[PDF] Série dexercices no1/6 Autour des réels Exercice 1 : rationnels ou





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Inégalités – Valeur absolue

Plus généralement les différents types d'intervalles sont donnés dans le tableau 1 (où a et b représentent deux réels



Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités

Exercice 2 *I Inégalité de BERNOULLI. Montrer que pour a réel positif et n entier naturel donnés



Partie 1 : Intervalles de ?

On en déduit que : =3 ou =7. Méthode : Résoudre une inéquation avec des valeurs absolues. Vidéo https://youtu.be/kTJ09D1Bzs0. Résoudre 



Équation et inéquation avec des valeurs absolues

Équation et inéquation avec des valeurs absolues. 1 Équation On détermine les valeurs frontières de chaque valeur absolue : ?3x + 4 = 0.



Sommaire

6 Montrer qu'un complexe est réel ou imaginaire pur 27 Résoudre une inéquation avec des valeurs absolues ou des radicaux.



Chapitre 1 Calculs algébriques élémentaires

Soit x un nombre réel on définit la valeur absolue de x par : Pour résoudre une équation (ou inéquation) avec des valeurs absolues



Lart de la majoration

Vous ne songez pas aux problèmes de signe ou de valeur absolue. Songez à tester la justesse de vos inégalités avec des valeurs particulières de x!



Série dexercices no1/6 Autour des réels Exercice 1 : rationnels ou

Exercice 3 : racine et valeur absolue Montrer que x est solution de (1) si et seulement si ... Démontrer les égalités et inégalités suivantes.



RAPPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES

valeur absolue seront revues spécifiquement dans un chapitre ultérieur et on s'interdira momentanément toute étude de fonction pour démontrer une inégalité.



Sommaire

15 Montrer qu'un complexe est réel ou imaginaire pur 28 Résoudre une inéquation avec des valeurs absolues ou des radicaux.

UniversitéClaudeBernard,Lyon 1LicenceSciences& Technologies

43,boulev arddu11novembre1918 Spécialité: Mathématiques

69622Villeurbanne cedex,FranceAnalyse1-Automne 2015

Séried'exercices n

o 1/6

Autourdesréels

Exercice1:rationnelsou décimal?

1.SoitA

n =0,201420142014...2014(nfois).EcrireA n souslaforme p q oùp!Zetq!Z

2.SoitA=0,201420142014...(uneinfinitéde fois).EcrireAsouslaforme

p q oùp!Zet q!Z

3.(enoption)Mê mequestion quela2.pourlenombre rationnel

Exercice2:calcul deracine

Montrerquele nombreréel

3 27+6
21+
3 27#6
21
estune entiernaturelque l'ondéterminera.

Onen profiterapourrappeler laformule(a+b)

3 ,ainsique leformulegénérale (a+b) n

Exercice3:racine etvaleur absolue

Lebut decetexercice estdetrouv erlessolutions dansRdel'équation (1) x+3#4 x#1+ x+8#6 x#1=1.

1.Montrerquexestsolutionde (1)sietseulement si

(2)| x#1#2|+| x#1#3|=1.

2.Trouverlessolutionsu!Rdel'équation

(3)|u#2|+|u#3|=1.

3.Conclure

1

Exercice4:autour desvaleurs absolues

1.Soientxetydeuxréels. Démontrerlesinég alitéssuiv antes

(a)|x|!|y|"|x!y|. (b)|x|+|y|"|x+y|+|x!y|. (c)1+|xy!1|"(1+|x!1|)(1+|y!1|). (d)||x|!|y||"|x!y|"|x|+|y|.

2.Pourtoutx#R,onpose

A(x)= |x| 1+|x| Montrerquequels quesoientles réelsxety,ona A(x+y)"A(x)+A(y).

Exercice5:autourdes partiesentièr es

1.Soientxetydeuxréels.Démontrer leség alitésetinég alitéssuiv antes

(a)E(x+1)=E(x)+1, (b)E(x)+E(y)"E(x+y)"E(x)+E(y)+1, (c)E(x)+E(y)+E(x+y)"E(2x)+E(2y), (d)E( x 2 )+E( x+1 2 )=E(x). Indication:pour cettedernière égalité,on distingueralescas E(x)pairetE(x)impair. (e)Onsupposeen plusquen#N .Montrerque E( 1 n

E(nx))= E(x).

Exercice6:minimum etmaximum

Soientxetydeuxréels.

1.Montrerque

max(x,y)= x+y+|x!y| 2 etmin(x,y)= x+y!|x!y| 2

2.Soitz#R.Peut-ontrouv erune formulepourmax(x,y,z)?

Exercice7:inf, sup

SoitA={x

2 +y 2 ;x#R,y#R,xy=1}.

1.MontrerqueApossèdeuneborne inférieurequel'on déterminera.

2.Apossède-t-elleune bornesupérieure?

2

Exercice8:inf ,sup-vrai, faux

SoientAetBdeuxparties bornéesdeR.Soitx!R.Onnote "A={"a;a!A},A+B={a+b;a!A,b!B}, x+A={x+a;a!A},AB={ab;a!A,b!B} Diresiles affirmationssui vantessont vraiesoufausses.Sielles sontvraies,lesjustifier,sielles sontfausses, donneruncontreexemple.

1.siA#B,alorssupA$supB,

2.siA#BalorsinfA$infB,

3.sup(A%B)=ma x(s upA,supB),

4.sup(A+B)

5.inf("A)="supA,

6.sup(x+A)=x+supA,

7.sup(AB)=s upAsupB.

Exercice9:défis (enoption)

Quelquesex ercicesunpeuplusdifficiles.

1.Soitn!N

(a)Montrerque 2 n+1"2 n< 1 n <2 n"2 n"1. (b)Endéduire unepartieentière dunombreréel S=1+ 1 2 1 3 1 10000

2.Soientx!Retn!N

.Montrerque

0$E(nx)"nE(x)$n"1.

3.Soitn!N

(a)Montreren utilisantla formuledubinômedeNewton que (2+ 3) n +(2" 3) n estunentier pair. (b)Endéduireque E((2+ 3) n )estunentier impair.

4.SoitAlapartiede Rdéfiniepar

A= m mn+1 ;m,n!N Montrerque Apossèdeuneborne supérieureet uneborneinférieure etlescalculer . 3

Exercice10:autour de

2(enoption)

1.Onconsidèrer"Qetx"R\Q.Onpose r=

p q ,oùp"Zetq"Z (a)Montrerparl'abs urdeque r+x"R\Q. (b)Delamê memanière,montrer quesir#=0alorsrx"R\Q.

2.Est-ceque

2estrationnel? Supposonsqueouietécriv ons

2= p q ,oùp"Zetq"Z oùpetqsontpremiersentre eux. (b)Etudierla paritédep 2 (c)Etudierlaparit édeq 2 (d)Concluresurla rationalitéde 2.

3.Considéronsde uxrationnelsretr

,telsque r
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