pas

Applications linéaires

Exercice 12. Soit E = Rn[X] l'espace vectoriel des polynômes de degré ? n et f : E ? E définie par : f(P) = P+(1?X)P . Montrer que f est une application

Dérivabilité - Théorèmes de Rolle théorème des accroissements

26 févr. 2015 venons de démontrer que si une fonction dérivable f s'annule (n+1) fois ... f (x) mais pour appliquer le résultat de l'exercice précédent

Continuité 1 Théorie

que la fonction Sup (fg) est continue sur I. Exercice 2 Soient I un intervalle de R et f : I ? R continue telle que ?x ? I

IV. Applications linéaires

Pour montrer que f est une application linéaire il suffit de vérifier que f(u + ?v) = f(u) + Soit f:R3 ? R2 définie par f(x

FONCTIONS DE CLASSE C1

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x telle que x. f x x x. 1. Montrer que f est impaire et continue sur . 2. Montrer que f est ...

Continuité

Montrer que f est non nulle sur un intervalle ouvert contenant a. Exercice 2.2 (Fonction lipschitzienne). Soit f : R ? R et k ? R+. On suppose que

Chapitre2

Continuit´e

2.1D´efiniti onetpropri´et´es

D´efinition2.1(Continuit´een unpoint) Soitfuneappli cationdeD?RdansReta?D.

1.Ondit quefestco ntinueenasipo urtoutε>0,ilexisteδ>0t.q.:

2.Ondit quefests´ equentiellementcontinueenasiftransformetoutesuitecon vergent eversaen

suitecon vergenteversf(a),c'est-`a-dire: (x n n?N ?D,lim n→+∞ x n =a?lim n→+∞ f(x n )=f(a). Remarque2.1Sousleshy poth`esesd elad´efinition2.1etsiilexisteb,c?Rt.q.bD´emonstration:Lad´ emonstrationn'estpasd´etaill´eeici.I lsuffites sentiellementdereprendrecelle

delapr opositi on1.2. Remarque2.2Lacon tinuit´eenunpointestunepropri´e t´elo cale.En effet,Soitfuneapplic ationde

D?RdansReta?D.Soi tγ>0.On pose

D=D∩]a-γ,a+γ[.Onapp elle

flarest rictiondefa D (c'est-`a-direque festd´e finiesur Det f=fsur

D).Alors, festcontin ueenasiet seulemen tsi

fest continueena. D´efinition2.2(Continuit´e)Soitfuneapplic ationdeD?RdansR.onditquefestco ntinuesif estco ntinueentoutpointdeD. Ondonne maintenantlad ´efinitiondelacontinuit´eu niforme ,plusfortequelacontinuit´e. 18 D´efinition2.3(Continuit´eun iforme)Soitfuneapplic ationdeD?RdansR.onditquefest

Exemple2.1Onpre ndiciD=]0,1[et f(x)=

1 x pourx?]0,1[.L'appl icationfestcontinu e(c'est-`a- direcontinue entoutpointdeD)mai sn'estpas uniform´ementcont inue. Proposition2.1(Somme,produitetqu otientd' applicationscontinues)Soitf,gdeuxapplica- tionsdeD?RdansReta?D.Onsupposequefetgsontcontinues ena.Alors:

1.L'applicationf+gestco ntinueena,

2.L'applicationfgestco ntinueena,

3.Ilex isteβ>0t.q.g(x)?=0pourx?D∩]a-β,a+β[etf/g(quiest biend´ efinie pourx?

D∩]a-β,a+β[)estcontinueena.

D´emonstration:Iciaussi, ilsuffites sentiellementdereprendrelad´emonstrationdelapr oposition 1.6.

Proposition2.2(Continuit´edel acompos´ee)Soitfuneapplic ationdeD?RdansRetgune applicationdeE?RdeR.OnsupposequeIm(f)={f(x),x?D}?E(desortequ eg◦festd´ efinie surD).So ita?D.Onsupposequefestco ntinueenaetgestco ntinueenf(a).Alors,g◦fest continueena.

D´emonstration:Iciaussi, ilsuffites sentiellementdereprendrelad´emonstrationdelapr oposition 1.8.

2.2Th´eor `emedesvaleursinterm´ediaires

Th´eor`eme2.2(Th´eor`emedesval eursinte rm´ediaires)Soita,b?R,aD´emonstration:Ondist inguedeuxcaspossibles. L'ensembleAestnonvid e(caril contienta)et estma jor´eparb.Il admetd oncunebornesup ´erieure f(c)=γ.

Oncomme nceparremarquerqu'ilex isteun esuite(c

n n?N depoint sdeAt.q.li m n→+∞ c n =c(voir, parexem ple,l'exercice1.6).Parconti nuit´edefenc,ona donc f(c)=lim n→+∞ f(c n )et donc,c omme f(c n Onsupp osemaintenantquef(c)<γ(etonvamont rer quecec iestimpossible).On adoncc0.Par contin uit´edefenc,il existe doncα>0t.q. 19 Onadonc ,en particulier, avecβ=min(α,b-c)>0, Ceciprouveque (parexemple)c+β?A,en contrad ictionaveclad´efinitiondec(quiest c=supA).On aain simontr´equef(c)n' estpasstricteme ntinf´ erieur`aγ.On adoncf(c)=γ. Deuxi`emecas.Onsupp osequef(a)>f(b).Soitγ?[f(b),f(a)].Onmont realorsq u'ilexistec?[a,b]

t.q.f(c)=γparunrai sonnem entsemblableaupr´ec´edentenpren antA={x?[a,b]t.q.f(x)≥γ}.Ce

raisonnementn'estpasd´etaill´eici . Remarque2.3Voicideuxcons ´equencesimm ´ediatesduth´eor`emedesvaleursinterm´e diaires.

1.Soita,b?R,a l'intervalledontlesbornessontf(a)etf(b).
2.SoitIuninte rvalledeRetfuneapplic ationcontinuedeIdansR.Alor s,fv´erifiela"propri´et´ed es
valeursinterm´ediai res",c'est`adire:Pourtouta,b?I,amontrequelacontin uit´edefimpliquequefv´erifielapropri´et´ed esvaleu rsinterm´ediaires.Lar´eciproque

estfausse, c'est-`a-direquele faitquefv´erifielapropri´et´ed esvaleu rsinterm´ediairesn'impliquepasl a

continuit´edef.(La propri ´et´edesvaleursinterm´ediairesp eutˆetrep r´esent´eecommeune sortedecontinuit´e
aveclanotiond' ordredan sR,alor squelacon tinuit´ef aitplut ˆotappel`alanotiondedistance.)Nous verronsauchapitre3que si festd´eri vablede]a,b[dan sR,alor sf v´erifielapropri´et´ed esvaleu rs
2.3Fonction continuesuruninterval leferm´eborn´e
Th´eor`eme2.3(fonctioncontinuesurunc ompact )Soita,b?R,aD´emonstration:

Etape1Onmontr etoutd'abordquefestmajor´ ee(c'est-`a-direqueIm( f)={f(x),x?[a,b]}est major´ee).Pourcela,onraisonneparl 'absurde.O nsupposedoncq uefn'estpasmajor´ee .

Soitn?N,com mefn'estpasmajor´ee ,l'ens embleA

n ={x?[a,b]t.q.f(x)≥n}estnonvid e.Comme cetensemb leestmajor´eparb,il admetun ebornesup´er ieure,not´ eex n ,et onax n ?[a,b].Onsai taussi quex n estlimit ed'unesuitedepointd eA n .Com mefestcontin ueenx n ,ona donc f(x n )≥n.

Lasu ite(x

n n?N estd´ecr oissante(carA n+1 ?A n )et minor´ ee(para).Elle estdoncconver gentedansR.

Onposex=lim

n→+∞ x n n continueenx,ona lim n→+∞ f(x n )=f(x),cequ iimpos siblecarf(x n )≥npourtoutn?N(etdonc lim n→+∞ f(x n Onadonc mont r´equefestmajor´e e.Unraisonnementsimilairenon fai ticipermetdemontrerquefest minor´ee. Etape2OnnoteM=sup{Im(f)}.On montre maintenantqu'ilex isted?[a,b]t.q.f(d)=M.Pou r cela,onutilise unr aisonnementsemblable`ac eluide lapremi`ere´etape. 20

Soitn?N,On poseM

n =M- 1 n etB n ={x?[a,b]t.q.f(x)≥M n }.Com meM n n'estpasun majorantdeIm(f),l'e nsembleB n estnonvid e.Comme cetensembleestm ajor´eparb,il admetun e bornesup´eri eure,not´eey n ,et onay n ?[a,b].Comme y n estlimit ed'unesuitedepointd eB n etqu ef estcontinu eeny n ,ona donc f(y n )≥M n .(O naaussif(y n

Lasu ite(y

n n?N estd´ecr oissante(carB n+1 ?B n )et minor´ ee(para).Elle estdoncconver gentedansR.

Onposed=lim

n→+∞ y n n continueend,ona lim n→+∞ f(y n )=f(d).On end´e duitque f(d)=Menpassan t`alalimitesur les in´egalit´esM n =M- 1 n n Unrai sonnementsimilairenonfaiticiperme tdemontrerqu'ilexistec?[a,b]t.q.f(c)=m=inf(Im(f)). Exemple2.2Onpre ndiciI=]0,1[et f(x)=1/xpourx?]0,1[.Pourc etexempl e,l'applic ationfest nonmajor ´eeetelleestminor´eem aissabor neinf´erieur eestnonatt einte. Leth ´eor`eme2.2permetdemontrerque l'imaged 'unintervalleparune applicat ioncontinueestun intervalle.Avecleth´eor`eme2.3,ona mˆemeque l'imagep aruneapplicationcontinued'unint ervalle ferm´eborn´eestuni ntervalleferm´eb orn´e.Cec iestdon n´edansleth´eor`eme2.4. Th´eor`eme2.4(Imaged'uninterval leparuneap plicationcontinu e) SoitIintervalle(nonvide)deRetfuneapplic ationcontinuedeIdansR.OnposeIm(f)={f(x), x?I}.Alors:

1.L'ensembleIm(f)estun intervall e.(Autrementdit,l'imageparunea pplicationcontinued 'un

intervalleestunintervalle.)

2.SiI=[a,b]aveca,b?R,a m=inf(Im(f))etM=sup(Im(f))).(Aut rementdit,l'imageparunea pplicationcon tinued'un intervalleferm´eborn´eestun intervalleferm´e born´e.)
D´emonstration:
Onmontr etoutd'abordle1eri temduth´e or`eme.SiIm(f)es tminor´ee ,onposeα=inf(Im(f)).S i
Im(f)n' estpasminor´ee,on poseα=-∞(danscecas,onpos eaussii nf(Im(f))=-∞).Dem ˆe me,si

Im(f)es tmajor´ee ,onposeβ=sup(Im(f)).Si Im(f)n' estpasmajor´ee,on poseβ=+∞(danscecas,
onpos eaussisup (Im(f))= +∞).
Lad´ efinitiondeαetβdonnedoncimm´ ediatement queIm(f)?[α,β].Pourm ontrerque Im(f)estun
intervalle,ilsu ffi tde montre rque]α,β[?Im(f).
Soitγ?]α,β[.Comme γn'estpasunminoran tdeIm( f),il existea?It.q.f(a)<γ.De mˆeme, Comme
γn'estpasunmajoran tdeIm( f),il exist eb?It.q.f(b)>γ.le nombreγestdonccomp risentre f(a)
etf(b).Comme festcontin uesurl'intervalleferm´ eborn´edon tlesbornessontaetb,le th´eor` emedes
valeursinterm´ediai res(th´eor`eme2.2)donnequ'ilexistexentreaetb(etdoncxdansI)t.q.f(x)=γ.
Onadonc bi enmontr´eq ue]α,β[?Im(f)et doncqu eIm(f)es tuninter valle(c 'estunintervalledontles
bornessontαetβ). Onmontr emaintenantledeu xi`emeitemduth´eor`eme.Let h´eor` eme2.3montrequ'ilexistem,M?Ret c,d?[a,b]t.q.f(c)=m,f(d)=Metqu eIm(f)?[m,M).Puis leth´eor`emed esvale ursinterm´ediaires (th´eor`eme2.2)montrequepourtoutγ?[m,M],ilex istexentrecetd(etdoncx?[a,b])t. q.f(x)=γ.
Onen d´eduit queIm(f)=[m,M].
21

2.4Fonction strictementmonotonee tcontinue
funeapplic ationstrictementcroissante,continue,deIdansR.OnposeIm(f)={f(x),x?I},α= inf(Im(f))(avecinf(Im(f))= -∞siIm(f)estno nminor´ee),β=sup(Im(f))(avecsup(Im(f))= +∞ siIm(f)estno nmajor´ee).A lors:
1.Im(f)estunin terva lledontlesextr´emit´essontαetβ.OnnoteJcetint ervalle.

2.SiI=]a,b[,onaalorsJ=]α,β[.

3.L'applicationfestbiject ivedeIdansJ.

4.Onno teglafo nctionr´eciproquedef(c'est-`a-diregd´efiniedeJdansIt.q.g◦f(x)=xpourtout
x?Ietf◦g(x)=xpourtoutx?J).L'a pplicationgestcon tinueetstrictementcroissan te(de
JdansI).

D´emonstration:

1.Leth ´eor`eme2.4donnequeIm(f)es tuninter valle.La d´efinitiondeαetβdonnealorsquel es

2.Pourmontre rqueIm(f)=]α,β[(l orsqueI=]a,b[),ilsuffitde montrer queα??Im(f)etβ??Im(f).
Pourcela,onr aisonneparl'abs urd e.Onsupposequeα?Im(f).Ilex isteal orsc?]a,b[t.q. f(c)=α(etdoncα?R).Mais, enprenanty?]a,c[,onaalor s,gr ˆace `alastricte croissancede f,f(y)3.Lafon ctionfestsurj ectivedeIdansJ(carJ=Im(f)).Ilrest e`amon trerquefestinjec tive,

maiscecie stunecons´equ encesimpl edelastr ictecroissancedef.En effet,soitx,y?I,x?=y.Si x>y,ona f(x)>f(y).Si x4.Onnoteglafonct ionr´eciproquedef(gestdoncd´ efiniedeJdansI).Onre marque toutd'abord quegeststric tementcroissante.Eneffet,soitx,y?J,xγ}=lim x→γ,x>γ g(x). Mais,commeIm( g)es tuninter valle(c arIm(g)=I)l'ensemble[g l (γ),g r (γ)]esti nclusdans Im(g), cequin 'estpossib lequesig l (γ)=g r (γ).Onad oncg l (γ)=g(γ)=g r (γ),cequ iprouv equegest continueenγ.Unr aison nementanalogueprouvequegestcontin ueenαsiα?J(onconsi d`ere alorslalimi te`adr oitedegenαetonmont re qu'elleest´egale` aa)etquegestcontin ueenβsi β?J(onconsi d`erealorslalimite`agauchedegenβetonmont re qu'elleest´egale` ab).Ce ci terminelad´emonstration deceth ´eor`eme. 22

2.5Exercice s

Exercice2.1(Fonctioncont inue,nonn ulleenunpoint)

Soitfunefonction deRdansReta?R.On suppos equefestcontinu eenaetqu ef(a)?=0.M ontr er quefestnonnull esuru nintervalleouvert contenanta.

Exercice2.2(Fonctionlipsc hitzienne )

Soitf:R→Retk?R

estcontinu e(surtoutR).

Exercice2.3

Pourquelle valeurdeαlafonct ionf,d´ efinieci-apr`es,est-el lecontinuesurR? f(x)= x 3 -8 x-2 six?=2

αsix=2.

Exercice2.4(Fonctionsmonotone s)

Soita,b?R,a1.Montrerquelim x→a f(x)=α(onpourr adistinguerlesc asα?Retα=-∞).Montr erque lim x→b f(x)=β.

2.Soitc?I.Mon trerquefadmetunelimi te`adroite enc,not ´eef

d (c),etun elimi te`agauchee nc, not´eef g (c).Montr erquef g d (c).

3.Onsupp osequef

d (c)=f g (c)pou rtoutc?I(avecf d etf g d´efinies`alaquestionpr´e c´eden te). Montrerquefestcontin ueetquefestbij ectivede]a,b[dan s]α,β[.

Exercice2.5(Polynˆomede degr´eimp air)

Montrerquetoutefoncti onpolynˆome deRdansR,de degr´ei mpair,s'annuleen aumoinsunpoint.

Exercice2.6(Existenced' unmaximum)

Soitfunefonction continuedeR

dansR .On suppos equelim x→∞ f(x)=0. Mont re rquefadmet unmaxim um(c'est-`a-direqu 'ilexistea?R t.q.,pourtoutx?R Exercice2.7(Injectivit ´eetcon tinuit´edonnemonotonie) Soita,b?R,aExercice2.8(Prolongemen tparcontin uit´e) f(x)= x 3 -2x 2 -x+2 1-|x|

1.Lafon ctionfest-ellecontinueen0?

2.Calculerlim

x→-1 f(x)etlim x→1 f(x).

3.Existe-t-ilunefonctiongd´efinieetcontinuesurRetquie st´egale`a fsurR\{-1,1}?

Exercice2.9

Soitfetgdeuxfonctions de[0,1]dan sR,con tinuesett.q.f(0)=g(1)=0et g(0)=f(1)=1.Mon tr er que: ?λ?R ,?x?[0,1],f(x)=λg(x).

Exercice2.10(Valeurinter m´ediaire)

Soitfunefonction continuede[0,1]dan sR.

1.Montrerquepourtoutt?[0,1],l'en semble{s?[0,1]t. q.f(s)=

f(0)+f(t) 2 }estnonvid e.

Poutt?[0,1],onpose ?(t)=inf{s?[0,1]t. q.f(s)=

f(0)+f(t) 2

2.Soitt?[0,1],montr erque?(t)?[0,1]et quef(?(t))=

f(0)+f(t) 2

3.Montrerquesifeststrict ementcroissante,l'application?ainsid´efinie de[0,1]dan s[0,1]es t

continue.

4.Donnerunexemple defonct ionfpourleque llafonction?n'estpascontinue .

Exercice2.11(Fonctiondo ntl'imageestd iscr`ete)

Soitf:R→Runefoncti oncontinue(c'est-`a-d irecontinueentoutpointd eR).Onsu pposeq uef(x)? {0,1},pou rtoutx?R.Mon trerquefestconstant e.[utiliserleth´eor`emed esvaleursinterm´ediaires.]

Exercice2.12(Continuit ´ede"max"et"min")

1.Montrerque,pourtoutx,y?R,max {x,y}=

1 2 (x+y+|x-y|)etmin{x,y}= 1 2 (x+y-|x-y|).

2.Soitfetgdeuxapplicati onsdeRdansR.On d´efini tlesapplicationsf?getf?gdeRdansR

par: (f?g)(x)=m ax{f(x),g(x)},(f?g)(x)=min{f(x),g(x)},pourx?R. Soita?R.On suppos equefetgsontcontin uesena.Mon trerquef?getf?gsontcontin uesen a.

Exercice2.13(Convexeimplique continue )

tf(x)+(1-t)f(y)pou rtoutt?[0,1]et pourtou tx,y?R. Onposeα=f(1)-f(0),β=f(0)-f(-1)et γ=max {|α|,|β|}. t=x,et0=tx+(1-t)(-1),avec t= 1 1+x

3.Montrerquefestcontin ueentoutpointdeR.

Exercice2.14(Bornesup´e rieureatteint e)

Soitfuneapplicat ioncontinuedeR

dansR (onrappe llequeR =[0,∞[).Onsup poseque lim x→∞ f(x)=0. Mont er que{f(x),x?R }estmajor´ eestqu'ilexistea?R t.q.f(a)=sup{f(x), x?R Exercice2.15(Exercicesu rlesvaleursin term´ediaires) Soitfuneapplic ationcontinuede[0,1]dan sRt.q.f(0)=f(1).Soitn?N .pou rx?[0,1- 1 n ],on poseg(x)=f(x+ 1 n )-f(x).

1.Montrerque

n-1 k=0 g( k n )=0.

2.Montrerqu'ilexiste x

0 ,x 1 ?[0,1- 1 n ]t.q.g(x 0 1 )≥0.

3.Monterqu'ilexis tex?[0,1-

1 nquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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