Inégalités – Valeur absolue
Plus généralement les différents types d'intervalles sont donnés dans le tableau 1 (où a et b représentent deux réels
Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités
Exercice 2 *I Inégalité de BERNOULLI. Montrer que pour a réel positif et n entier naturel donnés
Partie 1 : Intervalles de ?
On en déduit que : =3 ou =7. Méthode : Résoudre une inéquation avec des valeurs absolues. Vidéo https://youtu.be/kTJ09D1Bzs0. Résoudre
Équation et inéquation avec des valeurs absolues
Équation et inéquation avec des valeurs absolues. 1 Équation On détermine les valeurs frontières de chaque valeur absolue : ?3x + 4 = 0.
Sommaire
6 Montrer qu'un complexe est réel ou imaginaire pur 27 Résoudre une inéquation avec des valeurs absolues ou des radicaux.
Chapitre 1 Calculs algébriques élémentaires
Soit x un nombre réel on définit la valeur absolue de x par : Pour résoudre une équation (ou inéquation) avec des valeurs absolues
Lart de la majoration
Vous ne songez pas aux problèmes de signe ou de valeur absolue. Songez à tester la justesse de vos inégalités avec des valeurs particulières de x!
Série dexercices no1/6 Autour des réels Exercice 1 : rationnels ou
Exercice 3 : racine et valeur absolue Montrer que x est solution de (1) si et seulement si ... Démontrer les égalités et inégalités suivantes.
RAPPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES
valeur absolue seront revues spécifiquement dans un chapitre ultérieur et on s'interdira momentanément toute étude de fonction pour démontrer une inégalité.
Sommaire
15 Montrer qu'un complexe est réel ou imaginaire pur 28 Résoudre une inéquation avec des valeurs absolues ou des radicaux.
43,boulev arddu11novembre1918 Spécialité: Mathématiques
69622Villeurbanne cedex,FranceAnalyse1-Automne 2015
Séried'exercices n
o 1/6Autourdesréels
Exercice1:rationnelsou décimal?
1.SoitA
n =0,201420142014...2014(nfois).EcrireA n souslaforme p q oùp!Zetq!Z2.SoitA=0,201420142014...(uneinfinitéde fois).EcrireAsouslaforme
p q oùp!Zet q!Z3.(enoption)Mê mequestion quela2.pourlenombre rationnel
Exercice2:calcul deracine
Montrerquele nombreréel
3 27+621+
3 27#6
21
estune entiernaturelque l'ondéterminera.
Onen profiterapourrappeler laformule(a+b)
3 ,ainsique leformulegénérale (a+b) nExercice3:racine etvaleur absolue
Lebut decetexercice estdetrouv erlessolutions dansRdel'équation (1) x+3#4 x#1+ x+8#6 x#1=1.1.Montrerquexestsolutionde (1)sietseulement si
(2)| x#1#2|+| x#1#3|=1.2.Trouverlessolutionsu!Rdel'équation
(3)|u#2|+|u#3|=1.3.Conclure
1Exercice4:autour desvaleurs absolues
1.Soientxetydeuxréels. Démontrerlesinég alitéssuiv antes
(a)|x|!|y|"|x!y|. (b)|x|+|y|"|x+y|+|x!y|. (c)1+|xy!1|"(1+|x!1|)(1+|y!1|). (d)||x|!|y||"|x!y|"|x|+|y|.2.Pourtoutx#R,onpose
A(x)= |x| 1+|x| Montrerquequels quesoientles réelsxety,ona A(x+y)"A(x)+A(y).Exercice5:autourdes partiesentièr es
1.Soientxetydeuxréels.Démontrer leség alitésetinég alitéssuiv antes
(a)E(x+1)=E(x)+1, (b)E(x)+E(y)"E(x+y)"E(x)+E(y)+1, (c)E(x)+E(y)+E(x+y)"E(2x)+E(2y), (d)E( x 2 )+E( x+1 2 )=E(x). Indication:pour cettedernière égalité,on distingueralescas E(x)pairetE(x)impair. (e)Onsupposeen plusquen#N .Montrerque E( 1 nE(nx))= E(x).
Exercice6:minimum etmaximum
Soientxetydeuxréels.
1.Montrerque
max(x,y)= x+y+|x!y| 2 etmin(x,y)= x+y!|x!y| 22.Soitz#R.Peut-ontrouv erune formulepourmax(x,y,z)?
Exercice7:inf, sup
SoitA={x
2 +y 2 ;x#R,y#R,xy=1}.1.MontrerqueApossèdeuneborne inférieurequel'on déterminera.
2.Apossède-t-elleune bornesupérieure?
2Exercice8:inf ,sup-vrai, faux
SoientAetBdeuxparties bornéesdeR.Soitx!R.Onnote "A={"a;a!A},A+B={a+b;a!A,b!B}, x+A={x+a;a!A},AB={ab;a!A,b!B} Diresiles affirmationssui vantessont vraiesoufausses.Sielles sontvraies,lesjustifier,sielles sontfausses, donneruncontreexemple.1.siA#B,alorssupA$supB,
2.siA#BalorsinfA$infB,
3.sup(A%B)=ma x(s upA,supB),
4.sup(A+B) 5.inf("A)="supA,
6.sup(x+A)=x+supA,
7.sup(AB)=s upAsupB.
Exercice9:défis (enoption)
Quelquesex ercicesunpeuplusdifficiles.
1.Soitn!N
(a)Montrerque 2 n+1"2 n< 1 n <2 n"2 n"1. (b)Endéduire unepartieentière dunombreréel S=1+ 1 2 1 3 1 10000
2.Soientx!Retn!N
.Montrerque 0$E(nx)"nE(x)$n"1.
3.Soitn!N
(a)Montreren utilisantla formuledubinômedeNewton que (2+ 3) n +(2" 3) n estunentier pair. (b)Endéduireque E((2+ 3) n )estunentier impair. 4.SoitAlapartiede Rdéfiniepar
A= m mn+1 ;m,n!N Montrerque Apossèdeuneborne supérieureet uneborneinférieure etlescalculer . 3 Exercice10:autour de
2(enoption)
1.Onconsidèrer"Qetx"R\Q.Onpose r=
p q ,oùp"Zetq"Z (a)Montrerparl'abs urdeque r+x"R\Q. (b)Delamê memanière,montrer quesir#=0alorsrx"R\Q. 2.Est-ceque
2estrationnel? Supposonsqueouietécriv ons
2= p q ,oùp"Zetq"Z oùpetqsontpremiersentre eux. (b)Etudierla paritédep 2 (c)Etudierlaparit édeq 2 (d)Concluresurla rationalitéde 2. 3.Considéronsde uxrationnelsretr
,telsque r
[PDF] montrer une relation d'ordre
[PDF] montrer verbe
[PDF] Montres que le lycée est un lieu régit par le Droit
[PDF] montrez
[PDF] montrez comment la structure de l'adn explique sa fonction de support de l'information génétique
[PDF] montrez comment le progrès technique stimule la croissance économique
[PDF] Montrez comment un pouvoir est politique et comment une question devient politique
[PDF] Montrez en citant des indices, que Les Confessions appartiennent au genre autobiographique
[PDF] montrez en quoi la croissance est un phénomène cumulatif
[PDF] Montrez l'importance des ressources alimentairess sur la reproduction des anchois
[PDF] montrez les différentes facettes du défi alimentaire auquel l'Inde est confrontée
[PDF] montrez que la 2 nd guerre mondiale fut une guerre d'aneantissement
[PDF] montrez que la détermination du salaire peut dépendre de l'intervention de l'état.
[PDF] montrez que la fiscalité peut contribuer ? la justice sociale.
[PDF] Montrez que la fonction f a pour expression
5.inf("A)="supA,
6.sup(x+A)=x+supA,
7.sup(AB)=s upAsupB.
Exercice9:défis (enoption)
Quelquesex ercicesunpeuplusdifficiles.
1.Soitn!N
(a)Montrerque 2 n+1"2 n< 1 n <2 n"2 n"1. (b)Endéduire unepartieentière dunombreréel S=1+ 1 2 1 3 1 100002.Soientx!Retn!N
.Montrerque0$E(nx)"nE(x)$n"1.
3.Soitn!N
(a)Montreren utilisantla formuledubinômedeNewton que (2+ 3) n +(2" 3) n estunentier pair. (b)Endéduireque E((2+ 3) n )estunentier impair.4.SoitAlapartiede Rdéfiniepar
A= m mn+1 ;m,n!N Montrerque Apossèdeuneborne supérieureet uneborneinférieure etlescalculer . 3Exercice10:autour de
2(enoption)
1.Onconsidèrer"Qetx"R\Q.Onpose r=
p q ,oùp"Zetq"Z (a)Montrerparl'abs urdeque r+x"R\Q. (b)Delamê memanière,montrer quesir#=0alorsrx"R\Q.2.Est-ceque
2estrationnel? Supposonsqueouietécriv ons
2= p q ,oùp"Zetq"Z oùpetqsontpremiersentre eux. (b)Etudierla paritédep 2 (c)Etudierlaparit édeq 2 (d)Concluresurla rationalitéde 2.3.Considéronsde uxrationnelsretr
,telsque r[PDF] montrer verbe
[PDF] Montres que le lycée est un lieu régit par le Droit
[PDF] montrez
[PDF] montrez comment la structure de l'adn explique sa fonction de support de l'information génétique
[PDF] montrez comment le progrès technique stimule la croissance économique
[PDF] Montrez comment un pouvoir est politique et comment une question devient politique
[PDF] Montrez en citant des indices, que Les Confessions appartiennent au genre autobiographique
[PDF] montrez en quoi la croissance est un phénomène cumulatif
[PDF] Montrez l'importance des ressources alimentairess sur la reproduction des anchois
[PDF] montrez les différentes facettes du défi alimentaire auquel l'Inde est confrontée
[PDF] montrez que la 2 nd guerre mondiale fut une guerre d'aneantissement
[PDF] montrez que la détermination du salaire peut dépendre de l'intervention de l'état.
[PDF] montrez que la fiscalité peut contribuer ? la justice sociale.
[PDF] Montrez que la fonction f a pour expression