Chapitre3 : Relations dordre
Dans tout ce qui suit E désigne un ensemble quelconque. I Généralités. A) Relations binaires. Définition : Une relation binaire définie sur E est une
Relations dordre
relation d'ordre strict) quand elle est irréflexive et transitive. quel choix de m et n dans N? ? la réponse et oui et on peut le montrer grâce.
RELATION BINAIRE
Montrer que est une relation d'ordre partiel sur . On considère dans la suite de l'exercice que l'ensemble est ordonné par la relation .
Relations dordre Exercice 1. Exercice 3. Ordre sur NN Exercice 4
Feb 19 2018 Montrer que A admet une borne supérieure. Exercice 6. On définit une relation R sur l'ensemble des fonctions RR
CHAPITRE I Relations dordre I.1 Ordre et ordre strict
Définition (ordre) Une relation binaire est un ordre (ou une relation d'ordre) montrer que la propriété est toujours vraie il suffit de montrer que.
Relation
Une relation binaire ? sur un ensemble E est une relation d'ordre si elle sur X. Pour montrer que pour tout x ? X la propriété P(x) est vraie il.
Relations dordre
Feb 22 2013 Donnez des exemples de relations d'ordre que vous connaissez (cherchez bien
Pour remettre un peu dordre dans R 1 Relation dordre sur R
Démontrer que inf A ? m. Exercice 2 Soit A une partie non vide de R. On pose ?A = {?x x ? A}. Démontrer que.
Relation déquivalence relation dordre
Déterminer la classe d'équivalence de chaque z ? C. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000209]. Exercice 2. Montrer
Relations dordre. Dénombrement. Plus grand élément. Borne
Pour montrer que a est égal `a la borne supérieure de A il faut montrer que a est le plus petit élément de l'ensemble des majorants de A. Or a est majorant de
Relation d"équivalence, relation d"ordre
1 Relation d"équivalence
Exercice 1DansCon définit la relationRpar :
zRz0, jzj=jz0j: 1.Montrer que Rest une relation d"équivalence.
2. Déterminer la classe d"équi valencede chaque z2C.Montrer que la relationRdéfinie surRpar :
xRy()xey=yexest une relation d"équivalence. Préciser, pourxfixé dansR, le nombre d"éléments de la classe dexmoduloR.
Exercice 3Soit(E;6)un ensemble ordonné. On définit surP(E)nf/0gla relationparXYssi(X=You8x2X8y2Y x6y):
Vérifier que c"est une relation d"ordre.
Indication pourl"exer cice1 NUn dessin permettra d"avoir une bonne idée de ce qui se passe...Indication pour
l"exer cice2 N1.Pour la transiti vitéon pourra calculer xyez.
2.Poser la fonction t7!te
t, après une étude de fonction on calculera le nombre d"antécédents possibles.2 Correction del"exer cice1 N1.Soient z;z0;z00des complexes quelconques.Reflexivité :zRzcarjzj=jzj.
Symétrie :zRz0)z0Rzcarjzj=jz0jet doncjz0j=jzj.
Transitivité :zRz0etz0Rz00alorsjzj=jz0j=jz00jdonczRz00. En fait, nous avons juste retranscrit que l"égalité "=" est une relation d"équivalence. 2.La classe d"équi valenced"un point z2Cest l"ensemble des complexes qui sont en relation avecz,i.e.
l"ensemble des complexes dont le module est égal àjzj. Géométriquement la classe d"équivalence dez
est le cerlceCde centre 0 et de rayonjzj: C=n jzjeiq=q2Ro :Correction del"exer cice2 N1.• Refle xivité: Pour tout x2R,xex=xexdoncxRx. Symétrie : Pour x;y2R, sixRyalorsxey=yexdoncyex=xeydoncyRx. T ransitivité: Soient x;y;z2Rtels quexRyetyRz, alorsxey=yexetyez=zey. Calculonsxyez: xye z=x(yez) =x(zey) =z(xey) =z(yex) =yzex: Doncxyez=yzex. Siy6=0 alors en divisant paryon vient de montrer quexez=zexdoncxRzet c"est fini. Pour le casy=0 alorsx=0 etz=0 doncxRzégalement. 2. Soit x2Rfixé. On noteC(x)la classe d"équivalence dexmoduloR:C(x):=fy2RjyRxg:
DoncC(x) =fy2Rjxey=yexg:
Soit la fonctionf:R!Rdéfinie par
f(t) =te t: AlorsC(x) =fy2Rjf(x) =f(y)g:
Autrement ditC(x)est l"ensemble desy2Rqui parfprennent la même valeur quef(x); en raccourci :C(x) =f1(f(x)):
Étudions maintenant la fonctionfafin de déterminer le nombre d"antécédents: par un calcul def0on
montrer quefest strictement croissante sur]¥;1]puis strictement décroissante sur[1;+¥[. De plus
en¥la limite defest¥,f(1) =1e , et la limite en+¥est 0.C"est le moment de dessiner le graphe def!!
Pour x60 alorsf(x)2]¥;0]et alorsf(x)a un seul antécédent.Pour x>0 avecx6=1 alorsf(x)2]0;1e
[et alorsf(x)a deux antécédents. pour x=1, alorsf(x) =1=en"a qu"un seul antécédent. Bilan : six2]0;1[[]1;+¥[alors CardC(x) =Cardf1(f(x)) =2, six60 oux=1 alors CardC(x) =Cardf1(f(x)) =1.
3 Correction del"exer cice3 N•Refle xivité: pour tout X2P(E)on aXXcarX=X. Anti-symétrie : pour X;Y2P(E)tels queXYetYX, alors par définition deon a8x2X8y2Y x6yety6x:
Comme la relation6est une relation d"ordre alorsx6yety6ximpliquex=y. Donc8x2X8y2Y x=y;
ce qui implique queX=Y(dans ce cas en faitXest vide ou un singleton). T ransitivité: soit X;Y;Z2P(E)tels queXYetYZ. SiX=YouY=Zalors il est clair queXZ.Supposons queX6=YetY6=Zalors
8x2X8y2Y x6yet8y2Y8z2Z y6z:
Donc on a
8x2X8y2Y8z2Z x6yety6z;
alors par transitivité de la relation6on obtient :8x2X8z2Z x6z:
DoncXZ.4
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