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Universit´e Paris-Dauphine2009-2010

Cours de "Processus Continus Approfondis"Janvier 2010

CHAPITRE 1 - LE MOUVEMENT BROWNIEN

Dans tout ce cours, le triplet (Ω,A,P) d´esigne un espace de probabilit´e, etEl"esp´erance associ´ee.

1 D´efinition et premi`eres propri´et´es.

1.1 D´efinition d"un processus de L´evy, d"un processus de Poisson et du mou-

vement Brownien.

Cette section est consacr´ee `a la d´efinition d"un processus de L´evy g´en´eral, ainsi qu"`a celles du mouvement

Brownien et du processus de Poisson, vus comme cas particuliers de processus de L´evy. Il existe de nom-

breuses autres caract´erisations d"un mouvement Brownienet d"un processus de Poisson dont certaines seront

vues dans la suite du cours.

D´efinition 1.1Un processus de L´evy est un processusX= (Xt)t?T`a valeurs dans un espace mesur´e(E,E)

tel que (a) il est `a accroissements ind´ependants (PAI); (b) il est `a accroissements stationnaires (PAS); (c) ses trajectoires sont continues `a droites et admettentdes limites `a gauche (c`adl`ag); (d)T= [0,∞),E=RdetX0= 0.

On appelle "taux de transition (de L´evy)" d"un PAISX(i.e. un processusXv´erifiant (a) et (b)) la loi de

X

t-X0, on noteμt=PXt-X0. Celui-ci "caract´erise" un PAIS: on parlera ainsi d"un "PAIS de taux de

transition (μt)t?T".

D´efinition 1.2Un mouvement brownien r´eel standard(Bt)t≥0est un processus de L´evy `a valeurs dansR

tel que (c") ses trajectoires sont continues; (e)Bt≂ N(0,t)pour toutt >0:μt(dx) =1 ⎷2πte-x2

2tdx. En particulier,E(Bt) = 0et var(Bt) =tpour

toutt≥0.

Sauf pr´ecision expresse du contraire un "mouvement brownien" d´esignera un "mouvement brownien r´eel

standard". Nous renvoyons `a la d´efinition 1.21 pour une d´efinition plus large du mouvement brownien.

D´efinition 1.3Un processus de Poisson(Nt)t≥0de param`etre/intensit´eλ >0est un processus de L´evy `a

valeurs dansNtel que (e")μt≂ P(λt)pour toutt >0:P(Nt=n) =μt(n) =e-λt(λt)n n!.En particulier,E(Nt) =λtet var(Nt) = tpour toutt≥0.

Voici maintenant quelques pr´ecisions concernant les notions utilis´ees dans la d´efinition 1.2.

1

D´efinition 1.4 (na¨ıve d"un processus)Pour le moment, un processus est juste une familleX= (Xt)

index´ee part?Tde v.a. `a valeurs dans un espace mesurable d"´etats(E,E). On supposera dans ce cours

T=R+ouT= [0,T],T >0, (mais on pourrait prendreT=N,ZouR, et mˆemeT=Rddans le cas d"un processus de Poisson "spatial"). On supposera ´egalementE=Rd(mouvement Brownien) ouE=N (processus de Poisson). On a doncX:T×Ω→EavecXt: Ω→Emesurable pour toutt?T.

D´efinition & Proposition 1.5Un processus stochatique(Xt)t?Test `a accroissements ind´ependants (PAI)

si ?t1< ... < tkXt1, Xt2-Xt1, ...,Xtk-Xtk-1sont ind´ependants,(1.1) ou, de mani`ere ´equivalente, si

Preuve de l"´equivalence entre (1.1) et (1.2).D"apr`es le th´eor`eme de classes monotones, l"assertion (1.2) est

´equivalent `a

?t1< ... < tkXtk-Xtk-1est ind´ependant de la tribuσ{Xt1, Xt2, ..., Xtk-1}, ou formul´e plus explicitement E(f(Xtk-Xtk-1)g(Xt1, ..., Xtk-1)) =E(f(Xtk-Xtk-1))E(g(Xt1, ..., Xtk-1))

pour toutes fonctions def,g?L0+. En introduisant la fonctionh(y1,...,yk-1) =g(y1,y1+y2,...,y1+...+yk-1)

on en d´eduit que (1.2) est ´equivalent `a E(f(Xtk-Xtk-1)h(Xt1, ..., Xtk-1-Xtk-2)) =E(f(Xtk-Xtk-1))E(h(Xt1, ..., Xtk-1-Xtk-2))

pour toutes fonctions def,h?L0+. En utilisant la densit´e des fonctions tensoris´eesh(y1,...,yk-1) =

h

1(y1)...hk-1(yk-1) (ou la densit´e des fonctions du typeeλ·Xou un argument de classe monotone ...) on

obtient que (1.2) est ´equivalent `a

pour toutes fonctionsf,h1,...,hk-1?L0+. En it´erant cette identit´e, on voit que cela est ´equivalent `a

ce qui est pr´ecis´emment (1.2).?? D´efinition 1.6Un processus stochatique(Xt)t?Test `a accroissements stationnaires (PAS) si ?t?T,?h >0la loi deXt+h-Xtne d´epend pas det.

Plus pr´ecis´ement, il existe une famille(μh)de lois de probabilit´e surEtelle que pour toutt,h≥0et toute

fonctionφ?L0+on a

E(φ(Xt+h-Xt)) =?

E

φ(y)μh(dy).

Remarque 1.7Attention, il ne faut pas confondre un processus stochatique(Xt)t?T`a accroissements stationnaires avec

- un "processus stationnaire", ce qui signifie que pour toutT,t1,...,tnla loi de(Xt1+T,...,Xtn+T)ne d´epend pas deT;

- un "processus stationnaire du second ordre", ce qui signifie queEX2t<∞pour toutt?Tet la fonction de covariance

K(t,s) :=E[(Xt-EXt)(Xs-EXs)]est (seulement) une fonction det-spour toutt,s?T. 2

D´efinition 1.8Etant donn´e un processusX= (Xt)t?T, pour toutω?Ωfixe, la fonctionX(·,ω) :T→E,

t?→Xt(ω)est appell´ee une trajectoire deX(correspondant `a l"al´eaω).

On dit qu"un processus stochatique(Xt)t?Test

- `a trajectoires continues si: ?ω?Ωl"applicationT→E, t?→Xt(ω)est continue, - `a trajectoires continues `a droite (c`ad) si: ?ω?Ω,?t?TXt(ω) = limε→0,ε>0Xt+ε(ω), - `a trajectoires admettant des limites `a gauches (l`ag) si: ?ω?Ω,?t?T,??t,ωlimε→0,ε<0Xt+ε(ω) =?t,ω.

Comme cela ne porte pas `a ambigu¨ıt´e, on omettra souvent depr´eciser "`a trajectoires": on dira simplement

queXest un processus continu, c`ad, l`ag ou c`adl`ag.

D´efinition 1.9On dit qu"un vecteur al´eatoireY`a valeurs dansRdsuit une loi gaussienne centr´ee et de

varianceσ >0, on noteY≂ N(0,σ), ou pour ˆetre plus pr´ecisY≂ N(0,σI), si P

Y(dy) =gσ(y)dy, gσ(y) :=e-|y|2

2σ (2πσ)d/2.

Le but de ce chapitre est d"´etudier parall`element quelques propri´et´es du mouvement Brownien et des pro-

cessus `a accroissements stationnaires et ind´ependants `a trajectoires continues `a droite (PAISc`ad). Ceux-ci

forment une classe plus vaste puisqu"elle contient, entre autres, le mouvement Brownien, les processus de

Poisson (´etudi´es au chapitre 3) mais ´egalement les marches al´eatoires et les processus de L´evy. L"int´erˆet de

cette ´etude simulatann´ee est d"une part de bien faire ressortir dans les propri´et´es du mouvement brownien

ce qui est cons´equence de son caract`ere PAISc`ad et ce qui est cons´equence de son caract`ere plus sp´ecifique

"gaussien" et/ou "`a trajectoires continues", et d"autre part, de pouvoir utiliser les r´esultats obtenus ici lors

de l"´etude des processus de Poisson dans les prochains chapitres.

1.2 Martingales remarquables et propri´et´es de Markov d"un PAISc`ad.

D´efinition 1.10On dit qu"un processus(Xt)t?Test sommable (ou int´egrable) siE(|Xt|)<∞pour tout

t?T, on noteX?L1. Dans la suite,tous les processus seront sommables, et on oubliera donc

souvent de le pr´eciser. On dit qu"un processus est centr´e siE(Xt) = 0pour toutt?T. On dit qu"un

processus(Xt)t?Test de carr´e sommable siE(|Xt|2)<∞pour toutt?T, on noteX?L2. Lemme 1.11SoitXun PAISc`ad de carr´e sommable. Alors il existeλ?Retσ≥0tels que ?t≥0E(Xt-X0) =λt,var(Xt-X0) =σt. Preuve du Lemme 1.11.En effet, montrons par exemple la premi`ere identit´e, et on peut supposer X

0= 0 (sinon le translat´eXt-X0est encore un PAISc`ad). Pourt=p,q?N, on a

E(Xp) =E(Xp-Xp-1) +...+E(X1) =pE(X1), E(X1) =E(X1-X1-1/q) +...+E(X1/q) =q E(X1/q),

d"o`u on d´eduitE(Xt) =tE(X1) pour toutt?Q+, puis pour toutt?R+par l"hypoth`ese de continuit´e `a

droite. De mˆeme, en posantYt=Xt-EXt, on a pour toutp?N, E(Y2p) =E((Yp-Yp-1)2) + 2E(Yp-Yp-1)E(Yp-1) +E((Yp-1)2) =E((Yp-Yp-1)2) +...+E((Y1)2) =pE((Y1)2), 3 et on conclut comme pr´ec´edemment.??

Les martingales constituent une classe tr`es importante deprocessus car elles poss`edent des propri´et´es de

r´egularit´es locales (voir notamment la section consacr´ee aux "in´egalit´es maximales de Doob") et de com-

portement asymptotique (voir le cours de "processus discrets") tout `a fait remarquables, qui en font un outil

puissant.

D´efinition 1.12SoitXun processus et(FXt)sa filtration canonique. Un processus stochatique(Mt)t?Test

uneFX-martingale si (Mtest sommable,FXt-mesurable/adapt´e et) ?t≥sE(Mt|FXs) =Ms. LorsqueMest uneFM-martingale, on dira juste queMest une martingale.

Commen¸cons par un r´esultat "tr`es g´en´eral", puisqu"ilne repose que sur la seule propri´et´e d"accroissements

ind´ependants.

Proposition 1.13Soit(Xt)t?Tun PAI.

(i) - Si(Xt)?L1pour toutt?T, alors le processusMt:=Xt-EXtest une martingale centr´ee; en particulierBtest une martingale. (ii) - SiXt?L2pour toutt≥0, alors le processusM2t-E(M2t)est uneFXt-martingale centr´ee; (iii) - Sieu Xt?L1, pour toutt≥0et un certainu?R, alors le processusez Xt/E(ez Xt)est uneFXt- martingale pour toutz?C,?ez=u. Exercice 1.14Appliquer la proposition 1.13 aux processus de Poisson et Brownien. - En particulier,Bt,B2t-t,eu Bte-u2t/2eteiu Bteu2t/2sont desFBt-martingales pour toutu?R. - En particulier,Nt-λt, (Nt-λt)2-λt,aNte-a tsont desFNt-martingales pour touta?C.

Preuve de la Proposition 1.13.(i) - On a en effet

E(Mt|FMs) =E(Xt-Xs|FXs) +E(Xs|FXs)-EXt

=E(Xt-Xs) +Xs-EXt=Xs, puisqueFMt=FXt. (ii) - Pour toutt > s, on a d"une part puisqueMtest centr´ee

E(M2t|FXs) =E((Mt-Ms+Ms)2|FXs)

=E((Mt-Ms)2) + 2(E(Mt-Ms))Ms+M2s =E((Mt-Ms)2) +M2s, et de la mˆeme fa¸con

E(M2t) =E((Mt-Ms)2) + 2(E(Mt-Ms))E(Ms) +E(M2s)

=E((Mt-Ms)2) +E(M2s).

On conclut en prenant la diff´erence de ces deux identit´es eten remarquant queE(M2t) =E(B2t) =tlorsque

X=B. (iii) - Pour toutt > s, on a d"autre part, E(euXt|FXs) =E(eu(Xt-Xs)euXs|FXs) =E(eu(Xt-Xs))euXs, 4 et de la mˆeme fa¸con

E(euXt) =E(eu(Xt-Xs)euXs) =E(eu(Xt-Xs))E(euXs).

On conclut en prenant le quotient de ces deux identit´es et enremarquant queE(euBt) =eu2t/2lorsque

X=B.??

Les processus de L´evy (resp. les PAISc`ad) jouissent d"uneversion"particuli`erement agr´eable et puissante"

de la propri´et´e de Markov qui affime qu"un processus de L´evy(resp. un PAISc`ad)"renaˆıt tout neuf de

ses temps d"arrˆet". Nous donnons d`es `a pr´esent un premier r´esultat qui correspond `a un"temps d"arrˆet

d´eterministe"(et qui ne n´ecessite pas d"hypoth`ese de r´egularit´e). Cer´esultat sera g´en´eralis´e ult´erieurement

`a un temps d"arrˆet al´eatoire (Th´eor`eme 3.14).

Th´eor`eme 1.15SoitX= (Xt)t?Tun processus etT?Tun temps fixe. On d´efinit le processusY= (Yt)t?T

parYt:=Xt+T-XT,?t?T. - SiXest un PAI alorsYest un PAI de mˆeme taux de transition. - SiXest un PAS alorsYest un PAS ind´ependant deFXT. - La r´egularit´e des trajectoires deYest la mˆeme que celle des trajectoires deX.

En particulier, siXest un processus de L´evy (resp. un PAISc`ad) alorsYest un processus de L´evy (resp.

un PAISc`ad) de mˆeme taux de transition queXet ind´ependant deFXT. Preuve du Th´eor`eme 1.15.Le caract`ere stationnaire des accroissements r´esulte de Y

D"une part, pour une suite de tempst1< ... < tket des fonctions bor´eliennes positivesf1, ... ,fk, on a

E(f1(Yt1)f2(Yt2-Yt1)....fk(Ytk-Ytk-1)) =

ce qui d´emontre queYest `a accroissements ind´ependants. D"autre part, pourZune va positiveFT-

E(Z F(Yt1,...,Ytk)) =E(Z F(Xt1+T-XT,...,Xtk+T-XT)) =E(Z)E(F(Xt1+T-XT,...,Xtk+T-XT)) =E(Z)E(F(Yt1,...,Ytk)), ce qui d´emontre queYest ind´ependant de la tribuFXT.??

1.3 Mouvement brownien et processus gaussiens.

Nous donnons maintenant plusieurs autres caract´erisations d"un mouvement brownien qui reposent sur son

caract`ere "gaussien".

D´efinition 1.16On appelle "loi d"un processus" stochatique(Xt)t?Tla "famille des lois marginales de

dimension finie", c"est-`a-dire, la famille des loisμJdes vecteursXJ:= (Xt)t?JlorsqueJparcoursPf(T)

l"ensemble des parties finies deT. En d"autres termes,J={t1,...,tk}est un sous-ensemble fini deT, t

1< ... < tketXJ= (Xt1,...,Xtk)est une va `a valeurs dansEJet de loiμJ.

- On dit que deux processusXetYont mˆeme loi, on noteX≂Y, siXJ≂YJpour toutJ? Pf(T).

Attention,cela ne signifie pas queX=Y.

5

D´efinition 1.17Un processus stochatique(Xt)t?Test gaussien si ses lois marginales de dimension finie

sont des vecteurs gaussiens. Un processus stochatique(Xt)t?Test donc gaussien si ?t1< ... < tkle vecteur(Xt1, ...,Xtk)est gaussien, c"est-`a-dire si ?tj?T,?uj?Rla va?u jXtjest gaussiennne. Voici plusieurs autres caract´erisations d"un mouvement brownien.

Proposition 1.18SoitX= (Xt)t≥0un processus r´eel continu tel queX0= 0. Les assertions suivantes

sont ´equivalentes. (i)Xest un mouvement brownien; (ii)Xest un processus gaussien centr´e et de covariance

E(XtXs) = min(s,t) =s?t?s,t≥0;

(Xt1, ...,Xtn-Xtn-1)≂ N(0,A), Ajk= (tk-tk-1)δjk;

E(f1(Xt1)...fn(Xtn)) =?

R (v) pour toutu?Rle processuseiu·Xte|u|2t/2est une martingale. Preuve de la Proposition 1.18.(i)=?(ii).Xest alors un processus centr´e et gaussien puisque pour toutu1,...,un?Rd?u iXti=?v i(Xti-Xti-1) +v1Xt1 est une va gaussienne comme somme de va gaussiennes ind´ependantes, et sit > s≥0

E(XtXs) =E(Xt-Xs)E(Xs) +E(X2s) =s.

(ii)=?(iii).La loi d"un processus gaussien est d´efini par sa moyenne et sacovariance qui viennent d"ˆetre

identifi´es. Plus pr´ecis´ement, le vecteurY:= (Y1,...,Yn),Yj:=Xtj-Xtj-1, est gaussien centr´e, de matrice

de covarianceAjk= (tj-tj-1)δjkpuisque

E(Y2i) =E(X2t

j)-2E(XtjXtj-1) +E(X2t j-1) =tj-2tj-1+tj-1=tj-tj-1, et pourj > k E(YjYk) =E[XtjXtk-XtjXtk-1-Xtj-1Xtk+Xtj-1Xtk-1] =tk-tk-1-tk+tk-1= 0.

Cela implique bienY≂ N(0,A).

(iii)=?(i).Il suffit d"une part de remarquer que pour toutφ?Cb(R) et puisque (Xt+h-Xt,Xt) est un vecteur gaussien de loi connue

E(φ(Xt+h-Xt)) =?

R

2φ(y2)gt(dy1)gh(dy2)dy1dy2=?

R

φ(y)gh(dy)dy

6 ce qui signifie bien queXtest un PAS de taux de transition la loigh(x)dx. D"autre part, pour tout

1,...,φn?Cb(R) on a

E(φ1(Xt1)...φn(Xtn-Xtn-1)) =?

R R

1(y1)gt1(y1)dy1...?

R n(yn)gtn-tn-1(yn)dyn =E(φ1(Xt1))...E(φn(Xtn-Xtn-1)), ce qui signifie que (Xt) est un PAI. (iii)??(iv).Cela r´esulte d"un changement de variables. Partant de (iii), on a E[φ(Xt1,...,Xtn)] =E[φ(Xt1,Xt1+ (Xt2-Xt1),...,Xt1+...+ (Xtn-Xtn-1))] R R nφ(x1,x2,...,xn)n? k=1g tk-tk-1(xk-xk-1)dxk

o`u on a effectu´e le changement de variables (y1,...,yn)→(x1,...,xn),xk=y1+...+yk(de sorte que

y k=xk-xk-1). inversement, par densit´e, de (iv) on d´eduit

E(φ(Xt1,...,Xtn)) =?

R nφ(x1,...,xn)n? k=1g tk-tk-1(xk-xk-1)dxk, puis

E(ψ(Xt1,...,Xtn-Xtn-1) =?

R nφ(x1,...,xn-xn-1)n? k=1g tk-tk-1(xk-xk-1)dxk R nφ(y1,...,y-n)n? k=1g tk-tk-1(yk)dyk,

o`u on a effectu´e le changement de variables (x1,...,xn)→(y1,...,yn),yk=xk-xk-1, ce qui est pr´ecis´ement

(iii). (i)=?(iv).Cela a d´ej`a ´et´e d´emontr´e dans la Proposition 1.13. (v)=?(iii).L"hypoth`ese s"´ecritE(eiu(Xt-Xs)|FXs) =e-u2(t-s)/2pour toutu?R,s < t?T. On ´ecrit pouru1,...,uk?Rett1< ... < tk?T E? =E? E? eiuk(Xtk-Xtk-1)|FXt k-1? eiuk-1(Xtk-1-Xtk-2)...eiu1(Xt1)? =E? eiuk-1(Xtk-1-Xtk-2)...eiu1(Xt1)? e-u2k(tk-tk-1)/2

On en conclut que (Xtk-Xtk-1, Xtk-1-Xtk-2, ..., Xt1) suit une loiN(0,A) puisque un vecteur al´eatoire

est caract´eris´e par sa transform´ee de Fourier.?? Proposition 1.19SiBest un mouvement brownien, il en est de mˆeme pour

1.Xt:=a-1Ba2tpour touta?= 0;

2.Xt=Bt+t0-Bt0,t0>0;

3.Xt:=BT-t-BT,t?[0,T];T >0.

7

Preuve de la Proposition 1.19.Le r´esultat d´ecoule de la caract´erisation d"un mouvement Brownien en

terme de processus gaussien.?? Proposition 1.20SoitX= (Xt)t≥0= (X1t,...,Xdt)un processus `a valeurs dansRd. AlorsXest un mouvement brownien si, et seulement si, (i)Xkest un mouvement brownien r´eel pour toutk= 1,...,d; (ii) les processusX1, ...,Xdsont ind´ependants.

Preuve de la Proposition 1.20.En revenant `a la d´efinition du mouvement brownien, il est clair (i) et

(ii) implique queXest un mouvement brownien `a valeurs dansRd. Il reste `a d´emontrer que siXest un

mouvement brownien alors les processusX1, ...,Xdsont ind´ependants. Or on a pourj?=k,u,v?Ret

E(eiuXjseiv Xkt) =E(eiu Xjs+iv Xkseiv(Xkt-Xks))

=E(eiu Xjs+iv Xks)E(eiv(Xkt-Xks)) (Xest un PAI) =E(eiu Xj s)E(eiv Xk s)E(eiv(Xk t-Xk s)) (Xs≂ Nd(0,1)?Xjs??Xks) =E(eiu Xj s)E(eiv Xk seiv(Xk t-Xk s)) (Xest un PAI) =E(eiu Xj s)E(eiv Xk t), et on conclut par un argument de densit´e.??

D´efinition 1.21On appelle parfois mouvement brownien (g´en´eral) de condition initialeX0, de d´eriveμet

d"´ecart typeσun processus continuX`a accroissements stationnaires et ind´ependants et tel que

X t-X0≂ Nd(μt,σ I).

On passe d"un mouvement brownienB(standard issu de0) `a un mouvement brownien (g´en´eral) en con-

sid´erant une vaX0ind´ependante deB, une d´eriveμ?Ret un ´ecart typeσ >0et en introduisant le

processusXt:=Bσt+μt+X0.

Exercice 1.22[Dur2, page 245]

processus gaussiens de moyenne nulle et de variances(1-t). b) EtudierZt:=e-tBe2t.

Il est possible de d´evelopper directement (sans lire les sections 2, 3, 4) le calcul stochastique brownien.

Le seul r´esultat n´ecessaire estl"in´egalit´e maximale de Doobpr´esent´ee dans la section 6 et qui permet de

d´emontrer la continuit´e de l"int´egrale stochastique. Ce r´esultat peut ˆetre omis en premi`ere lecture.

Nous allons pr´esenter dans la suite de ce chapitre trois propri´et´es remarquables - la loi du tout ou rien; - la propri´et´e de Markov forte; - le th´eor`emes d"arrˆet (ou ´echantillonage) et des in´egalit´es maximales de Doob.

Pour formuler ces r´esultats nous allons avoir besoin de la notion defiltration, detemps d"arrˆetet enfin de

(sous-)martingales.

2 Loi du 0-1 et applications

Pour aller un peu plus loin nous allons avoir besoin de la notion defiltration, ce qui va nous permettre de

g´en´eraliser la notion deMartingale, et de la notion detemps d"arrˆet, ce qui va nous permettre d"´enoncer la

propri´et´e de Markov forte. 8

2.1 Th´eor`eme du "tout ou rien" ou loi du 0-1 de BlumenthalTh´eor`eme 2.1 (Loi 0-1 de Blumenthal)Soit(Xt)t>0un PAIc`ad tel queX0= 0. AlorsFX0+est triviale:

pour toutA? F0+on aP(A)? {0,1}, o`u on a pos´e F

X0+:=?

s>0F Xs=? s>0, s?QFquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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