FONCTIONS DE CLASSE C1 PDF On considère la fonction

Corrigé du TD no 11

Soient f et g deux fonctions continues R → R. On suppose que : ∀x ∈ Q f(x) = g(x). Montrer que f = g. Réponse : Rappelons d'abord le résultat suivant

Continuité 1 Théorie

Exercice 10 Soit f : R → R continue en 0 telle que ∀x ∈ R f(x) = f(2x). Montrer que f est constante. 3´Etude de fonctions. Exercice 11 Déterminer les

Injection surjection

http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00003.pdf

Corrigé du TD no 9

On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x sin x. 1. Pour tout n Nous allons montrer que f est constante. Soit x0 ∈ R alors la suite x0 + nT ...

Séance de soutien PCSI2 numéro 8 : Fonctions réelles : limites et

Exercice 12 : Soit f : R → R continue et décroissante. Montrer que f admet un unique point fixe. Correction :Unicité : Soit g : x ↦→ f(x) − x.

Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles

On peut aussi dire que f(x) tend vers l quand x tend vers x0. Pour que ceci ait un sens il faut montrer l'unicité de la limite — quand elle existe. Proposition

Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

∀x ∈ Vf(x) − f(x0) ≤ 0. Comme x0 est un point intérieur `a I

Continuité

Montrer que f est non nulle sur un intervalle ouvert contenant a. Exercice 2.2 (Fonction lipschitzienne). Soit f : R → R et k ∈ R+. On suppose que

TD3 – Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables Exercice

Montrer d'après la definition que la fonction : f(x y) = x2 + y2 est différentiable dans R2. Calculer la différentielle. Solution. La fonction f est

Corrigé du TD no 11

J. Gillibert. Corrigé du TD no 11. Exercice 1. Soient f et g deux fonctions continues R ? R. On suppose que : ?x ? Q f(x) = g(x). Montrer que f = g.

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et

est linéaire et son noyau E est un sous-espace vectoriel de C1. Exercice 10 : Montrer que l'ensemble F des triplets (x y

Corrigé du TD no 9

1. Montrer à partir de la définition donnée en cours

Séance de soutien PCSI2 numéro 8 : Fonctions réelles : limites et

c) Montrer que f : x ?? x + sin. (1 x. )2 n'admet pas de limite en 0. d) h1 + h2 admet-elle une limite en 0 ? e) Montrer que la fonction sin n'admet pas

Applications linéaires

Exercice 12. Soit E = Rn[X] l'espace vectoriel des polynômes de degré ? n et f : E ? E définie par : f(P) = P+(1?X)P . Montrer que f est une application

Dérivabilité - Théorèmes de Rolle théorème des accroissements

26 févr. 2015 venons de démontrer que si une fonction dérivable f s'annule (n+1) fois ... f (x) mais pour appliquer le résultat de l'exercice précédent

Continuité 1 Théorie

que la fonction Sup (fg) est continue sur I. Exercice 2 Soient I un intervalle de R et f : I ? R continue telle que ?x ? I

IV. Applications linéaires

Pour montrer que f est une application linéaire il suffit de vérifier que f(u + ?v) = f(u) + Soit f:R3 ? R2 définie par f(x

FONCTIONS DE CLASSE C1

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x telle que x. f x x x. 1. Montrer que f est impaire et continue sur . 2. Montrer que f est ...

Continuité

Montrer que f est non nulle sur un intervalle ouvert contenant a. Exercice 2.2 (Fonction lipschitzienne). Soit f : R ? R et k ? R+. On suppose que

FONCTIONS DE CLASSE C1

La notion de classe

Cpour une fonction est

présente en analyse (étude de fonctions numériques à une variable réelle, intégrations par parties) et en probabilités (fonction de e variable aléatoire à densité). de plusieurs exercices, nous allons travailler cette notion.

Ces exercices nous permettront

(continuité, dérivabilité, limites, dérivées). Cours

1) Définition

Une fonction numériqueféfinie sur un intervalleIest dite de classe 1 Csi elle est dérivable sur cet intervalle et si sa dérivée'fest continue sur cet intervalle.

2) Propriétés

a) Si fetgsont deux fonctions de classe 1

Csur un intervalleIalors les

fonctions fgetfgsont de classe 1

CsurI͘

Si de plus

gI, alors f g est de classe 1

CsurI.

b) Si fest une fonction de classe 1

Csur un intervalleIet si gest une

fonction de classe 1

Csur un intervalleJfI ,alors

la fonction gffest de classe 1

CI͘

Remarque.

La fonction

fétant de classe 1

CI, elle est dérivable donc

continue sur cet intervalle.

FONCTIONS DE CLASSE

C 1 (théorème des valeurs intermédiaires), on peut donc affirmer que fIest un intervalle.

Exercice 1

On considère la fonction numériquefde la variable réellextelle que

0 si 0

sinon lnx fx x x 1) f.

2) La fonction

f est-elle dérivable en 0 ?

3) Justifier que la fonction

fest de classe 1

Csur 0,1.

4) Dresser le tableau des variations de la fonction

f. (On y fera apparaître les différentes limites et la valeur defe)

On considère la suite

vtelle que 0 3vet 1 ,ln n n n vnvv 1 ln n v, n 1n v, n

5) Montrer que

n nve , n ve, n v, n

6) Justifier que la suite

vconverge et déterminer sa limite.

Correction

1. lnx x existe si et seulement si 0xet ln 0x. lnx x existe si et seulement si 0xet 1x.

0fexiste donc la fonctionfest définie sur 0,1 1,1,

2. Pour

01ln0,1 , 00ln

x x fx f xxxxx puisque 0 limln x x

La fonction

fest donc dérivable en 0 et'0 0f

FONCTIONS DE CLASSE C110

3. La fonctionfest de classe

Csur0,1et sur1,comme quotient de

fonctions de classe 1

C0,1 et sur

1,.

Pour établir le caractère

Cde la fonctionfsur chaque

intervalle ouvert on utilise les théorèmes généraux rappelés en début de chapitre. 22 2

11lnln 1 1 10,1 1, , 'ln(ln )ln lnxx

xxxfxxxxx 0 limln x x donc 0

1lim 0ln

x x et 20

1lim 0ln

x x

Finalement

0 lim ' 0 ' 0 ' x fx f f continue en 0.

La fonction

fest de classe 1

Csur0,1.

4. 22

1ln 1ln 10,1 1, , 'ln lnxx

xxxfxxx est du signe de ln 1x : ln 1 0 ln 1xxxe ln 1 0 ln 1xxxe

La fonction

fest dérivable donc continue en 0 : 0 lim 0 0 x fx f 1 1 1 lim 1 limlim ln 0 x x x x fxx 1 1 1 lim 1 limlim ln 0 x x x x fxx

11FONCTIONS DE CLASSE C1

lnlim 0 x x x (Limite usuelle)lim x fx x 0 1 e 'fx - - 0 + fx 0 e

5. Montrons le résultat par récurrence. On note

Pn v e

Initialisation :

3ve , puisque 2.718e.

Hérédité : on suppose que pour un

0n, n ve et on veut montrer que 1n ve Si n ve, alors 1nn fv v fe e car la fonctionfest croissante sur ,e.

Conclusion :

n nve , n ve, n v, n 6. 1

1ln,ln ln

nn nn nn nn vvnvv vvvv nn1n1 v, n vv 1 nn1 1 0 ln 1 1 ln 00 ln 1 0 n nn nnn nn ve ve v v v v ve v

La suite

n vest décroissante et minorée par e : elle converge vers un réel Le. 1 ln n n n vvv . On passe à la limite quand ntend vers : lnLLL car la fonction lnest continue en Le.

On a donc

ln 0 1 ln 0 0lnLLLLLLLLL ou Le. Comme

Le, on a Le : la suite

n vconverge vers e.

FONCTIONS DE CLASSE C112

Exercice 2

Soit f par :

2 1si 0 0si 0 x exfxx x 1.

Montrer que f est impaire et continue sur

Montrer que f est de classe

Csur .

Donner le tableau des variations de f.

4. f impaire.

Correction

1. La fonction

fest définie sur intervalle symétrique par rapport à 0 donc ,xx ,x,x,. 22

11 si 0

0 si 0

xx eexfx fxxx x : f est impaire

La fonction

2 1 x xe 2 1 x eest continue sur comme composée et différence de fonctions continues sur , par conséquent la fonctionfest continue sur ,0et sur 0,comme quotient de fonctions continues dont le les.

Continuité en 0 :

2 2 00 11 xx exe x 2 2 00 1 x x1xe, on a donc 2 000 lim lim 0 0 xx xfx x fx x fx 2 0 x x 0 x xce qui assure la continuité de la fonction fen 0.

Conclusion : la fonction

fest continue sur

2. La fonction

2 1 x xe 2 1 x eest de classe 1

C sur comme composée et

différence de fonctions de classe 1

Csur, par conséquent la fonctionfest

de classe 1 Csur ,0et sur 0,comme quotient de fonctions de classe 1 Cs.

13FONCTIONS DE CLASSE C1

Etude en 0

a) Dérivabilité en 0 Pour 2 200

0010, 1 lim 100

x x fx ffx fexxxx 0000

1li1li1lim

La fonction

f est donc dérivable en 0 et'0 1f. b) Continuité de 'f en 0. 222
2 22

211211,0 0, , '

xxx xe x eexxfxxx Pour x au voisinage de 0, 1 x exox donc 2 22
1 xquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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FONCTIONS DE CLASSE C1

La notion de classe

Cpour une fonction est

Ces exercices nous permettront

1) Définition

2) Propriétés

Csur un intervalleIalors les

CsurI͘

Si de plus

CsurI.

Csur un intervalleIet si gest une

Csur un intervalleJfI ,alors

CI͘

Remarque.

La fonction

CI, elle est dérivable donc

FONCTIONS DE CLASSE

Exercice 1

0 si 0

2) La fonction

3) Justifier que la fonction

Csur 0,1.

4) Dresser le tableau des variations de la fonction

On considère la suite

5) Montrer que

6) Justifier que la suite

Correction

0fexiste donc la fonctionfest définie sur 0,1 1,1,

2. Pour

01ln0,1 , 00ln

La fonction

FONCTIONS DE CLASSE C110

3. La fonctionfest de classe

Csur0,1et sur1,comme quotient de

C0,1 et sur

Pour établir le caractère

Cde la fonctionfsur chaque

11lnln 1 1 10,1 1, , 'ln(ln )ln lnxx

1lim 0ln

1lim 0ln

Finalement

La fonction

Csur0,1.

1ln 1ln 10,1 1, , 'ln lnxx

La fonction

11FONCTIONS DE CLASSE C1

5. Montrons le résultat par récurrence. On note

Pn v e

Initialisation :

3ve , puisque 2.718e.

Hérédité : on suppose que pour un

Conclusion :

1ln,ln ln

La suite

On a donc

Le, on a Le : la suite

FONCTIONS DE CLASSE C112

Exercice 2

Soit f par :

Montrer que f est impaire et continue sur

Montrer que f est de classe

Csur .

Donner le tableau des variations de f.

Correction

1. La fonction

11 si 0

0 si 0

La fonction

Continuité en 0 :

Conclusion : la fonction

2. La fonction

C sur comme composée et

Csur, par conséquent la fonctionfest

13FONCTIONS DE CLASSE C1

Etude en 0

0010, 1 lim 100

1li1li1lim

La fonction

211211,0 0, , '