denombrabilite.pdf
May 14 2005 c'est une bijection sur son image
Annexe A - Ensembles dénombrables
p ? Z q ? N? et p et q sont premiers entre eux) est injective de Q dans Z × N?. • P(N) (l'ensemble des parties de N) a même cardinal que {0
Cardinal dun ensemble et théorème de Cantor-Bernstein
b) Montrer que ? est bijective. c) En déduire par récurrence pour tout d ? N? que l'ensemble Nd est dénombrable. 4. L'ensemble Q est dénombrable.
Méthodologie : énoncés
18) Montrer que Q et Q[X] sont dénombrables et en déduire que l'ensemble des nombres complexes algébriques 1 est dénombrable.
Probabilités sur un univers fini ou dénombrable
L'ensemble Q est dénombrable. Démonstration En effet Q est en bijection avec {(p
École Polytechnique 2009-2010 Théorie de Galois Pour k ? K une
On admettra qu'un ensemble de la forme X = ?i?IXi avec I et les Xi dénombrables
DÉNOMBRABLE OU CONTINU
On peut démontrer que f est une bijection de ] × ] sur. ` et ainsi que ] × ] est dénombrable : ]. Pour tout q élément de ` on note Cq l'ensemble des.
1 Tribus
complémentaire et par intersection dénombrable : c'est une tribu. Exercice 2. Montrer que la tribu des boréliens sur R est engendrée par.
Chapitre 6 Probabilités sur des ensembles finis ou dénombrables
Toute partie infinie de N est dénombrable. Exercice 3. Montrer que Q est dénombrable. Propriété 3. Soit ? un ensemble non vide.
Un deux
https://xavier.caruso.ovh/popularization/ordinaux.pdf
Cantor-Bernstein
Introduction
de ses propriétés. Le cardinal d"un ensemble est simple à appréhender dans le cas finis, mais c"est une
notion plus abstraite dans le cas général. Dans la seconde partie, nous démontrerons notamment le
résultat suivant.Théorème de Cantor Bernstein (1895): SoientXetYdeux ensembles. Si il existe une injection deX
dansYet une injection deYdansX, alors il existe une bijection deXdansY.Dans la suite du problème, nous utiliserons le vocabulaire suivant.
Définition
(É quipotencee ts ubpotence) : SoientXetYdeux ensembles. (i) O ndi tqu eXest équipotent àY, ce que l"on noteX≃Y, s"il existe une bijection deXdansY. (ii)O ndit q ueXest subpotent àY, ce que l"on noteX≼Y, s"il existe une injection deXdansY.I.Gé néralités
Dans cette partie, nous allons étudier les propriétés élémentaires de≃et≼. Nous montrerons que≃vé-
rifie les mêmes propriétés qu"une relation d"équivalence. Remarquons que ce n"en est pas une formel-
lement, car il faudrait définir≃sur l"ensemble de tous les ensembles pour obtenir une relation d"équi-
valence, mais nous prouverons qu"un tel ensemble n"existe pas.On considère trois ensemblesX,YetZ.
1. C asd esense mblesfini s.On suppose queXetYsont finis. a)A quelle conditions les ensemblesXetYsont-ils équipotents? b)A quelle conditions l"ensembleXest-il subpotent àY? 2.P ropriétésd e≃.
a)Montrer queX≃X. b)Montrer que siX≃Y, alorsY≃X. c)Montrer que siX≃YetY≃Z, alorsX≃Z. 3.P ropriétéde ≼.
a)Montrer queX≼X. b)Montrer que siX≼YetY≼Z, alorsX≼Z. 1/ 3 a)Montrer queXest subpotent àP(X). b)Soitϕ:P(X)→Xune application. En considérant la partie Y={x∈X|∃A∈P(X),x=ϕ(A) etx∉ϕ(A)}, montrer queP(X) n"est pas subpotent àX. c)En déduire qu"il n"existe pas un ensemble de tous les ensembles. II.Le théorè mede C antor-Bernstein
Dans cette partie, nous allons démontrer le théorème de Cantor-Bernstein dont l"énoncé est le suivant.
SiXetYsont deux ensembles tels queXest subpotent àYetYest subpotent àX, alorsXetYsontéquipotents.
SoitXun ensemble etZune partie deX. Sif:X→Xest une application etn∈N∗, on note f nfois1.Soitf:X→Xune application injective telle quef(X)⊂Z. On définitϕ:X→Zpar
∀x∈X,ϕ(x)=½f(x) six∈C xsix∉CoùC=[ n∈Nf◦n(X\Z) Montrer que l"applicationϕ:X→Zest bijective.2.En utilisant la question précédente, démontrer le théorème de Cantor-Bernstein.
III.E nsemblesdénombrable s
ensembles dénombrables.1.Montrer queN∗est dénombrable.
2.Montrer queZest dénombrable.
3. L "ensembleNdest dénombrable.On définit l"applicationϕ:N2→Npar a)En utilisant le théorème fondamental de l"arithmétique, montrer queϕest surjective. b)Montrer queϕest bijective. c)En déduire par récurrence pour toutd∈N∗que l"ensembleNdest dénombrable. 4.L "ensembleQest dénombrable.
a)Construire une application injective deQdansN×Z. b)En utilisant le théorème de Cantor-Bernstein, en déduire queQest dénombrable. 2/ 3Pour terminer, nous allons étudier l"ensembleR. On rappel que pour tout nombre réelx∈]0,1[, il existe
une unique suite (dn(x))n∈N∗∈J0,9KNqui n"est pas stationnaire en 9 telle que x=limn→+∞à nX k=1d k(x)10 k!La suite (dn(x))n∈N∗est le développement décimal dex. SiA∈P(N), on définit1A:N→{0,1} par
∀ℓ∈N,1A(ℓ)=½1 siℓ∈A0 siℓ∉A.
1.Montrer que l"applicationα:]0,1[→Rdéfinie par
∀x∈]0,1[,α(x)=2x-14x(1-x) est bijective. 2.Les ens emblesRetRdsont équipotents.
a)En utilisant le développement décimal d"un nombre réel rappelé ci-dessus, construire une
application injective de ]0,1[2dans ]0,1[.
b)En déduire que ]0,1[ et ]0,1[2sont équipotents. c)En déduire queRetR2sont équipotents. d)Montrer queRetRdsont équipotents pour toutd∈N∗. 3.Les ens emblesRetP(N)sont équipotents.
a)Montrer que l"applicationg:]0,1[→P(N) définie par ∀x∈]0,1[,g(x)=( nX k=1d k(x)∈N¯¯¯n∈N∗) est injective. sembleP(N) dans ]0,1[ c)En déduire queRetP(N) sont équipotents. d)L"ensembleRest-il dénombrable? 4.L "ensembleC0(R,R)est équipotent àR.
a)Montrer que l"applicationC0(R,R)→RQdéfinie parf7→f|Qest injective. b)Montrer que l"applicationP(N)→{0,1}Ndéfinie parA7→1Aest bijective. c)En utilisant les questions précédentes, montrer queRQetRsont équipotents. d)En déduire queC0(R,R) etRsont équipotents. Fin 3/ 3quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] montrer que racine de n est irrationnel
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