[PDF] Multiplication dun vecteur par un nombre réel





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Multiplication dun vecteur par un nombre réel

Multiplication d'un vecteur par un nombre réel. Fiche exercices. EXERCICE 1. 1. A et B sont deux points distincts du plan. Construire le point C tel que : ⃗.



Matrices Les vecteurs Vecteurs et transposé Addition de vecteurs

La réciproque n'est pas forcément vraie. Vincent Nozick. Matrices. 25 / 47. Les vecteurs. Les matrices. Multiplication matricielle.



2.7 Vecteurs libres de lespace physique.

FIGURE 2.2: Addition de deux vecteurs et multiplication par un scalaire. L'ensemble E des vecteurs libres munis de ces opérations constitue un espace vectoriel 



Espaces vectoriels

Par exemple on peut additionner deux vecteurs du plan





La multiplication dun vecteur par un scalaire.notebook

Parmi les vecteurs suivants lesquels sont des multiples scalaires du vecteur c ? Explique ta réponse. Exemple. Explique pourquoi les autres vecteurs ne sont 



Chapitre III Espaces vectoriels

⃗⃗⃗⃗. ⃗. ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗. ⃗ iii. ⃗ il existe ⃗ tel que ⃗ ( ⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ . - Une loi externe de multiplication des vecteurs de par un scalaire.



Version corrigée Fiche dexercices - CH06 Vecteurs : colinéarité

1 Multiplication d'un vecteur par un réel. Dans chaque cas indiquer le nombre manquant en s'aidant de cette figure. 1. v = 3 × u. 2. y = 1



1. Espace vectoriel

La multiplication du vecteur u par le scalaire λ sera souvent notée simplement λu au lieu de λ · u. Somme de n vecteurs. Il est possible de définir



Matrices et opérations de base - Données et manipulations des

multiplier une matrice par un vecteur ligne. Pour que l'opération soit valable ... *B. % multiplication de deux vecteurs lignes. C= ??? Error using ==> *. Inner ...



Opérations sur les vecteurs

Multiplication scalaire de deux vecteurs. On note la multiplication scalaire de deux vecteurs à l'aide d'un point. •. Cela se lit «le produit scalaire de.



Multiplication dun vecteur par un nombre réel

Multiplication d'un vecteur par un nombre réel. Fiche exercices. EXERCICE 1. 1. A et B sont deux points distincts du plan.



Matrices Les vecteurs Vecteurs et transposé Addition de vecteurs

Les vecteurs. Les matrices. Multiplication matricielle trouver l'angle entre 2 vecteurs : ? = ±cos?1 ... Multiplication vecteur-matrice y = x M = ( x1.



La multiplication dun vecteur par un scalaire.notebook

On peut effectuer différentes opérations sur les vecteurs. L'une d'elles est la multiplication d'un vecteur par un scalaire. Qu'arrivetil si tu te déplaces deux 



Opérations sur les vecteurs

On peut définir une addition des vecteurs qui a des propriétés semblables à celles de Pour multiplier un vecteur non nul par un nombre réel k:.



Lalgèbre linéaire : c koi?

vecteurs. C'est parce qu'on peut leur appliquer l'addition et la multiplication vectorielles. On dit que R2 et R3 sont des espaces vectoriels.



multiplication-dun-vecteur-par-un-réel_complété.pdf

IV- Multiplication d'un vecteur par un réel. 1- produit d'un vecteur par un nombre Le produit du vecteur u par le réel k est le vecteur noté ku :.



Opérations sur les vecteurs

Important : La norme d'un vecteur multiplié par un scalaire sera toujours positive car on prendra toujours la valeur absolue du scalaire pour le multiplier 



Chapitre III Espaces vectoriels

? il existe ? tel que ? ( ? ) ???? . - Une loi externe de multiplication des vecteurs de par un scalaire satisfaisant : i. ( ?. ) ?.



Seconde Géométrie vectorielle Multiplication dun vecteur par un

I Multiplication d'un vecteur par un réel a) Définition. ? u désigne un vecteur non nul et k un nombre réel non nul. Le produit du vecteur.

Multiplication d'un vecteur

par un nombre réel

Fiche exercices

EXERCICE 1

1. A et B sont deux points distincts du plan.

Construire le point C tel que : ⃗AC=2⃗AB

2. A et B sont deux points distincts du plan.

Construire le point tel que :

⃗AD=-3

2⃗AB

EXERCICE 2

A, B et C sont trois points non alignés du plan.

1. Construire le point B' tel que :

⃗AB'=2⃗AB Construire le point C' tel que : ⃗AC'=-3⃗AC

Construire le point E tel que :

⃗AE=2⃗AB'-3⃗AC'2. r= (O;⃗i:⃗j) est un repère du plan.

A(-1;3) B((3;3) C(-3;5)

Calculer les coordonnées de B', c4 et E.

EXERCICE 3

A et B sont deux points du plan.

On considère le point K tel que :

⃗KA+2⃗KB=⃗0

Multiplication d'un vecteur

par un nombre réel

1. Exprimer ⃗AK en fonction de ⃗AB.

Placer le point K suusle dessin.

Soit M un point du plan. Exprimer le vecteur : ⃗v= ⃗MA+2⃗MB en fonction de ⃗MK.

2. r=

(O;⃗i;⃗j) est un repère du plan.

A(1;2) B(4;-1)

Calculer les coordonnées du point K.

Soit M un point du plan de coordonnées (x;y).

Exprimer les coordonnées du vecteur

⃗v en fonction de x et y et retrouver le résultat de la première question.

EXERCICE 4

r= (0;⃗i;⃗j) est un repère du plan.

A(-1;-4) B(-2;-1) C(3;-2) M(x;y).

1. Exprimer en fonction de x et y les coordonnées du vecteur :

⃗v=2⃗MA-3⃗MB+2⃗MC.

2. Déterminer les coordonnées du point M tel que :

⃗v=⃗0.

EXERCICE 5

A, B et C sont trois points non alignnés du plan.

1. Construire les points :

. B' tel que ⃗AB'=4

Multiplication d'un vecteur

par un nombre réel . C' tel que ⃗AC'=3

2⃗AC

. E tel que ⃗AE=4

3⃗AB+3

2⃗AC

2. r=

(O;⃗i;⃗j) est un repère du plan.

A(-1:2) B(2;3) c(1;-1)

Calculer les coordonnées de K et G.

Calculer les coordonnées du vecteur

⃗GA+⃗GB+2⃗GC.

EXERCICE 7

r= (O;⃗i;⃗j) est un repère du plan.

A(3;5) B(-1;-1) C(7;-2) M(x;y)

Calculer les coordonnées du vecteur : ⃗v=2 ⃗MA-2⃗MB+⃗MC.

EXERCICE 8

r= (0;⃗i;⃗j) est un repère du plan ⃗u(2:-3) et ⃗v(-2;1).

Calculer les coordonnées des vecteurs.

Multiplication d'un vecteur

par un nombre réel

CORRECTION

EXERCICE 1

Construire le point G tel que ⃗AC=2⃗ABConstruire le point D tel que ⃗AD=-3

2⃗AB

EXERCICE 2

1. Construire le point B' tel que

⃗AB'=2⃗AB Construire le point C' tel que ⃗AC'=-3⃗AC

Construire le point E tel que

⃗AE=2⃗AB-3⃗AC AB'EC' est un parallélogramme.

2. Calculer les coordonnées de B', C' et E

A(-1:3) B(3;3) C(-3;5)

⃗AB(3+1;3-3) ⃗AB(4;0) ⃗AB'=2⃗AB ⃗AB'(2×4:2×0) ⃗AB'(8;0) ⃗AB'(xB'+1;yB'-3)

On obtient :

{xB'+1=8 yB'=0 ⇔ {xB'=7 yB'=3 B'(7;3) ⃗AC(-3+1;5-3) ⃗AC(-2;2) ⃗AC'=-3⃗AC ⃗AC'(-3×(-2);-3×2) ⃗AC'(6;-6) ⃗AC'(xC'+1;yC'-3)

Multiplication d'un vecteur

par un nombre réel

On obtient {xc'+1=6

yC'-3=-6 ⇔ {xC'=5 yc'=3 C'(5;-3) ⃗AE=2⃗AB-3⃗AC=⃗AB'+⃗AC' ⃗AE(8+6;0-6) ⃗AE(14;-6) ⃗AE(xE+1;yE-3)

On obtient

{xE+1=14 yE-3=-6 ⇔ {xE=13 yE=-3 E(13;-3).

EXERCICE 3

1. Exprimer

⃗AK en fonction de ⃗AB ⃗KA+2⃗KB=⃗0 En utilisant la relation de Chasles

⃗KA+2(⃗KA+⃗AB)=⃗0 ⇔ ⃗KA+2⃗KA+2⃗AB=⃗0 ⇔ 3⃗KA+2⃗AB=⃗0 ⇔ 2⃗AB=3⃗AK ⇔

⃗AK=2

3⃗AB

Placer le point K sur le dessin

Soit M un point du plan. Exprimer le vecteur : ⃗v= ⃗MA+2⃗MB en fonction de ⃗MK ⃗v= ⃗v=3⃗MK+⃗0=3⃗MK

Multiplication d'un vecteur

par un nombre réel

2. Calculer les coordonnées du point K

A(1;2) B(4;-1)

⃗AB(4-1;-1-2) ⃗AB(3:-3) ⃗AK=2

3⃗AB(2

3×3;2

3×(-3)) ⃗AK(2;-2)

⃗AK(xK-1;yK-2) On obtient {xK-1=2 yH-2=-2 ⇔ {xK=3 yK=0 K(3;0)

Exprimer les coordonnées de

⃗v enfonction de x et y. Retrouver le résultat de la première question.

A(1;2) M(x;y)

⃗MA(1-x;2-y)

B(4;-1) M(x;y)

⃗MB(4-x;-2-y) 2⃗MB(8-2x;-2-2y) ⃗v= ⃗MA+2⃗MB(1-x+8-2x;2-y-2-2y) ⃗v(9-3x;-3y)

M(x;y) K(3;0)

⃗MK(3-x;0-y) 3⃗MK(9-x;-3y) donc ⃗v=3⃗MK.

EXERCICE 4

1. Exprimer en fonction de x et y les coordonnées duvecteur ⃗v=2

⃗MA-3⃗MB+2⃗MC

A(-1;-4) M(x;y)

⃗MA(-1-x;-4-y) 2⃗MA(-2-2x;-8-2y)

B(-2;-1) M(x;y)

⃗MB(-2-x;;-1-y) -3⃗MB(6+3x;3+3y) C(3;-2) M(x;y) ⃗MC(3-x;-2-y) 2⃗MC(6-2x;-4-2y) ⃗v=2 ⃗v(10-x;-9-y)

2. Déterminer les coodonnées du point M tel que

⃗v=⃗0 ⃗v=⃗0 ⇔ {10-x=0 -9-y=0 ⇔ {x=10 y=-9 M(10;-9).

EXERCICE 5

1. Constuire les points ; B' tel que

⃗AB'=4

3⃗AB, C' tel que ⃗AC'=3

2⃗AC et E tel que ⃗AE=⃗AB'+⃗AC'

AB'EC' est un parallélogramme.

Multiplication d'un vecteur

par un nombre réel

2. Calculer les coordonnées de B', C' et E

A(-1;4) B(2;3) C(1;-1)

. ⃗AB(2+1;3-2) ⃗AB(3;1) 4

3⃗AB(4

3×3;4

3×1)

⃗AB'(4;4

3) ⃗AB'(xB'+1;yB'-2)

On obtient

{xB'-1=4 yB'-2=4

3 ⇔ {xB'=3

yB'=10

3 B'(3;10

3) .

⃗AC(1+1;-1-2) ⃗AC(2;3) 3

2⃗AC(3

2×2;3

2×(-3))

⃗AC'(3;-9

2) ⃗AC'(xc'+1;yC'-2)

On obtient

{xC'+1=3 yC'-2=-9

2 ⇔ {xC'=2

yC'=-5

2 C'(2;-5

2) .

⃗AE=⃗AB'+⃗AC'(4+3;4 3-9

2) ⃗AE(7;-19

6) ⃗AE(xE+1;yE-2)

On obtient

{xE+1=7 yE-2=-19

6 ⇔ {xE=6

yE=-7

6 E(6;-7

6).

EXERCICE 6

1. Que peut-on dire du vecteur :

⃗GA+⃗GB+2⃗GC

K est le milieu de [AB] donc

⃗AK=⃗KB ou ⃗KA+⃗KB=⃗0.

G est le milieu de [CK] donc ⃗KG=⃗GC

⃗GA+⃗GB=⃗GK+⃗KA+⃗GK+⃗KB=2⃗GK+⃗0=2⃗GK 2 ⃗GC=2⃗KG=-2⃗GK donc ⃗GA+⃗GB+2⃗GC=2⃗GK-2⃗GK=⃗02. Calculer les coordonnées de K et G

A(2;4) B(-1;-1) C(6;-2)

Multiplication d'un vecteur

par un nombre réel xK=xA+xB 2=2-1 2=1

2 yK=yA+yB

2=4-1 2=3

2 K(1

2;3 2) xG=xK+xC 2= 1 2+6 2=13

4 yG=yK+yC

2=3 2-2 2=-1

4 G(13

4;-1

4) Calculer les coordonnées de

⃗GA+⃗GB+2⃗GC ⃗GA(2-13 4;4+1

4) ⃗GA(-5

4;17 4) ⃗GB(-1-13

4;-1+1

4) ⃗GB(-17

4;-3 4) ⃗GC(6-13

4;-2+1

4) ⃗GC(11

4;-7

4) 2

⃗GC(22 4;-14 4) ⃗GA+⃗GB+2⃗GB(-5 4-17 4+2 4;17 4-3 4-14

4) ⃗GA+⃗GB+2⃗GC(0;0)

Conclusion

⃗GA+⃗GB+2⃗GC=⃗0EXERCICE 7

Calculer les coordonnées du vecteur :

⃗v=2⃗MA-3⃗MB+⃗MCA(3;5) B(-1;-1) C(7;-2) M(x;y) ⃗MA(3-x;5-y) 2⃗MA(6-2x;10-2y) ⃗MB(-1-x;-1-y) -3⃗MB(3+3x;3+3y) ⃗MC(7-x;-2-y) ⃗v=2 ⃗v(16;11)

EXERCICE 8

Calculer les coordonnées des vecteurs

⃗w et ⃗t⃗u(2:-3) ⃗v(-2;1)

Multiplication d'un vecteur

par un nombre réel

. ⃗w=-3(2⃗u-⃗v)+2(-⃗u+2⃗v)=-6⃗u+3⃗v-2⃗u+4⃗v ⃗w=-8⃗u+7⃗v

⃗w(-30:31). ⃗t=5(⃗u-2⃗v)-3(⃗u-⃗v)=5⃗u-10⃗v-3⃗u+3⃗v

⃗t=2⃗u-7⃗vquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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