[PDF] Exercices traités_Le plan euclidien

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CHAPITRE II

GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE PLANE

§1. - VECTEURS DU PLAN.

1.1. Exercices traités.

E XERCICE 1. - Soient A,B,A",B"quatre points du plan. Établir que : AB A" B" AA" BB"= Û == Û == Û == Û =???? ?????? ???? ????.

Solution.

- Il suffit de montrer l"implication : AB A" B" AA" BB"====????====???? ?????? ???? ????.

Or, si

AB A" B"====???? ??????, on a en vertu de la relation de Chasles : AA" AB BA" A" B" BA" BB"= + = + == + = + == + = + == + = + =???? ???? ???? ?????? ???? ????, d"où le résultat. ■ E XERCICE 2. - On considère un triangle ABCdu plan. a) Montrer l"existence d"un unique point

G, appelé centre de gravité du trian-

gle ABC, tel que l"on ait GA GB GC 0+ + =+ + =+ + =+ + =???? ???? ???? ?. b) Soit Ile milieu de BC. Montrer que G appartient au segment AI et que l"on a 2

3AG AI====.

c) Déduire de ce qui précède que les trois médianes du triangle

ABCsont

concourantes.

Solution.

- a) Fixons une origine O. Si le point G existe, il doit vérifier :

0 GA GB GC (GO OA) (GO OB) (GO OC )

3OG OA OB OC,= + + = + + + + +

EXERCICES TRAITÉS EN COURS DE TMB

2 d"où : 1

3OG (OA OB OC )= + += + += + += + +???? ???? ???? ????.

Ceci prouve l"unicité de

G. Pour montrer son existence, considérons

le point

G défini par :

1

3OG (OA OB OC )= + += + += + += + +???? ???? ???? ????.

On a :

GA GB GC (GO OA) (GO OB) (GO OC )

3OG (OA OB OC ) 3OG 3OG O,

et

G vérifie les conditions imposées.

b) On a :

GA (GB GC ) (GI IB GI IC ) 2GI= - + = - + + + = -= - + = - + + + = -= - + = - + + + = -= - + = - + + + = -???? ???? ???? ??? ??? ??? ??? ???

car I est le milieu de AB et donc IB IC 0+ =+ =+ =+ =??? ??? ?. Les vecteurs GA???? et GI??? sont colinéaires, et par conséquent les points

A,I,G sont alignés. De

plus, G est situé entre A et I et la relation GA 2GI==== implique que 2

3AG AI====.

c) La question b) montre que

G est situé sur les trois médianes du

triangle ABC. Ces dernières sont donc concourantes en G.■ E XERCICE 3. - Montrer que trois vecteurs du plan sont toujours linéaire- ment dépendants.

Solution.

- Soient 1 2 3V ,V ,V??? ??? ??? trois vecteurs du plan. Supposons par l"absurde que ces trois vecteurs soient linéairement indépendants.

Alors, les vecteurs

1 2V ,V??? ??? seraient a fortiori linéairement indépendants

et

3V??? serait non nul. Dans ce cas, 1 2(V ,V )??? ??? constituerait une base du

plan, et le vecteur non nul

3V??? se décomposerait sous la forme

3 1 1 2 2VλVλV= += += += +??? ??? ??? avec des iλ réels. On aurait alors :

1 1 2 2 3λVλV V 0+ - =+ - =+ - =+ - =??? ??? ??? ?

et donc, par indépendance linéaire,

1 2λ λ1 0= = - == = - == = - == = - =, ce qui est absurde.

Donc

1 2 3V ,V ,V??? ??? ??? sont linéairement dépendants. ■

GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE PLANE

3

1.2. Exercices proposés.

E XERCICE I. - Un avion navigue avec une vitesse au sol de 300km/h dans une direction de 60° (angle par rapport au Nord, calculé dans le sens des aiguilles d"une montre). Mais le vent souffle de l"Ouest à une vitesse au sol de 65 km/h.

Déterminer la vitesse réelle au sol de l"avion, ainsi que sa direction réelle (en degrés,

par rapport au Nord).

Réponse.

- La vitesse réelle au sol de l"avion est de 357 km/h, dans une direction d"environ 65° par rapport au Nord.■ E XERCICE II. - Soient ABC un triangle du plan, G son centre de gravi- té, I le milieu de AC et J le symétrique de G par rapport à Isur la droite BI. a) Montrer que l"on a, pour tout point

M du plan : (((())))1

3MG MA MB MC= + += + += + += + +???? ???? ???? ???? et (((())))1

3MJ 2MA MB 2MC= - += - += - += - +???? ???? ???? ????.

b) En déduire l"ensemble des points

Mdu plan tels que :

2MA MB 2MC MA MB MC- + = + +- + = + +- + = + +- + = + +???? ???? ???? ???? ???? ????.

Réponse.

- L"ensemble cherché est la médiatrice du segment GJ.■ E XERCICE III. - Quelles conditions doivent vérifier deux vecteurs U?? et V?? pour que l"on ait :

U V U V+ = ++ = ++ = ++ = +?? ?? ?? ???

Les vecteurs

U?? et V??forment-ils alors une base ?

Réponse.

- La condition sur les normes est vérifiée si et seulement si l"un des vecteurs U?? ou V?? est nul, ou bien si aucun n"est nul mais il existe λ0>>>> tel que VλU====?? ??. Les vecteurs U?? et V?? sont proportion- nels dans tous les cas ; ils ne forment donc pas une base. ■

§2.

- COORDONNÉES CARTÉSIENNES.

EXERCICES TRAITÉS EN COURS DE TMB

4

2.1. Exercices traités.

E XERCICE 4. - Soient a,b deux nombres strictement positifs. On considère les points A et B du plan de coordonnées (lna,sina) et (lnb,sinb) dans un repère orthonormé. Déterminer les coordonnées cartésiennes du milieu

I du segment

AB.

Solution.

- Comme OA OB

2OI++++====

???? ???????, les coordonnées ( x,y ) du point

I sont données par :

1 2 a b a b1 2 2 2 x (lna lnb) ln ab, y (sina sinb) sin( )cos( )+ -+ -+ -+ - et donc x ln ab====, a b a b

2 2y sin( )cos( )+ -+ -+ -+ -====.■

E XERCICE 5. - Déterminer le réel λ pour que les vecteurs (((())))1Uλ====---- ?? et (((())))λV2λ1====++++ ?? soient linéairement indépendants.

Solution.

- Le produit mixte de ces deux vecteurs est donné par :

2 21λU,V 2λ1λ(1λ)λ2λ1? ?? ?? ?? ?= = + + = += = + + = += = + + = += = + + = +? ?? ?? ?? ?- +- +- +- +

Il est non nul si et seulement si

λ1¹ -¹ -¹ -¹ -, de sorte que les vecteurs U?? et V?? sont linéairement indépendants si et seulement si λ1¹ -¹ -¹ -¹ -. ■

2.2. Exercices proposés.

E XERCICE IV. - On considère les points A et B de coordonnées carté- siennes respectives (2, 1)---- et (1,3).Déterminer les coordonnées cartésiennes de la projection de

B sur la droite OA.

Réponse.

- Cette projection a pour coordonnées cartésiennes 2

5x= -= -= -= - et 1

5y====. ■

E XERCICE V. - On considère les vecteurs θU??? et θV??? de coordonnées res- pectives (2cosθ,θ) et (1,θcosθ). Déterminer le réel θ pour que les vecteurs

GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE PLANE

5

θU??? et θV??? forment une base. Préciser alors le produit mixte θ θU ,V? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?

??? ??? et l"aire du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs ?

Réponse.

- Les vecteurs θU??? et θV??? forment une base si et seule-ment si

θ est non nul et non congru à π

4 modulo π

2. Dans ce cas, on a

θ θU ,Vθcos2θ? ?? ?? ?? ?====? ?? ?? ?? ? ??? ???, et l"aire du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs est égale à

θcos2θ. ■

§3.

- PRODUIT SCALAIRE DE DEUX VECTEURS.

3.1. Exercices traités.

E XERCICE 6. - Soient U,V?? ?? deux vecteurs du plan. Montrer que l"on a :

22 2 2U,V U V U V? ?? ?? ?? ?+ × = ++ × = ++ × = ++ × = +? ?? ?? ?? ?

Solution.

- Notons ( x,y ) et ( z,t ) les coordonnées de U?? et V?? dans un repère orthonormé. On a :

222 2 2 2U,V xt yz x t y z 2xyzt? ?? ?? ?? ?= - = + -= - = + -= - = + -= - = + -? ?? ?? ?? ?

222 2 2 2U V xz yt x z y t 2xyzt× = + = + +× = + = + +× = + = + +× = + = + +?? ??,

d"où :

222 2 2 2 2 2 2 2U,V U V x t y z x z y t? ?? ?? ?? ?+ × = + + ++ × = + + ++ × = + + ++ × = + + +? ?? ?? ?? ?

Par ailleurs, on a :

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2U V x y z t x z x t y z y t= + + = + + += + + = + + += + + = + + += + + = + + +?? ??,

d"où le résultat. ■ E XERCICE 7. - Montrer que, dans un parallélogramme, la somme des car- rés des côtés est égale à la somme des carrés des diagonales.

Solution.

- Considérons un parallélogramme ABCD du plan, de diagonales

AC et BD. On a :

AC AB AD= += += += +???? ???? ???? et DB AB AD= -= -= -= -???? ???? ????, d"où :

EXERCICES TRAITÉS EN COURS DE TMB

6

2 2 2 2AC AB AD AB AD 2AB AD= + = + + ×= + = + + ×= + = + + ×= + = + + ×???? ???? ???? ???? ???? ???? ????,

2 2 2 2DB AB AD AB AD 2AB AD= - = + - ×= - = + - ×= - = + - ×= - = + - ×???? ???? ???? ???? ???? ???? ????.

En sommant ces deux relations membre à membre, on obtient :

2 2 2 2AC DB 2 AB AD( )( )( )( )+ = ++ = ++ = ++ = +( )( )( )( )( )( )( )( )

Comme AB DC====???? ???? et AD BC====???? ????, on en déduit que :

2 2 2 2 2 2AC DB AB BC CD DA+ = + + ++ = + + ++ = + + ++ = + + +,

et le résultat est démontré. ■ E XERCICE 8. - Déterminer l"ensemble des points Mdu plan desquels on voit un segment

AB sous un angle droit.

Solution.

- On exploite l"identité de polarisation : (1)

2 21U V U V U V2( )( )( )( )× = + - -× = + - -× = + - -× = + - -( )( )( )( )( )( )( )( )

en posant U MA====?? ???? et V MB====?? ????. Si I désigne le milieu de AB, on a : MA MB 2MI+ =+ =+ =+ =???? ???? ???? et MA MB BA- =- =- =- =???? ???? ???, de sorte que l"identité de polarisation (1) s"écrit : (((( ))))2 21MA MB 4MI AB2× = -× = -× = -× = -???? ????.

Le point

M regarde le segment AB sous un angle droit si et seu- lement si MA MB 0× =× =× =× =???? ???? ? i.e. (d"après ce qui précède) si et seulement si

2 24MI AB====, ce qui équivaut encore à :

ABMI2====.

L"ensemble des points

M desquels on voit le segment AB sous

un angle droit est donc le cercle de centre le milieu

I de AB, et de

diamètre AB. Les cas où M est égal à A ou B sont particuliers, car l"angle que fait les demi-droites

MA et MB n"est plus défini.■

3.2. Exercices proposés.

GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE PLANE

7 EXERCICE VI. - On considère quatre points distincts A,B,C,Mdu plan.

Montrer que, si l"on a

AB AC AB AM× = ×× = ×× = ×× = ×???? ???? ???? ?????, la droite CM est une hauteur du

triangle ABC.

Indication.

- Considérer le produit scalaire AB CM××××???? ?????. ■ E XERCICE VII. - On considère un triangle ABC du plan. On note α l"angle en A et a,b,c les côtés BC,CA,AB. Montrer que l"on a :

2 2 2a b c 2bccosα= + -= + -= + -= + -.

Indication.

- Écrire que

22a AC AB= -= -= -= -???? ????. ■

E XERCICE VIII. - On considère deux points A,Bdu plan et un réel k 0>>>>. a) Soit Ile milieu de AB. Montrer que l"on a, pour tout point Mdu plan :

2 2MA MB 2IM AB- = ×- = ×- = ×- = ×???? ???? ???? ????.

b) En déduire le lieu des points

Mdu plan tels que

2 2MA MB k- =- =- =- =???? ????.

Réponse.

- Le lieu des points Mest une droite orthogonale au seg- ment

AB dont l"intersection Havec AB vérifie k

2IH AB====. ■

§4.

- DROITES DU PLAN.

4.1. Exercices traités.

E XERCICE 9. - Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite (D) d"équation x y 1 0- - =- - =- - =- - = et le point A de coordonnées cartésiennes (1,2). a) Déterminer les coordonnées cartésiennes du point

Hprojection orthogonale

de l"origine sur la droite (D). b) Soit P la projection orthogonale du point A sur la droite (D). Détermi- ner les coordonnées du vecteur

HP????.

c) Déduire de ce qui précède les coordonnées de P.

EXERCICES TRAITÉS EN COURS DE TMB

8 Solution. - a) Le vecteur OH???? est parallèle au vecteur U?? de coor- données (1, 1)----; ses coordonnées sont donc de la forme ( x, x)----. En

écrivant que

H appartient à la droite (D), on obtient 2x 1 0- =- =- =- =, d"où 1

2x====. Les coordonnées du point H sont donc 1 1

2 2( , )----.

b) Un vecteur directeur de la droite (D) est le vecteur V?? de coor- données (1,1). Comme le vecteur HP???? est le projeté orthogonal du vecteur

OA???? sur le vecteur V??, on a :

2OAV

VHP V××××====

d"où l"on déduit que 3

2HP V====???? ??. Il s"ensuit que les coordonnées de HP????

sont 3 3

2 2( , ).

c) De la relation OP OH HP= += += += +???? ???? ???? et des questions a) et b), on dé- duit que les coordonnées du point

P sont (2,1). ■

E XERCICE 10. - On considère trois points A,B,C du plan, de coordonnées cartésiennes (1,1),(0,3) et (0,1)dans un repère orthonormé. a) Écrire l"équation de la droite (D) passant par A et B. b) Déterminer l"équation de la perpendiculaire (Δ) à la droite (D) passant par le point C. c) Déterminer le point d"intersection des droites (D) et (Δ). d) Calculer de deux manières différentes la distance du point

Cà la droite

(D).

Solution.

- a) Le vecteur AB???? a pour coordonnées ( 1,2)----. Un vec- teur orthogonal à AB???? est le vecteur V?? de coordonnées (2,1), de sorte que l"équation de la droite (D) est de la forme 2x y c+ =+ =+ =+ =. Cette droite passe par B et, en faisant x 0==== et y 3==== dans son équation, on ob- tient c 3====. L"équation de (D) est donc : 2x y 3 0+ - =+ - =+ - =+ - =. b) La perpendiculaire à (D) passant par C a pour vecteur ortho- gonal le vecteur AB???? de coordonnées ( 1,2)----. Son équation est donc de la forme x 2y d- + =- + =- + =- + =. En écrivant que cette droite passe par C, on

GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE PLANE

9 obtient d 2====. La perpendiculaire à (D) passant par C a donc pour

équation

x 2y 2 0- + =- + =- + =- + =. c) Les coordonnées ( x,y) du point Iintersection des droites (D) et (Δ) vérifient le système d"équations linéaires :

2x y 3

x 2y 2

En multipliant la première équation par

2 et en lui ajoutant la se-

conde, on obtient

5x 4====, d"où 4

5x====. En reportant cette valeur dans

la première équation, on obtient 7

5y====. Les coordonnées du point

d"intersection

I sont donc 4 7

5 5( , ).

d) Puisque I est la projection orthogonale de C sur (D), la dis- tance de

C à la droite (D) est égale à

2 516 4

25 25 5d(C,I )= + == + == + == + =.

On peut retrouver ce résultat en utilisant l"expression de la distance ( D )δ(M ) d"un point M de coordonnées (α,β) à une droite (D) d"équation ax by c 0+ + =+ + =+ + =+ + = au moyen de la formule : 2 2 aαbβc ( D )a bδ(M )+ ++ ++ ++ +

On obtient ici :

1 32 52( D )

54 1 5δ(C )----

4.2. Exercices proposés.

E XERCICE IX. - Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on consi- dère la droite (D) d"équation x y 2 0+ - =+ - =+ - =+ - = et le point A de coordonnées carté- siennes (0, 1)----. a) Déterminer les coordonnées cartésiennes du point

Hprojection orthogonale

de l"origine sur la droite (D). b) Soit P la projection orthogonale du point A sur la droite (D). Détermi- ner les coordonnées du vecteur

HP????.

EXERCICES TRAITÉS EN COURS DE TMB

10 c) Déduire de ce qui précède les coordonnées de P.

Réponses.

- a) Le point H a pour coordonnées (1, 1)----. b) Les coordonnées du vecteur

HP???? sont 1 1

2 2( , )- -- -- -- -. c) Les coordonnées du

point

P sont 31

2 2( , )----. ■

E XERCICE X. - Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on consi- dère le point A de coordonnées (1,1) et le vecteur V?? de coordonnées ( 2,1)----. a) Écrire l"équation de la droite (D) orthogonale à V?? et passant par A. b) Déterminer l"équation de la perpendiculaire (Δ) à la droite (D) passant par le point

B de coordonnées (0,1).

c) Déterminer le point d"intersection des droites (D) et (Δ). d) Calculer la distance du point

Bà la droite (D).

Réponses.

- a) La droite (D) a pour équation 2x y 1 0- + + =- + + =- + + =- + + =. b)

La droite

(Δ) a pour équation x 2y 2 0+ - =+ - =+ - =+ - =. c) Le point d"intersection des droites (D) et (Δ) a pour coordonnées 4 3

5 5( , ). d)

La distance du point

B à la droite (D) est égale à 2 5

5. ■

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