denombrabilite.pdf
May 14 2005 c'est une bijection sur son image
Annexe A - Ensembles dénombrables
p ? Z q ? N? et p et q sont premiers entre eux) est injective de Q dans Z × N?. • P(N) (l'ensemble des parties de N) a même cardinal que {0
Cardinal dun ensemble et théorème de Cantor-Bernstein
b) Montrer que ? est bijective. c) En déduire par récurrence pour tout d ? N? que l'ensemble Nd est dénombrable. 4. L'ensemble Q est dénombrable.
Méthodologie : énoncés
18) Montrer que Q et Q[X] sont dénombrables et en déduire que l'ensemble des nombres complexes algébriques 1 est dénombrable.
Probabilités sur un univers fini ou dénombrable
L'ensemble Q est dénombrable. Démonstration En effet Q est en bijection avec {(p
École Polytechnique 2009-2010 Théorie de Galois Pour k ? K une
On admettra qu'un ensemble de la forme X = ?i?IXi avec I et les Xi dénombrables
DÉNOMBRABLE OU CONTINU
On peut démontrer que f est une bijection de ] × ] sur. ` et ainsi que ] × ] est dénombrable : ]. Pour tout q élément de ` on note Cq l'ensemble des.
1 Tribus
complémentaire et par intersection dénombrable : c'est une tribu. Exercice 2. Montrer que la tribu des boréliens sur R est engendrée par.
Chapitre 6 Probabilités sur des ensembles finis ou dénombrables
Toute partie infinie de N est dénombrable. Exercice 3. Montrer que Q est dénombrable. Propriété 3. Soit ? un ensemble non vide.
Un deux
https://xavier.caruso.ovh/popularization/ordinaux.pdf
Exercice 2.??????? ??????
2.???f: (p;q)7!q+p+qP
Propriété 1 (Produit cartésien & Dénombrabilité)???????n2N???( 1 nPropriété 3?????
(i)? ????N?Exercice 4.
1.????(
i2N (i)? 2F? (ii)?? ??????? A2F?cA2F? (iii)?? ??????? (Ai)i2N2FN?S i2NA i2F?Exercice 5.??????n2N???k2J0;nK?
1.??????? ???P(
)??f;; g???? ??? ?????? ???2.????A
? ??????? ???f;;A;cA; g??? ??? ????? ???4.???????
6. Tribu engendrée.????AP(
Définition 3 (Expérience aléatoire, Univers, Événements)?????(Exercice 6.????n2N??
b)?????? ?????? ???? ?? ?6?????? ?? ?? ?????P(Propriété 4???????F??? ????? ???
?n2N??(Ak)k2N2FN? (i)?; 2F? (ii)?nS k=1A k2F?(iii)?T k2NA k2F? (iv)?A1nA22F? Définition 4 (Système complet d"événements)???????( (i)?? ??????? (i;j)2N2;(i6=j)Ai\Aj=;)? (ii)?S i2NA i=Exercice 7.????(
;P(1.????A
2.?? Définition 5 (Probabilité, Espace probabilisé, Axiomatique deK OLMOGOROV)?????(
;F)?? (i)?P( ) = 1? P G k2NA k! =+1X k=0P(Ak):Propriétés 5???????(
(i)?P(;) = 0? (ii)??? A1;:::;An???? ???? ? ???? ?????? nF i=1A i =nP i=1P(Ai)? (iii)?P(cA) = 1P(A)?(iv)??? AB? ?????P(BnA) =P(B)P(A):
(v)??? AB? ?????P(A)6P(B)? (vi)?P(A[B) =P(A) +P(B)P(A\B)? Propriété 6 (Continuités croissante & décroissante)?????( lim n!+1P(An) =P [ k2NA k! lim n!+1P(Bn) =P \ k2NB k! 1.PS n2NA n = lim N!+1P NS n=0A n 2.PT n2NA n = lim N!+1P NT n=0A n Propriété 7 (Sous-additivité, Inégalité deB OOLE)???????(
P k2NA k! 6+1X k=0P(Ak); ?? ?? ?????? ?? ?????? ??? ????? ???R[ f+1g?Exercice 10. (Formule du crible / Formule de
P OINCARÉ, H.P.)??????n2N??(Ai)i2J1;nK2Fn?
P n[ i=1A i! =nX k=1(1)k+1X16i1< k\ j=1A ij1 A Définition 6 (Événement négligeable, presque sûr)?????( Théorème 1 (Cas fini)??? ??????? ???
;P( ))? ??? ???? ????i?????? ??J1;nK?pi=P(fxig)? nP i=1p i= 1? i=1p i= 1? ?? ??????? ???? ????A P(A) =P
i;xi2Ap ;P( 1. Équiprobabilité.??
=fx1;:::;xng?pk=1n 2. B ERNOULLI.??
=f0;1g??p2[0;1]?p0= 1p1=p? 3. Binomiale.??
=J0;nK??p2[0;1]?pk=n kpk(1p)nk? Théorème 2 (Cas dénombrable)??? ??????? ??? ;P( ))? ?? ??????? ???? ????i2N?pi=P(fxig)? ????? +1P i=0p i= 1? i=0p i= 1? ?????? ?? ??????? ???? ???? A ?P(A) =P i;xi2Ap ;P( 1. Géométrique.??
=N??p2[0;1]?pk=p(1p)k1? 2. P OISSON.??
=N??2R+?pk= ekk!? Définition 7 (Probabilité conditionnelle)?????( P(AjB) =P(A\B)P(B):
Exercice 13.
i=1A P(A1\ \An) =P(A1)P(A2jA1)P(AnjA1\ \An1):
Théorème 3 (Formule des probabilités totales)???????( P(A) =+1X
k=0P(AjBk)P(Bk): Exercice 14. (Loi de succession de
Théorème 4 (Formule de
B AYES)?????(
P(BkjA) =P(Bk)P(AjBk)+1P
i=0P(Bi)P(AjBi): Exercice 15. (Faux positifs)
Définition 8 (Indépendance)???????(
Exercice 16.
7.???????
Définition 9 (Indépendance mutuelle)???????( P 0 j2JA j1 A =Y j2JP(Aj): Exercice 18.
??? ???? ????j2J1;nK?Bj??? ???? ?T k2IjA k?? ?S k2IjA k? ??????(Bi)i2J1;nK??? ??? ;F;P)?? !2 ?P(f!g) = 0? 1. a)??????? ???B=T
n2NS m>nA m??C=S n2NT m>nA m? 2. Lemme de
B OREL-CANTELLIn°1.
?? ??????? ???+1P m>nA m? b)?? ??????? ???PT n2NB n 2? 4. Lemme de
B OREL-CANTELLIn°2.
a)??????? ???06NQ k=p(1P(Ak))6exp( NP k=pP(Ak)) b)?? ??????? ???P(cB) = 0???? ???P(B) = 1? a)?? ??????Ak=(k+1)mT i=km+1Pquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
Théorème 1 (Cas fini)??? ??????? ???
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=f0;1g??p2[0;1]?p0= 1p1=p?3. Binomiale.??
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=N??p2[0;1]?pk=p(1p)k1? 2.P OISSON.??
=N??2R+?pk= ekk!? Définition 7 (Probabilité conditionnelle)?????(P(AjB) =P(A\B)P(B):
Exercice 13.
i=1AP(A1\ \An) =P(A1)P(A2jA1)P(AnjA1\ \An1):
Théorème 3 (Formule des probabilités totales)???????(P(A) =+1X
k=0P(AjBk)P(Bk):Exercice 14. (Loi de succession de
Théorème 4 (Formule de
B AYES)?????(
P(BkjA) =P(Bk)P(AjBk)+1P
i=0P(Bi)P(AjBi):Exercice 15. (Faux positifs)
Définition 8 (Indépendance)???????(
Exercice 16.
7.???????
Définition 9 (Indépendance mutuelle)???????( P 0 j2JA j1 A =Y j2JP(Aj):Exercice 18.
??? ???? ????j2J1;nK?Bj??? ???? ?T k2IjA k?? ?S k2IjA k? ??????(Bi)i2J1;nK??? ??? ;F;P)?? !2 ?P(f!g) = 0?1. a)??????? ???B=T
n2NS m>nA m??C=S n2NT m>nA m?2. Lemme de
B OREL-CANTELLIn°1.
?? ??????? ???+1P m>nA m? b)?? ??????? ???PT n2NB n 2?4. Lemme de
B OREL-CANTELLIn°2.
a)??????? ???06NQ k=p(1P(Ak))6exp( NP k=pP(Ak)) b)?? ??????? ???P(cB) = 0???? ???P(B) = 1? a)?? ??????Ak=(k+1)mT i=km+1Pquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] montrer que racine de n est irrationnel
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