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Sorbonne Université Année 2023/2024

M2 Statistique Premier semestre

Feuille de TD 1

Correction

Exercice 1 :

1. Rappeler les définitions de la conver genceen loi, en pr obabilité,pr esquesûr eet en moyenne quadratique . On dit que Xnconverge en loi versXsi pour toute fonction continue bornéej, E [j(Xn)]converge versE[j(X)]. On dit que Xnconverge en probabilité versXsi pour toute>0, P [jXnXj>e]!n!¥0.

On dit que Xnconverge presque sûrement versXsi

P n limn!¥Xn=Xo =Pn w2W,Xn(w)!n!¥Xo =1. On dit que Xnconverge en moyenne quadratique versXsi E h

XnX)2i

!n!¥0. 2. Montr erque la conver genceen moyenne quadratique implique la conver genceen probabilité. Soit (Xn)une suite de variables aléatoires convergeant en moyenne quadratique versX. Soite>0, grâce à l"inégalité de Markov, P [jXnXj>e]Eh j

XnXj2ie

2!n!¥0.

3. Soit aune constante et(Xn)une suite de variables aléatoires. Montrer que si(Xn)converge en loi versa, alors(Xn)converge en probabilité versa. Comme on a la convergence en loi, on a en particulier que pour tout point de continuitéx deF,FXn(x)converge versF(x). On obtient donc, pour toute>0, P [jXnaje]=P[Xne+a]+P[Xnae] =1FXn(e+a)+FXn(ea) n!¥1Fa(e+a) +Fa(ea)

OrFa(x) =0 six0,

lim n!¥P[jXnXje]!n!¥11+0=0.

Attention, les inégalités précédentes ne sont vraies que si les variables aléatoiresXnsont

continues (sinon il faut rajouter un termeP[Xn=e+a]). 4. Soit (Xn)une suite de variables aléatoires convergeant en loi vers une constanteaet soit h:R!Rune fonction continue. Montrer queh(Xn)converge en probabilité versh(a).

1ere version :Comme la convergence en loi vers une constante implique la convergence

en probabilité, il suffit de montrer la convergence en loi deh(Xn)versh(a). Commehest continue, pour toute fonction continue bornéej, la fonctionjohest une fonction continue et bornée, et commeXnconverge en loi versa, E

2ème version :Soite>0. Commehest continue, il existeh>0 telle pour tout

x,jxaj h, on aitjh(x)h(a)jh]!n!¥0. 5.

Etudier la conver gencede la suite

(Xn)dans chacun des cas suivants : -Xn=1/n. La suite est déterministe et converge vers 0, on a donc tous les types de convergence. -Xn= (1)n. La suite est déterministe et ne converge pas, on n"a donc aucun type de convergence. -Xn=1AnoùAnest une suite d"évènements etP[An]converge vers 0. On aEX2n=P[An]!0, et donc convergence en moyenne quadratique, en probabilité et en loi. En revanche, on n"a pas nécessairement la convergence presque sûre. On construit des ensemblesAnde la façon suivante : -A1= [0,1]

On coupe A1en deux :A2= [0,1/2]etA3= [1/2,1]

On coupe A2etA3en deux :A4= [0,1/4],A5= [1/4,1/2],A6= [1/2,3/4], A

7= [3/4,1].

On considère l"espace probabilisé

(W,F,P)=([0,1,],B([0,1]),Leb[0,1]), et on a P [An]= (1/2)log2n!0. Or pour toutw2[0,1],Xn(w)n"admet pas de limite. -Xn=Zn1BnoùZnconverge en loi vers une variable aléatoireZetP[Bn]converge vers 1. On la convergence en loi grâce au théorème de Slutsky. Par contre, on n"a pas nécessairement la convergence en probabilité. Il suffit de considérerBn=Wet de reprendre l"exemple du cours,Xn=X N(0,1). Exercice 2 :SoitXune variable aléatoire suivant une loi uniforme sur[0,1]. 1.

Donner la loi de Z=log(X).

Pour toutx2R+,

F

Z(x) =P[log(X)X]=1P[Xexp(x)]=1exp(x)

etZsuit donc une loi exponentielle de paramètre 1. 2. Soit Z1,...,Zndes variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de même loi queZ. Donner la normalité asymptotique deZ n.

LesZisont i.i.d etE[Z1]=V[Z1]=1, donc (TLC)

pn Z n1L!n!¥N(0,1). 3.

En déduir ela normalité asymptotique de

Y n=1(

Õni=1Xi)1/n.

On remarquera que

log (Yn)=1n nå i=1log (Xi)=Z n.

On a doncYn=expZ

n, et la fonctiong:x7!exp(x)est dérivable en 1, par la delta méthode, on obtient doncpn (Yne)L!n!¥N0,e2 Exercice 3 : (Inégalité de Hoeffding simplifiée)SoientX1,...,Xndes variables aléatoires indépendantes et centrées. L"objectif est de montrer que si jXnjMp.s, alors pour toutx>0, P X n>xexp nx22M2 etPX n>x2exp nx22M2 1.

Soit l>0 etx2[M,M], montrer que

exp(lx)Mx2Mexp(lM)+x+M2Mexp(lM).

La fonctionx7!exp(lx)est convexe, et on a donc

exp (lx)=expMx2M(lM)+M+x2MlM

Mx2Mexp(lM)+x+M2Mexp(lM)

2. Sachant que pour tout u>0, cosh(u)exp(u2/2), en déduire que pour touti, E [exp(lXi)]cosh(lM)expl2M2/2.

On a, comme lesXisont centrés,

E [exp(lXi)]ME[Xi]2Mexp(lM)+E[Xi]+M2Mexp(lM) =cosh(lM) 3.

Montr erque pour tout l>0 etx>0,

P X n>xexp nl2M22 lx et conclure.

On a, par indépendance et en utilisant Markov

P X n>x=PexpnlX n>exp(nlx)EexpnlX nexp(nlx) nÕ i=1E [exp(lXi)]! exp (nlx) nÕ i=1expl2M22 exp (nlx) =exp nl2M22 lx La majoration précédente est minimisée pourl=xM2et on obtient le résultat. De plus, P X nx et commeXivérifie les mêmes hypothèses queXi, on retrouve P X n1.Inégalité de Cauchy-Schwarz : (a) Soit X,Ydeux variables aléatoires admettant des moments d"ordre 2. Montrer l"inégalité de Cauchy Schwarz E [jXYj]qE [X2]qE [Y2]

La fonctionl7!Eh

lXY)2i est un polynôme de degré 2, positif, et dont le discriminant

4E[XY]24EX2EY2

est toujours négatif ou nul. On obtient donc l"inégalité de Cauchy Schwarz. (b) Soit (Xn)et(Yn)deux suites de variables aléatoires convergeant à l"ordre 4 vers 0. En déduire queXnYnconverge en moyenne quadratique vers 0.

C"est une application direct de Cauchy-Shwarz.

2. (a)

Soient a,b0 etp,q>0 tels que1p

+1q =1. Montrer que ab1p ap+1q bq. Option 1 :Pour toutb, on considère la fonctiongb:a7!1p ap+1q bqab. On a g

0b(a) =ap1b

et le minimum de la fonction est donc atteint enb1p1. De plus, commeq=pp1 g 0b b1p1 =1p bpp1+1q bpp1b1p1+1=1p +1q 1 bpp1=0.

Option 2 :On a

log(ab) =log app bqq =1p log(ap)+1q log(bq)

Comme la fonction log est concave, on obtient

log(ab)1p log(ap)+1q log(bq)log1p ap+1q bq et on obtient obtient le résultat en passant à l"exponentiel. (b) E [jXYj](E[jXjp])1p (E[jYjq])1q

En prenant

a=jXj(

E[jXjp])1p

etb=jYj(

E[jYjq])1q

on obtient j Xj(

E[jXjp])1p

j Yj(

E[jYjq])1q

1p j Xjp(

E[jXjp])+1q

j Yjq(

E[jYjq])

En passant à l"espérance, on obtient

Equotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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