[PDF] Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités





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Inégalités – Valeur absolue

Plus généralement les différents types d'intervalles sont donnés dans le tableau 1 (où a et b représentent deux réels



Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités

Exercice 2 *I Inégalité de BERNOULLI. Montrer que pour a réel positif et n entier naturel donnés



Partie 1 : Intervalles de ?

On en déduit que : =3 ou =7. Méthode : Résoudre une inéquation avec des valeurs absolues. Vidéo https://youtu.be/kTJ09D1Bzs0. Résoudre 



Équation et inéquation avec des valeurs absolues

Équation et inéquation avec des valeurs absolues. 1 Équation On détermine les valeurs frontières de chaque valeur absolue : ?3x + 4 = 0.



Sommaire

6 Montrer qu'un complexe est réel ou imaginaire pur 27 Résoudre une inéquation avec des valeurs absolues ou des radicaux.



Chapitre 1 Calculs algébriques élémentaires

Soit x un nombre réel on définit la valeur absolue de x par : Pour résoudre une équation (ou inéquation) avec des valeurs absolues



Lart de la majoration

Vous ne songez pas aux problèmes de signe ou de valeur absolue. Songez à tester la justesse de vos inégalités avec des valeurs particulières de x!



Série dexercices no1/6 Autour des réels Exercice 1 : rationnels ou

Exercice 3 : racine et valeur absolue Montrer que x est solution de (1) si et seulement si ... Démontrer les égalités et inégalités suivantes.



RAPPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES

valeur absolue seront revues spécifiquement dans un chapitre ultérieur et on s'interdira momentanément toute étude de fonction pour démontrer une inégalité.



Sommaire

15 Montrer qu'un complexe est réel ou imaginaire pur 28 Résoudre une inéquation avec des valeurs absolues ou des radicaux.

Exo7 Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1**I Moyennes arithmétique, géométrique et harmoniqueSoientxetydeux réels tels que 0 (moyenne arithmétique),g=pxy(moyenne géométrique) et 1h =12 (1x +1y )(moyenne harmonique). Montrer quex6h6g6m6y. qu"avec les deux opérations+et) que pourn2N,(1+1n )n<3.

Pour cela développer, puis majoreruk=Cknn

ken commençant par majorervk=uk+1u kpar12

Montrer que(a1+a2+:::+an)(1a

1+:::+1a

n)>n2(développer et penser àf(x) =x+1x j nå k=1a kbkj6nå k=1jakj:jbkj6sn k=1a2ksn k=1b2k:

(Indication. Considérer le polynômef(x) =ånk=1(ak+bkx)2, développer puis ordonner suivant les puissances

décroissantespuisutiliser, danslecasgénéral, lesconnaissancessurleseconddegré). Retrouveralorslerésultat

de l"exercice 4 inférieur ou égal à 14 1

2.Montrer que : 8(x;y)2R2;E(x)+E(y)6E(x+y).

3. Montrer que : 8(x;y)2R2;E(x)+E(y)+E(x+y)6E(2x)+E(2y). n=a0+10a1+:::+10pap;

oùpest un entier naturel et lesaisont des entiers éléments def0;:::;9g,apétant non nul. Déterminerpen

fonction den. 2. 1. Combien y a-t-il d"entiers naturels entre 1 et n? entre 1 etx? 2. Combien y a-t-il d"entiers naturels entre 0 et n? entre 0 etx? 3.

Combien y a-t-il d"entiers naturels pairs entre 0 et x? Combien y a-t-il d"entiers naturels impairs entre 0

etx? 4.

Combien y a-t-il de multiples de 3 entre 0 et x?

5. Combien l"équation x+2y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle de couples solutions ? 6. De combien de f açonspeut-on payer 10 euros a vecdes pièces de 10 et 20 centimes d"euros ? 7.

(***) Combien l"équation 2 x+3y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle

de couples solutions ? ) =E(nx)(poser la division euclidienne deE(nx)parn). (n+2E(n25 ))) =E(8n+2425 1. Montrer qu"il e xiste(an;bn)2(N)2tel que(2+p3)n=an+bnp3, puis que 3b2n=a2n1. 2. Montrer que E((2+p3)n)est un entier impair (penser à(2p3)n)). 2 ) =E(x).

Montrer quejx1+2x2+:::+nxnj6E(n24

(commencer par vérifier que pourk=2;3;:::;n, on a :(nk+1)k>n). (remarquer que six2[0;1];x26x). Correction del"exer cice1 NSoientxetydeux réels tels que 0On a déjà x=x+x2 6x+y2 =m6y+y2 =yet doncx6m6y. (on peut aussi écrire :mx=x+y2 x=yx2 >0). 2.

On a ensuite x=px:x6pxy=g6py:y=yet doncx6g6y.

3.mg=x+y2

pxy=12 ((px)22pxy+(py)2) =12 (pypx)2>0 et donc,x6g6m6y. 4.

D"après 1), la mo yennearithmétique de

1x et1y est comprise entre1x et1y , ce qui fournit1y 61h
61x
, ou encore x6h6y. 5. D"après 3), la mo yennegéométrique des deux réels 1x et1y est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique. Ceci fournitq1 x :1y 612
(1x +1y )ou encore1g 61h
et finalement x6h6g6m6yoù1h =12 1x +1y ,g=pxyetm=x+y2 .Remarque 1.On ah=2xyx+y, mais cette expression ne permet pas de comprendre que1h est la moyenne arithmétique de 1x et1y Remarque 2.On peut visualiser l"inégalité entre moyenne arithmétique et géométrique.

Si(ABC)est un triangle rectangle enAetA0est le pied de la hauteur issue deA, on sait queAA02=A0B:A0C.

On se sert de cette remarque pour construireget la comparer graphiquement àm. Onaccolledeuxsegmentsdelongueursrespectivesxety. Onconstruitalorsuntrianglerectangled"hypothénuse

ce segment (de longueurx+y) noté [BC], tel que le troisième sommetAait une projection orthogonaleA0sur

(BC)vérifiantBA0=xetCA0=y.x+ym g x y A

B CALa moyenne arithmétique dexetyestm=x+y2

, le rayon du cercle, et la moyenne géométrique dexetyest g=pxy=pA

0B:A0C=AA0, la hauteur issue deAdu triangle(ABC).Correction del"exer cice2 N(1+a)n= (1+a):::(1+a) =1+na+:::>1+na.Correction del"exer cice3 N4

Pourn2N,(1+1n

)n=ånk=0Cknn k. Pourk2 f0;:::;ng, posonsuk=Cknn kpuisvk=uk+1u k. Pourk2 f1;:::;n1g, on a alors v k=Ck+1n:nkC kn:nk+1=1n +n+1n(k+1) 61n
+n+12n(cark>1) 12

12n<12

Ainsi, pourk2 f1;:::;n1g,uk+1612

uket donc, immédiatement par récurrence, u k612 k1u1=12 k1nn =12 k1:

En tenant compte deu0=1, on a alors pourn2N,

(1+1n )n=nå k=0u k61+nå k=112 k1=1+112 n112 =1+2(112 n) =312 n1<3:Correction del"exer cice4 NSoientn2Neta1,a2,...,an,nréels strictement positifs. nå i=1a i! nå j=11a j!

16i;j6na

ia j=nå i=1a ia i+å

16i j+aja i) =n+å

16i j+aja i)

Pourx>0, posons alorsf(x) =x+1x

.fest dérivable sur]0;+¥[et pourx>0,f0(x) =11x

2=(x1)(x+1)x

2.f

est donc strictement décroissante sur]0;1]et strictement croissante sur[1;+¥[.fadmet ainsi un minimum en

1. Par suite,

8x>0;f(x)>f(1) =1+11

=2:

(Remarque.L"inégalité entre moyenne géométrique et arithmétique permet aussi d"obtenir le résultat :

12 (x+1x )>rx:1x =1:)

On en déduit alors que

nå i=1a inå j=11a j>n+å

16i

=n2:Correction del"exer cice5 NPourxréel, posonsf(x) =ånk=1(ak+bkx)2. On remarque que pour tout réelx,f(x)>0. En développant lesn

carrés, on obtient, f(x) =nå k=1(b2kx2+2akbkx+a2k) = (nå k=1b2k)x2+2(nå k=1a kbk)x+(nå k=1a2k):

1er cas.Siånk=1b2k6=0,fest un trinôme du second degré de signe constant surR. Son discriminant réduit est

alors négatif ou nul. Ceci fournit 5

0>D0= (nå

k=1a kbk)2(nå k=1b2k)(nå k=1a2k); et donc nå k=1a kbk 6sn k=1a2ksn k=1b2k:

2ème cas.Siånk=1b2k=0, alors tous lesbksont nuls et l"inégalité est immédiate.

Finalement, dans tous les cas,

j

ånk=1akbkj6qå

nk=1a2kqå

nk=1b2k:Cette inégalité est encore valable en remplaçant lesaket lesbkpar leurs valeurs absolues, ce qui fournit les

inégalités intermédiaires.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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