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Les processus AR et MA

MAP-STA2 : Séries chronologiques

Yannig Goude yannig.goude@edf.fr

2020-2021

Contents

Théorème de représentation de Wold 1

Représentation spectrale2

Opérateurs retard et avance 5

Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Inversion de polynômes enL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

Processus auto-régressif (AR) 7

Processus moyennes mobiles (MA) 10

Processus autorégressifs moyennes mobiles (ARMA) 13 Identification et estimation de modèles ARMA 15

Théorème de représentation de WoldCe théorème motive les résultats présentés dans ce chapitre. Nous n"en ferons pas la démonstration pour des

raisons de temps. théorème soit(Xt)t?Z)un processus centré et stationnaire du second ordre, alors on a la décomposition suivante: X t=+∞? j=0ψ jεt-j+Ct, t?Z où •ψ0= 1et?+∞ j=0|ψj|<+∞ •εtest le processus d"innovation deXt •Ctest un processus déterministe

les moyennes mobiles s"avèrent donc intéressantes pour modéliser des processus stationnaires. La question

reste alors l"estimation des coefficientsψ. Nous verrons par la suite que certaines familles de modèles

permettent une représentation parcimonieuse de cette moyenne mobile. 1

Représentation spectraleNous avons jusqu"à présent étudié les processus stationnaires du second ordre dans leur représentation

temporelle. On peut également s"intéresser à leur représentation dans le domaine des fréquences, approche

largement considérée en traitement du signal, en décomposant le processus en composantes périodiques

aléatoires. Considérons, pour simplifier, le cas des moyennes mobiles infinies. X t=? i?Zθ iεt-i,? i?Z|θi|<+∞ etεtest un bruit blanc de varianceσ2.

Ce processus a pour fonction de covariance:

γ(h) =σ2?

i?Zθ iθi-h la sérieγ(h)est absolument sommable (à vérifier). la densité spectrale du processus est la fonction définie par: f(ω) =12π? h?Zγ(h)eiωh,?ω?R cette fonction existe car la série(γ(h)eiωh)h?Zest absolument sommable. D"autre part c"est une fonction réelle carγest paire: f(ω) =12π[γ(0) ++∞? h=1γ(h)(eiωh+e-iωh)] f(ω) =γ(0)2π+1π h=1γ(h)cos(ωh) =12π+∞? h=-∞γ(h)cos(ωh) propriété

connaitre la fonction d"auto-covariance d"un processus est équivalent à connaitre sa densité

spectrale et on a:

γ(h) =?

-πf(ω)cos(ωh)dω=? -πf(ω)eiωhdω preuveà faire propriété soient(Xt)t?Zun processus moyenne mobile infinieXt=? i?Zθiεt-iet(Yt)t?Zle processus défini parYt=? j?ZθjXt-javec? i?Z|θi|<+∞alors on a la relation suivante entre les deux densités spectrales deXetY: f y(ω) =fx(ω)|? j?Zθ jeiωj|2 preuveà faire exemples 2 •bruit blanc: la densité spectrale d"un bruit blanc de varianceσ2est constante et vaut: f(ω) =12π? inversement, siXest un processus stationnaire de densité spectrale constantef(ω) =con a:

γ(h) =?

-πccos(ωh)dω= 0,sih?= 0 ce qui est la définition d"un bruit blanc faible. •moyenne mobile d"ordre 1: MA(1). SoitXt=εt+θεt-1: f(ω) =σ22π(1 +θ2+ 2θcos(ω)) •moyenne mobile infinie: MA(∞). soitXt=? j?Zθjεt-j, on a alors:

γ(h) =σ2?

j?Zθ

2j+|h|

et f(ω) =σ22π|Θ(eiω)|2 avecΘ(z) =?+∞ j=0θjzj,z?C. d"ou:

f(ω) =σ22π1|1-θeiω|=σ22π11 +θ2-2θcos(ω)ci-dessous un exemple de densités spectrales obtenues pour deux processus AR(1), de coefficientsθ= 0.3et

θ= 0.9. Le casθ= 0.9fait clairement apparaitre une prédominance des basses fréquentes.set.seed(131)

n<- 1000
sigma<- 1/2 eps<-rnorm(n,0,sd=sigma) y03<-arima.sim(n =n, list(ar =c(0.3)),innov=eps) y09<-arima.sim(n =n, list(ar =c(0.9)),innov=eps) par(mfrow=c(2,2)) plot(y03,type=?l?,ylim=range(y03,y09)) spectrum(y03,kernel("daniell",c(3,3 ))) plot(y09,type=?l?) spectrum(y09,kernel("daniell",c(3,3 ))) 3 Time y03

02004006008001000

-4 0 4

0.00.10.20.30.40.5

0.1 0.5 frequency spectrum

Series: x

Smoothed Periodogram

bandwidth = 0.00284 Time y09

02004006008001000

-4 0 4

0.00.10.20.30.40.5

0.05 5.00 frequency spectrum

Series: x

Smoothed Periodogram

bandwidth = 0.00284Un autre exemple avec le processus:Xt= 2cos(2πt/10) + cos(8πt/10) +εt: 4

020406080100

-2 0 2 4 Index X1

0.00.10.20.30.40.5

0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 frequency spectrum

Series: x

Smoothed Periodogram

bandwidth = 0.0284Opérateurs retard et avance

Définition

définition

on appelle opérateur retardLl"opérateur qui associe à un processus(Xt)t?Zle processus(Yt)t?Z

tel queYt=LXt=Xt-1. Cet opérateur est: •linéaire •inversible: son inverse estL-1=Ftel queFXt=Xt+1et est appelé l"opérateur avance

De plus on a:

L nXt=Xt-n et p? i=1a iLi)Xt=p? i=1a iXt-i séries en L

on peut définir à l"aide de cet opérateur des séries enL(ouF). Soit un processus stationnaire

(Xt)t?Zet une suite(ai)i?Zde nombres réels absolument sommable? i?Z|ai|<∞, alors le processus défini par: Y t=? i?Za iXt-i= (? i?Za iLi)Xt 5 est stationnaire (voir le cours précédant).

Inversion de polynômes enL

Avec ces notations le processus AR(1)Yt=aYt-1+εt, avec|a|<1s"écrit ainsi:

(1-aL)Yt=εtainsiYt= (1-aL)-1εtet l"écriture moyenne mobile de ce processus peut-être vue comme un problème

d"inversion du polynômex→1-ax. En se rappelant qu"au voisinage de0:

11-ax= 1 +ax+a2x2+...+akxk+...

on a: Y t= (∞? i=0a iLi)εt

Plus rigoureusement,1-aLest une application de l"ensemble des processus stationnaires dans lui même. La

série?∞ i=0aiétant absolument sommable, la série?∞ i=0aiLiest défnie (|a|<1) et nous avons: i=0a iLi)(1-aL) =∞? i=0a iLi-ai+1Li+1=L0= 1

1-aLest donc inversible et son inverse vaut(1-aL)-1=?∞

i=0aiLi. Remarquons que le processus

Xt=?∞

i=0aiYt-iest l"unique processus stationnaire satisfaisant(1-aL)Xt=Ytmais pas le seul processus. En effet, siZest une v.a. quelconque,Zatest solution (non-stationnaire!) de(1-aL)Xt= 0.

Si|a|>1,1-aL=-aL(1-1a

F),-aLest inversible et son inverse est-1a

F. D"autre part, la série?∞

i=01a iFi existe et est l"inverse de1-F/a.

On a donc:

11-aL= (-1a

F)(∞?

i=01aquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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