[PDF] École Polytechnique 2009-2010 Théorie de Galois Pour k ? K une

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Ecole Polytechnique 2009-2010

Th´eorie de Galois

Feuille d"exercices 3

Pourk?Kune extension de corps etx?Kalg´ebrique surk, on note Πx?k[X] le polynˆome minimal dexsurk. Exercice 1.(Rappels de cours) (i) Soientk?Kune extension de corps etx?Kalg´ebrique surk. Montrer que l"applicationk[X]→K,P?→P(x), induit un isomorphisme dek-alg`ebres k[X]/(Πx)≂→k[x]. (ii) En d´eduire que pour toutek-alg`ebreL, Homk-alg(k[x],L) est en bijection naturelle avec l"ensemble des racines de Π xdansL. En particulier, v´erifier que siLest un corps (iii) Soientkun corps etP?k[X] un polynˆome non constant. Montrer qu"il existe un corps contenantkdans lequelPadmet une racine (resp. dans lequelPest scind´e). Pourk?Kune extension de corps, on notera Autk(K) l"ensemble des automorphismes k-lin´eaires du corpsK. C"est un groupe pour la composition. Exercice 2.Soitk?Kune extension alg´ebrique. On veut montrer que tout morphisme dek- alg`ebreK→Kest un ´el´ement de Autk(K). (i) Le d´emontrer quand [K:k]<∞. (ii) En d´eduire le cas g´en´eral. Pourx?K, on pourra consid´erer le sous-corps deK engendr´e par les racines de Π xdansK. Exercice 3.SoitQ?Cle sous-corps des nombres alg´ebriques surQ. (i) Rappeler pourquoiQest une clˆoture alg´ebrique deQ. Montrer que HomQ-alg(Q,C) = Hom

Q-alg(Q,Q) = AutQ(Q).

On rappelle qu"un ensembleXest dit d´enombrable si il existe une surjectionN→X. On admettra qu"un ensemble de la formeX=?i?IXi, avecIet lesXid´enombrables, est d´enombrable. (ii) Montrer queQest d´enombrable. On munitC, ainsi que ses parties, de la distance usuelled(z,z?) =|z-z?|. (iii) Montrer que siσ?AutQ(Q) est continu alors soitσ= id, soitσest la conjugaison complexe. (iv) En revanche, montrer que Aut Q(Q) est infini. On pourra par exemple d´emontrer, en utilisant le th´eor`eme de prolongement, que pour tout entiernet toute racine ni`eme de 1 Pourk?Kune extension de corps etH?Autk(K) une partie de Autk(K), par exemple un sous-groupe, on noteKHl"ensemble des points fixes deHdansK, c"est `a dire {x?K,σ(x) =x?σ?H}. C"est un sous-corps deK.

Exercice 4.Soitd?Zqui n"est pas un carr´e.

(i) Montrer que Aut Q(Q[⎷d]) est un groupe `a deux ´el´ements, constitu´e de l"identit´e et de l"applicationσd´efinie parσ(a+b⎷d) =a-b⎷dpour touta,b?Q. (ii) Soitd??Zqui n"est pas un carr´e. En utilisantσ, montrer que⎷d ??Q[⎷d] si, et seulement si,d?/dest le carr´e d"un nombre rationnel. (iii) Siz?Q[⎷d], on poseN(z) =zσ(z)?Q(justifier). Montrer que ?z,z??Q[⎷d], N(zz?) =N(z)N(z?). En d´eduire que les nombres rationels non nuls de la formea2-db2aveca,b?Qforment un sous-groupe deQ?pour la multiplication. (Exemple classique :d=-1) Exercice 5.SoientK=Q[⎷2,⎷3] etG= AutQ(K). On se propose de d´eterminer la structure du groupeGainsi que tous les sous-corps deK. (i) Montrer que [K:Q] = 4 et donner trois sous-corps stricts1deK. Montrer que

(ii) Soitx? {⎷2,⎷3,⎷6}. Montrer que AutQ[x](K) a deux ´el´ements et les d´ecrire.

(iii) En d´eduire que|G|= 4. Lister les ´el´ements deGet d´ecrireKσpour chaqueσ?G. (iv) Montrer queG?(Z/2Z)2. On pourra soit raisonner directement, soit montrer que l"applicationG→ {±1} × {±1}: est un isomorphisme de groupes. (v) SoitL?Kun sous-corps strict. Montrer que AutL(K) est un sous-groupe `a deux ´el´ements deG. (On pourra d"abord montrer queK=L[x] pourx? {⎷2,⎷3,⎷6}bien choisi.) (vi) En d´eduire queLest l"un des trois corps trouv´es au (i). (vii) Soitx=a+b⎷2 +c⎷3 +d⎷6,a,b,c,d?Q. Montrer queQ[x] =Ksi, et seulement si, deux au moins des nombresb,cetdsont non nuls (de telsx, sont appel´es

´el´ements primitifs deKsurQ).

(viii) V´erifier que l"application qui `a un sous-groupeHdeG= AutQ(K) associe le sous-corpsKHdeKinduit une bijection entre sous-groupes deGet sous-corps deK.1

C"est `a dire diff´erents deQet deK.

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