Inégalités – Valeur absolue
Plus généralement les différents types d'intervalles sont donnés dans le tableau 1 (où a et b représentent deux réels
Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités
Exercice 2 *I Inégalité de BERNOULLI. Montrer que pour a réel positif et n entier naturel donnés
Partie 1 : Intervalles de ?
On en déduit que : =3 ou =7. Méthode : Résoudre une inéquation avec des valeurs absolues. Vidéo https://youtu.be/kTJ09D1Bzs0. Résoudre
Équation et inéquation avec des valeurs absolues
Équation et inéquation avec des valeurs absolues. 1 Équation On détermine les valeurs frontières de chaque valeur absolue : ?3x + 4 = 0.
Sommaire
6 Montrer qu'un complexe est réel ou imaginaire pur 27 Résoudre une inéquation avec des valeurs absolues ou des radicaux.
Chapitre 1 Calculs algébriques élémentaires
Soit x un nombre réel on définit la valeur absolue de x par : Pour résoudre une équation (ou inéquation) avec des valeurs absolues
Lart de la majoration
Vous ne songez pas aux problèmes de signe ou de valeur absolue. Songez à tester la justesse de vos inégalités avec des valeurs particulières de x!
Série dexercices no1/6 Autour des réels Exercice 1 : rationnels ou
Exercice 3 : racine et valeur absolue Montrer que x est solution de (1) si et seulement si ... Démontrer les égalités et inégalités suivantes.
RAPPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES
valeur absolue seront revues spécifiquement dans un chapitre ultérieur et on s'interdira momentanément toute étude de fonction pour démontrer une inégalité.
Sommaire
15 Montrer qu'un complexe est réel ou imaginaire pur 28 Résoudre une inéquation avec des valeurs absolues ou des radicaux.
Exercice 1**I Moyennes arithmétique, géométrique et harmoniqueSoientxetydeux réels tels que 0 (Indication. Considérer le polynômef(x) =ånk=1(ak+bkx)2, développer puis ordonner suivant les puissances décroissantespuisutiliser, danslecasgénéral, lesconnaissancessurleseconddegré). Retrouveralorslerésultat oùpest un entier naturel et lesaisont des entiers éléments def0;:::;9g,apétant non nul. Déterminerpen Combien y a-t-il d"entiers naturels pairs entre 0 et x? Combien y a-t-il d"entiers naturels impairs entre 0 (***) Combien l"équation 2 x+3y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle Si(ABC)est un triangle rectangle enAetA0est le pied de la hauteur issue deA, on sait queAA02=A0B:A0C. ce segment (de longueurx+y) noté [BC], tel que le troisième sommetAait une projection orthogonaleA0sur est donc strictement décroissante sur]0;1]et strictement croissante sur[1;+¥[.fadmet ainsi un minimum en (Remarque.L"inégalité entre moyenne géométrique et arithmétique permet aussi d"obtenir le résultat : =n2:Correction del"exer cice5 NPourxréel, posonsf(x) =ånk=1(ak+bkx)2. On remarque que pour tout réelx,f(x)>0. En développant lesn nk=1b2k:Cette inégalité est encore valable en remplaçant lesaket lesbkpar leurs valeurs absolues, ce qui fournit lesPour cela développer, puis majoreruk=Cknn
ken commençant par majorervk=uk+1u kpar12 Montrer que(a1+a2+:::+an)(1a
1+:::+1a
n)>n2(développer et penser àf(x) =x+1x j nå k=1a kbkj6nå k=1jakj:jbkj6sn k=1a2ksn k=1b2k: 2.Montrer que : 8(x;y)2R2;E(x)+E(y)6E(x+y).
3. Montrer que : 8(x;y)2R2;E(x)+E(y)+E(x+y)6E(2x)+E(2y). n=a0+10a1+:::+10pap; Combien y a-t-il de multiples de 3 entre 0 et x?
5. Combien l"équation x+2y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle de couples solutions ? 6. De combien de f açonspeut-on payer 10 euros a vecdes pièces de 10 et 20 centimes d"euros ? 7. Montrer quejx1+2x2+:::+nxnj6E(n24
(commencer par vérifier que pourk=2;3;:::;n, on a :(nk+1)k>n). (remarquer que six2[0;1];x26x). Correction del"exer cice1 NSoientxetydeux réels tels que 0On a ensuite x=px:x6pxy=g6py:y=yet doncx6g6y.
3.mg=x+y2
pxy=12 ((px)22pxy+(py)2) =12 (pypx)2>0 et donc,x6g6m6y. 4. D"après 1), la mo yennearithmétique de
1x et1y est comprise entre1x et1y , ce qui fournit1y 61h
61x
, ou encore x6h6y. 5. D"après 3), la mo yennegéométrique des deux réels 1x et1y est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique. Ceci fournitq1 x :1y 612
(1x +1y )ou encore1g 61h
et finalement x6h6g6m6yoù1h =12 1x +1y ,g=pxyetm=x+y2 .Remarque 1.On ah=2xyx+y, mais cette expression ne permet pas de comprendre que1h est la moyenne arithmétique de 1x et1y Remarque 2.On peut visualiser l"inégalité entre moyenne arithmétique et géométrique. B CALa moyenne arithmétique dexetyestm=x+y2
, le rayon du cercle, et la moyenne géométrique dexetyest g=pxy=pA 0B:A0C=AA0, la hauteur issue deAdu triangle(ABC).Correction del"exer cice2 N(1+a)n= (1+a):::(1+a) =1+na+:::>1+na.Correction del"exer cice3 N4
Pourn2N,(1+1n
)n=ånk=0Cknn k. Pourk2 f0;:::;ng, posonsuk=Cknn kpuisvk=uk+1u k. Pourk2 f1;:::;n1g, on a alors v k=Ck+1n:nkC kn:nk+1=1n +n+1n(k+1) 61n
+n+12n(cark>1) 12 12n<12
Ainsi, pourk2 f1;:::;n1g,uk+1612
uket donc, immédiatement par récurrence, u k612 k1u1=12 k1nn =12 k1: En tenant compte deu0=1, on a alors pourn2N,
(1+1n )n=nå k=0u k61+nå k=112 k1=1+112 n112 =1+2(112 n) =312 n1<3:Correction del"exer cice4 NSoientn2Neta1,a2,...,an,nréels strictement positifs. nå i=1a i! nå j=11a j! 16i;j6na
ia j=nå i=1a ia i+å 16i
16i
Pourx>0, posons alorsf(x) =x+1x
.fest dérivable sur]0;+¥[et pourx>0,f0(x) =11x 2=(x1)(x+1)x
2.f 1. Par suite,
8x>0;f(x)>f(1) =1+11
=2: On en déduit alors que
nå i=1a inå j=11a j>n+å 16i
1er cas.Siånk=1b2k6=0,fest un trinôme du second degré de signe constant surR. Son discriminant réduit est
alors négatif ou nul. Ceci fournit 5 0>D0= (nå
k=1a kbk)2(nå k=1b2k)(nå k=1a2k); et donc nå k=1a kbk 6sn k=1a2ksn k=1b2k: 2ème cas.Siånk=1b2k=0, alors tous lesbksont nuls et l"inégalité est immédiate.
Finalement, dans tous les cas,
j ånk=1akbkj6qå
nk=1a2kqå
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