[PDF] Lissage par moyennes mobiles dordre 3 et marche aléatoire.

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Math´ematiques en lignehttp://math.unice.fr/ejunca Lissage par moyennes mobiles d"ordre 3 et marche al´eatoire.

Etude `a l"aide de suites r´ecurrentes, fonctions g´en´eratrices, s´eries de Fourier, ...

1 Lissages de s´eries chronologiques par moyenne mobile

En statistiques on a l"habitude de r´egulariser une s´erie chronologique pour mieux interpr´eter les donn´ees et r´eduire

les fluctuations. Soit (xi)N+1i=0une s´erie chronologique (irepr´esente le temps). On construit une nouvelle s´erie

.Si cette nouvelle s´erie n"est pas assez r´eguli`ere on peut it´erer le proc´ed´e.

1. Calculezy:=1N

N j=1y jen fonction dex:=1N+ 2N+1? i=0x iet des termes de bords:x0,x1,xN,xN+1.

2. ComparezV ar(y) etV ar(x).Commencer par le cas o`ux= 0 =y, remarquer que?a+b+c3

2

2 Suites liss´ees

Pour simplifier l"´etude du lissage, on ´elimine les termes de bords en consid´erant des suites indic´ees dansZ. Soit

M:CZ→CZ

u= (un)n?Z?→v= (vn)n?Zavecvn:=un-1+un+un+13

1. On notel∞(Z) l"ensemble des suites born´ees deCZ. On munil∞(Z) de sa norme naturelle:?u?∞:= sup

n?Z|un|. (a) V´erifiez queMest un endomorphisme continue del∞(Z). Calculer?|M?|∞:= sup u?l∞(Z)-{0}?M(u)?∞?u?∞. (b) Donnez une condition n´ecessaire et suffisante surupour que?M(u)?∞=?u?∞.

2. Soitp >3. On notel2p(Z) l"ensemble des suites deCZp-p´eriodiques:u?l2p(Z)??un+p=unpour toutn.

On notera?u,v?p:=1p

p n=1u nv n,?u?2,p:=??u,u?pet?u?p:=?u,1?p.

(a) Montrez que?u,v?pmuniel2p(Z) d"une structure hermitienne. Donnez une base orthogonale et diml2p(Z).

(b) V´erifiez queM, restreint `al2p(Z), est un endomorphisme sym´etrique del2p(Z), en g´en´eral ni d´efini, ni

positif. (c) Calculer?|M?|2:= sup u?l2p(Z),?u,u?p=1?M(u)?2,p. (d) Montrez que la plus grande valeur propre en module deMsurl2p(Z) est 1. Calculer la dimension de l"espace propre associ´e `a la valeur propre 1 dansl2p(Z). (e) En d´eduire que lim k→+∞Mk(u) =?u?p,pour toutu?l2p(Z).

3. On notel2(Z) l"ensemble des suites deCZdont le carr´e des modules sont sommables:

u?l2(Z)??? n?Z|un|2converge. On note:?u,v?:=? n?Zu nv n,?u?22:=?u,u?. (a) V´erifiez que?u,v?est un produit scalaire surl2(Z) qui le muni d"une structure hilbertienne. (c) Conjecturer la lim k→+∞Mk(u) pour toutu?l2(Z). 1

4. Pouru?l2p(Z), on noteu:=?u?petV ar(u) :=(u-u)2.

(a) D´emontrez et commentez cette ´egalit´e:M(u) =u.

5. utilisation de mod`ele lin´eaire: En pratique, on peut consid´erer que la suite repr´esente une ´echantillon bruit´e

d"une fonction mod`elef, i.e.un=f(nδt) +εn. Prenonsδt= 1 sans perte de g´en´eralit´e et, pour simplifier,

le bruit (εn)n?l2p(Z) de moyenne nulle:ε= 0. On se propose de voir sur quelques exemples dans quelle

mesure le lissage affecte la fonction mod`ele. On noterav:=M(u) (b) mod`ele polynomiale: ´etudiez l"effet du lissage sif(x) =ax2+bx+c,ax3+bx2+cx+dou un polynme. (c) mod`ele de croissance exponentielle: Commentez l"int´ert de ce lissage sif(x) = exp(x).

3 Marche al´eatoire

On se prom`ene al´eatoirement surZZ. On noteXnl"entier relatif qui repr´esente notre position `a l"´etapen. En

moyennne, une fois sur trois on avance d"une unit´e, une fois sur trois on recule d"une unit´e, une fois sur trois on

ne bouge pas. On suppose que l"on part de de 0. Pourk?ZZ,n?INon notepkn=P(Xn=k).

1. Expliquez pourquoi,p00= 1,?

k?ZZp nk= 1 pour toutn.

2. Calculez la loi deX1,X2,X3.

3. Trouvez une relation de r´ecurrence pour calculerpnk.

4. Fonctions g´en´eratrices:Gn(t) =E(tXn),t?= 0.

(a) CalculezG0,G1,G2,G3. (b) Trouvez une relation de r´ecurrence entreGn+1etGn (c) Calculez explicitementGn. (d) En d´eduire une nouvelle expression depnk.

5. Fonctions caract´eristiques:?n(t) =E(exp(itXn)),i2=-1.

(a) Calculez?0,?1,?2,?3. (b) Trouvez une relation de r´ecurrence entre?n+1et?n (c) Calculez explicitement?n. (d) En d´eduire une nouvelle expression depnk. (e) Montrez que lim n→+∞pnk= 0.Conclure.

6. M´ethode de Laplace:In:=?

1 0 b(t)exp(na(t))dt, a,b?C3,b(0) =β?= 0, a(0) = 0,a?(0) = 0,a??(0) =-2α?= 0 eta?(t)<0 pour toutt?]0,1].

On va montrer queIn≂b(0)?π

-2a??(0)n (a) Expliquez pourquoiα >0. (b) V´erifiez quea(t) =-αt2+O(t3) en 0. (c) Soit 1> ε >0 fix´e, montrez queIn≂? 0 b(t)exp(na(t))dt. (d) Soittn=n-1/2+δ, pour 1/6> δ >0. V´erifiez quent2n→+∞etnt3n→0.

En d´eduire queIn≂β?

tn

0exp(na(t))dt≂β?

tn

0exp(-nαt2)dt.

(e) En rappelant la valeur de 0 exp(-αx2)dx, trouvez l"´equivalent deIn. (f) En d´eduire que, pour toutk,pnkest en O(1/⎷n) quandn→+∞. 2

4 Lissage de fonctions

Notations: PourT >0, on noteC0T#l"espace des fonctions deC0(R,C) p´eriodique de p´eriodeT; et C

1T#=C0T#∩C1(R,C). Pourk?Z, on note:ek(x) :=exp(2ikπx) o`ui2=-1,

?f,g?:=? 1 0 f(x)g(x)dx,?f?:=?f,1?,?f?22:=?f,f?,ck[f] :=?f,ek?. Soit 0< h <1, on consid`ere l"op´erateur:

M:C01#→C01#

f?→gavecg(x) :=f(x-h) +f(x) +f(x+h)3

1. V´erifiez queM, restreint `aC01#, est un endomorphisme sym´etrique deC01#.

2. Montrez queM(ek) =λkeko`uλkest un r´eel que l"on encadrera.

3. En d´eduire queM(f) :=?

k?Zλ kck[f]ek, d"abord pourf?C11#puis aussi pourf?C01#.

4. On v´erifie queM∞(f) := limn→+∞Mn(f) est bien d´efinie pour toutf?C01#.

(a) Montrez que sih /?QalorsM∞(f) =?f?. (b) En revanche, sih=pq ,p,q?N- {0},pgcd(p,q) = 1, alors, d´emontrez queM∞est le projecteur orthogonal deC01#surC01/q#.

5 Un mod`ele probabiliste pour l"´etude du lissage par moyenne mobile

On suppose qu"une suite (Xn)n?Zde variable al´eatoire satisfait,Xn=an+b+εn, pour toutn, o`u le "bruit" (εn)n?Z

est une famille de v.a. ind´ependantes de moyenne nulle et de varianceσ2>0. Soitm?N- {0}, on se donne

2m+ 1 r´eels positifs: (αk)mk=-mdont la somme est ´egale `a 1. On consid`ere le lissage suivantYn:=m?

k=-mα kXn+k pour toutn.

On notes:=m?

k=-mkα k.

1. V´erifiez que le lissage pr´eserve le mod`ele lin´eaire bruit´e, i.e.:Yn=an+b+as+ηn,E(ηn) = 0,?n.Et

montrez queτ2:=V ar(ηn) =σ2m? k=-mα

2. On va chercher `a r´eduire au maximum la variance. Pour cela, on peut se ramener `a une fonction de 2m

variables:f(α-m,···,α0,···,αm-1) :=m? k=-mα

2ksachant quem?

k=-mα k= 1.

Pour r´esoudre ce probl`eme d"optimisation avec contrainte, proposez une ´el´egante, simple, et rapide solution

g´eom´etrique ou, tentez les calculs alg´ebriques suivants:

(a) V´erifiez que quefn"admet qu"un extr´emum local lorsque tous les coefficients sont ´egaux.

(b) Calculez la Hessienne def, en d´eduire que l"on a un minimum global stricte et conclure le probl`eme de

r´eduction de la variance.On pourra utilser la matrice de projecteur:P?M2m(R) dont tous les coefficients

sont ´egaux `a 1/(2m).

6 Lissages r´ep´et´es d"un bruit blanc par moyenne mobile

Soit une suite (X0k)k?Zde variables al´eatoires ind´ependantes d"esp´erance nulle et de variance communeσ2>0.

A chaque ´etapen+ 1 on effectue le lissage:

X n+1 k=Xnk-1+Xnk+Xnk+13 , k?ZZ. 3

1. CalculezE(Xnk) pour toutnet toutk.

2. Calculez la variance deX1k, k?ZZ.

3. Montrez queXnk=?

j?ZZp njX0k+j, o`upn+1 k=pnk-1+pnk+pnk+13 ,etp00:= 1, p0k= 0 pour toutk?= 0.

On pourra v´erifier que

?1 + 2cos(t)3 n k?ZZp nkexp(ikt) =pn0+ 2n? k=1p nkcos(kt).

4. En d´eduire la variance desXnk.

5. Montrez que

j?ZZ? pnj?

2=1π

0?

1 + 2cos(t)3

2n dt.

6. En d´eduire que lim

n→+∞? j?ZZ? pnj? 2= 0.

7. Conclure

4

7 Indications de solutions

Si vous trouvez des fautes de frappe ou, si vous avez des remarques, n"h´esitez pas `a me les envoyer par email `a

l"adresse suivante:junca@unice.fr.

Merci d"avance pour votre collaboration.

7.1 Lissages de s´eries chronologique par moyenne mobile

1.y:=N+ 2Nx-2x0+x1+xN+ 2xN+13N=x+ O(1/N),

si, pour le dernier terme, la srie est borne etN→+∞. Tous les termesxiapparaissent trois fois dans le calcul deysaufx0une fois,x12 fois,xN2 fois,xN+1une fois.

N→+∞et (xi) born´ee alorsx?x

V ar(x).

Six= 0 =yalors,V ar(x) =x

2,V ar(y) =y

2par la formule de Koenig. Orx?→x2est convexe donc?a+b+c3

2

V ar(x). idem six=y

Dans le cas g´en´eral,x?=yune translation ne change pas la variance. On se ram`ene au cas o`uy= 0 en

changeantyparY:=y-yetV ar(Y) =V ar(y). On a ainsi chang´exparX:=x-yetV ar(X) =V ar(x).

MaisX?= 0 en g´en´eral. Donc,V ar(Y) =Y

2=N+ 2N

V ar(X) +X

2? , i.e.

V ar(x) + (x-y)2?

=V ar(x) + O(1/N).

...Dommage il faut faire un calcul exact ou avoir un contre-exemple qui augmente la variance `a cause des

termes de bords.xi= 0 `a l"int´erieur ( ainsi (xi) et (yj) ne varie pas `a l"int´erieur mais ...) et bien choisi au

bord.

On peut avoir une l´eg`ere augmentation de la variance quand l"ingalit de convexit est presque une ingalit et

que l"on conserve une moyenne nulle. Ainsi, par exemple, il suffit de discrtiser assez finiement sin sur [0,2π]:

x k:= sin(2π×k/(N+ 1)),N= 30, pour augmenter l´eg`erement la variance.

7.2 Suites liss´ees

1. (a)?|M?|∞:= 1.

(b) Une condition suffisante surupour que?M(u)?∞=?u?∞: (C) Trois termes cons´ecutifs ´egaux de module ´egale `a?u?∞.

En effet, v´erifiez que

????a+b+c3 ???2 =|a|2+|b|2+|c|23 si et seulement sia=b=c.

Mais la concition (C) n"est pas n´ecessaire (difficile). A l"aide d"argument de compacit´e et de stricte

convexit´e, on peut montrer que?M(u)?∞=?u?∞si et seulement si il existe un nombreu?Cet une

suite d"entiers relatifs (n(k))k?Ntelle que|u|=?u?∞,u= limk→∞un(k)= limk→∞u-1+n(k)= limk→∞u+1+n(k).

2.l2p(Z)

(a) diml2p(Z) := 1, une base orthogonale: base canonique ou (exp(2ikπn))n,k= 0,1,···,p-1.

(b) Pour montrer la sym´etrie deMil suffit de montrer que?Mu,v?=?u,Mv?ou, d"´ecrire explicitement

une matrice deMdans une base orthogonale. remarques: sipest pairM((-1)n) =-1/3×(-1)n,si 3 divisep,M(jn) = 0 =M(j n) avec 1?=j,j3= 1. (c)?|M?|2:= 1. 5 (d) Suite r´ecurrente d"ordre 2, ´equation caract´eristique:

1 +λ+λ23

λ= 1 on aun= 1 ounmaisnn"est pas p´eriodique.

On voit aussi que-1 n"est pas valeur propre, car les suites non identiquement nulles v´erifiantun-1+

u n+un+1=-3unsont des suites g´eom´etriques et non p´eriodiques. (e) lim k→+∞Mk(u) =?u?p,pour toutu?l2p(Z).

3.l2(Z)

(a) Complet appartient `al2, on a donc n´ecessairementu≡0. (c) lim

k→+∞Mk(u) = 0 Moyenne de C´esaro g ´en´eraliser. Cela peut se d´emontrer au moins ponctuellemnt

`a l"aide d"argument de stricte convexit´e et de compacit´e (difficile). Plus simplement, on verra une

d´emonstration ´el´ementaire utilisant des s´eries de Fourier.

4. Pouru?l2p(Z), on noteu:=?u?petV ar(u) :=(u-u)2.

(a)M(u) =u.

5. utilisation de mod`ele lin´eaire:un=f(n) +εn.v:=M(u)

(a) mod`ele lin´eaire: lin´earit´e (b) mod`ele polynomiale:M(n2) =n2+ 2/3 translation verticale. M(n3) =n3+ 2net pour les polynme on garde les deux premi`eres plus randes puissantes. Ok en ´equivalent ou erreur relative ou ordre de grandeur mais pas en erreur absolue

(c) mod`ele de croissance exponentielle:f(x) = exp(x) suite g´eo´emtriqueM(ρn) = (ρ-1+1+ρ)/3ρn, pire,

on perd la pr´ecision relative maisvn+1/vn?un+1/un.

7.3 Marche al´eatoire

P(Xn+1=Xn) =P(Xn+1=Xn+ 1) =P(Xn+1=Xn-1) = 1/3. etP(X0= 0) = 1.

1. 1 =P(X0= 0) =p00= 1,?

k?ZZp nk= 1 pour toutncar c"est la loi deXn.

2. On peut faire des arbres et d´enombrer: loi deX1:p1-1=p10=p11= 1/3,

loi deX2:p2-2= 1/9,p2-1= 2/9,p20= 3/9 = 1/3,p21= 2/9,p22= 1/9, loi deX3:p33=p3-3= 1/27,p32=p3-2= 3/27,p31=p3-1= 6/27,p30= 7/27.

3.pn+1

k=pnk-1+pnk+pnk+13

Explication: Soit (Yn)nune suite de variables ind´ependantes suivant la loi uniforme sur{-1,0,1}. On a

X

0= 1 etXn+1=Xn+Yn=Y0+···+Ynpour toutn?N. Comme l"´ev´enement

{Xn+1=k}={Xn=k-1 etYn= 1} ? {Xn=ketYn= 0} ? {Xn=k+ 1 etYn=-1},et queXnetYn

sont ind´ependants, on obtient la formule de r´ecurrence `a l"aide de la formule des probabilit´es totales.

4. Fonctions g´en´eratrices:Gn(t) =E(tXn) =?

k?ZZp nktk,t?= 0. (a)G0(t) = 1,G1(t) = (t-1+ 1 +t)/3,G2(t) = (t-2+ 2t-1+ 3 + 2t+ 2t2)/9, G

3(t) = (t-3+ 3t-2+ 6t-1+ 7 + 6t+ 3t2+t3)/27.

(b) Par la formule de r´ecurrence des (pnk) ou, `a l"aide de l"esp´erance conditionnelle on a:Gn+1= 1/3E(t-1+Xn)+

1/3E(t0+Xn) + 1/3E(t+1+Xn) =G1(t)Gn(t).

6 (c)Gn(t) = 3-n?t-1+ 1 +t?n= 3-nn? k=-nν nktk, avec nk=? (j-,j0,j+)?Jnkn!j -!j0!j+!etJnk:={(j-,j0,j+)? {0,1,···,n},j-+j0+j+=n,j+-j-=k}. Pournfix´e, on a pour le plus grand desνnk:νn0=?

Il est bien sur plus simple d"utiliser une sorte de triangle de Pascal.ν00= 1,ν0k= 0,sik?= 0, puis

n+1 k=νnk-1+νnk+νnk+1. On remarque quen? k=-nν nk= 3n. (d) Par unicit´e des coefficients ( multiplier partnon a des polynˆomes) on apnk=νnk/3n.

5. Fonctions caract´eristiques:?n(t) =E(exp(itXn)),=?

k?ZZp nkexp(ikt). (a)?0(t) = 1,?1(t) = (1 + 2cos(t))/3,?2(t) = (3 + 4cos(t) + 2cos(2t))/9,

3(t) = (7 + 12cos(t) + 6cos(2t) + 2cos(3t))/27.

(b) idem:?n+1= (e-ikt+ 1 +eikt)/3×?n(t) =μ(t)?n(t), μ(t) =φ1(t). (c)?n(t) =μ(t)n= 3-nn? k=0C kn(cos(kt))k. Cette deuxi`eme formule est malheureusement de peu d"utilit´e. (d) On calcul les coefficients de Fourier d"une fonction 2πp´eriodique et paire: p n0=1π 0quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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