[PDF] Convergences Université Paris Dauphine Probabilités

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Statistiques 4Année universitaire 2015-2016

Cours de M

meChevalier

Convergences

Inégalités

Inégalités de Markov

SiXest une variable aléatoire positive dont l"espérance existe, alors, pour toutλ >0,

P(X?λE(X))?1

λetP(X?λ)?E(X)λ

SiXest une variable aléatoire telle queE(|X|k)existe, alors, pour toutλ >0et pour toutε >0,

P(|X|k?λ)?E(|X|k)

λetP(|X|?ε)?E(|X|k)εk

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

SiXest une variable aléatoire telle queV(X)existe, alors, pour toutε >0,

P(|X-E(X)|?ε)?V(X)

ε2 Cas particulier des variables centrées réduites : siXest une variable aléatoire telle queV(X) =σ(X)2existe, alors, pour touta >1, P ?X-E(X)

σ(X)????

?a? ?1a2

Inégalité de Jensen

Sigest une fonction réelle convexe sur un intervalleI deRet siE(X)etE(g(X))existent, alors g(E(X))?E(g(X))

Convergenceenprobabilité

Définition

La suite de variables aléatoires(Xn)converge en proba- bilité vers une variable aléatoireXsi, pour toutε >0, lim n→+∞P(|Xn-X|< ε) = 1 oulimn→+∞P(|Xn-X|> ε) = 0

Convergence en moyenne quadratique

La suite de variables aléatoires(Xn)converge en moyenne d"ordrep >0vers une variable aléatoireXsi lim n→+∞E(|Xn-X|p) = 0 Cas particulier très pratique : sip= 2, c"est équivalent de dire que la suite de variables aléatoires(Xn)converge en moyenne quadratique vers une variable aléatoireXsi ?E(Xn-X)→0 V(X n-X)→0

Conditions suffisantes de conv. en probabilité

Si(Xn)converge en moyenne d"ordrepversX, alors

(X n)converge en probabilité versX. En particulier : si(Xn)converge en moyenne quadra- tique versX, alors(Xn)converge en probabilité versX. Théorème de Slutsky : sifest une application réelle continue et si(Xn)converge en probabilité versX, alors (f(Xn))converge en probabilité versf(X). Extension en dimension 2 : sif:R2→Rest une ap- plication uniformément continue et si(Xn)converge en probabilité versXet(Yn)converge en probabilité versY, alors(f(Xn,Yn))converge en probabilité versf(X,Y).

Loi faible des grands nombres

Si(Xn)est une suite de variables aléatoires mu- tuellement indépendantes telles que pour tout entiern, E(X n) =metV(Xn) =σ2, alors la suite(

Xn)converge

en probabilité versm.

Rappel :

Xn=1nn

i=1X i Preuve : à l"aide de l"inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Convergenceenloi

Définition

Si pour tout entiern,Fnest la fonction de répartition de la variableXn, alors la suite de variables aléatoires(Xn) converge en loi vers une variable aléatoireX(de fonction de répartitionF) si la suite(Fn(x))converge versF(x) en tout pointxoùFest continue.

Conditions suffisantes de convergence en loi

Si(Xn)converge en probabilité versX, alors

(X n)converge en loi versX.

Si(Xn)converge en loi versXet(Yn)converge en

probabilité vers un réela, alors(Xn+Yn)converge en loi versX +a,(XnYn)converge en loi versaXet(Xn/Yn) converge en loi versX/a(sia?= 0). Théorème de Slutsky : sifest une application réelle continue et si(Xn)converge en loi versX, alors (f(Xn))converge en loi versf(X). Cas discret : on supposeXn(Ω) = X(Ω) ={ai|i?I}. Si pour touti?I,limn→+∞P(Xn=ai) = P(X =ai), alors la suite(Xn)converge en loi versX. Cas continu : on suppose queXna pour densitéfnet

Xa pour densitéf.

Si pour toutx?R, on alimn→+∞fn(x) =f(x), alors la suite(Xn)converge en loi versX.

Théorème central limite

Si(Xn)est une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi telles queE(Xn) =metV(Xn) =σ2pour tout entiern, alors nXn-m

σloi----→n→∞N(0,1)

En pratique, on approche la loi deXnpar une loi

N(m,σ/⎷

n). Approximation valable sin?30. Convergence d"une suite image : s"il existem?R,σ >0 et une suite(an)de réels tels quelimn→+∞an=+∞et pour tout entiern, a alors, sigest une application réelle dérivable, a

Convergencesusuelles

Convergence des moments empiriques

Rappel des notations :

Moyenne empirique

Xn=1nn

i=1X i

Variance empirique

S ?2n=1 nn i=1(X i-Xn)2

Moment empirique d"ordrek

m kn=1 nn i=1X ik

Moment d"ordrek

m k= E(Xk)

Moment empirique centré d"ordrek

kn=1 nn i=1(X i-Xn)k

Moment centré d"ordrek

m k= E((X-E(X))k)

Moyenne empirique

La suite(

Xn)converge en probabilité et en loi versm.

Variance empirique

La suite(S?2n)converge en probabilité versσ2et vérifie

0,?μ4-μ22?

Moments empiriques :

m knproba----→n→∞mk

Convergence de la loi binomialeB(n,p)

Cas oùp→0avecnp→λfini quandn→ ∞ La loiB(n,p)converge en loi vers la loi de PoissonP(λ).

Approximation valable sin?30,p?0,1etnp <18.

Cas oùpreste fixe quandn→ ∞

La loiB(n,p)peut être approchée par une loi normale

N(np,?

np(1-p)).

Approximation valable sin?30,np?5etn(1-p)?5.

Preuve : on écrit la variable comme somme de variables de BernoulliXi. D"après le théorème central limite,

Correction de continuité

L"approximation d"une loi discrèteXpar une loi conti- nueYimpose de remplacerXparY-1/2:

P(X?k)≈P(Y-1/2?k)

Conv. de la loi hypergéométriqueH(N,n,NA)

SiN→+∞etNA/N =preste fixe, on peut appro- cher la loi hypergéométriqueH(N,n,NA)par une loi bi- nomialeB(n,p).

Approximation valable pourn/N?0,1.

Convergence de la loi de PoissonP(λ)

X-λ

Convergence de la loi Gammaγ(p)

X-p ⎷ploi----→p→+∞N(0,1)

Convergence de la loi du khi-deuxχ2n

X-n

Convergence de la loi de StudentT(n)

X loi-----→n→+∞N(0,1)Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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