[PDF] Matrices Les vecteurs Vecteurs et transposé Addition de vecteurs





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Multiplication dun vecteur par un nombre réel

Multiplication d'un vecteur par un nombre réel. Fiche exercices. EXERCICE 1. 1. A et B sont deux points distincts du plan. Construire le point C tel que : ⃗.



Matrices Les vecteurs Vecteurs et transposé Addition de vecteurs

La réciproque n'est pas forcément vraie. Vincent Nozick. Matrices. 25 / 47. Les vecteurs. Les matrices. Multiplication matricielle.



2.7 Vecteurs libres de lespace physique.

FIGURE 2.2: Addition de deux vecteurs et multiplication par un scalaire. L'ensemble E des vecteurs libres munis de ces opérations constitue un espace vectoriel 



Espaces vectoriels

Par exemple on peut additionner deux vecteurs du plan





La multiplication dun vecteur par un scalaire.notebook

Parmi les vecteurs suivants lesquels sont des multiples scalaires du vecteur c ? Explique ta réponse. Exemple. Explique pourquoi les autres vecteurs ne sont 



Chapitre III Espaces vectoriels

⃗⃗⃗⃗. ⃗. ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗. ⃗ iii. ⃗ il existe ⃗ tel que ⃗ ( ⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ . - Une loi externe de multiplication des vecteurs de par un scalaire.



Version corrigée Fiche dexercices - CH06 Vecteurs : colinéarité

1 Multiplication d'un vecteur par un réel. Dans chaque cas indiquer le nombre manquant en s'aidant de cette figure. 1. v = 3 × u. 2. y = 1



1. Espace vectoriel

La multiplication du vecteur u par le scalaire λ sera souvent notée simplement λu au lieu de λ · u. Somme de n vecteurs. Il est possible de définir



Matrices et opérations de base - Données et manipulations des

multiplier une matrice par un vecteur ligne. Pour que l'opération soit valable ... *B. % multiplication de deux vecteurs lignes. C= ??? Error using ==> *. Inner ...



Opérations sur les vecteurs

Multiplication scalaire de deux vecteurs. On note la multiplication scalaire de deux vecteurs à l'aide d'un point. •. Cela se lit «le produit scalaire de.



Multiplication dun vecteur par un nombre réel

Multiplication d'un vecteur par un nombre réel. Fiche exercices. EXERCICE 1. 1. A et B sont deux points distincts du plan.



Matrices Les vecteurs Vecteurs et transposé Addition de vecteurs

Les vecteurs. Les matrices. Multiplication matricielle trouver l'angle entre 2 vecteurs : ? = ±cos?1 ... Multiplication vecteur-matrice y = x M = ( x1.



La multiplication dun vecteur par un scalaire.notebook

On peut effectuer différentes opérations sur les vecteurs. L'une d'elles est la multiplication d'un vecteur par un scalaire. Qu'arrivetil si tu te déplaces deux 



Opérations sur les vecteurs

On peut définir une addition des vecteurs qui a des propriétés semblables à celles de Pour multiplier un vecteur non nul par un nombre réel k:.



Lalgèbre linéaire : c koi?

vecteurs. C'est parce qu'on peut leur appliquer l'addition et la multiplication vectorielles. On dit que R2 et R3 sont des espaces vectoriels.



multiplication-dun-vecteur-par-un-réel_complété.pdf

IV- Multiplication d'un vecteur par un réel. 1- produit d'un vecteur par un nombre Le produit du vecteur u par le réel k est le vecteur noté ku :.



Opérations sur les vecteurs

Important : La norme d'un vecteur multiplié par un scalaire sera toujours positive car on prendra toujours la valeur absolue du scalaire pour le multiplier 



Chapitre III Espaces vectoriels

? il existe ? tel que ? ( ? ) ???? . - Une loi externe de multiplication des vecteurs de par un scalaire satisfaisant : i. ( ?. ) ?.



Seconde Géométrie vectorielle Multiplication dun vecteur par un

I Multiplication d'un vecteur par un réel a) Définition. ? u désigne un vecteur non nul et k un nombre réel non nul. Le produit du vecteur.

Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Matrices

Vincent Nozick

Vincent NozickMatrices1 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Les vecteurs

Un vecteur

(colonne) : x=0 B BB@x 1 x 2... x n1 C

CCAVincent NozickMatrices2 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Vecteurs et transpose

x=0 B BB@x 1 x 2... x n1 C

CCAx>=x1x2xn

Autrement dit:

0 B BB@x 1 x 2... x n1 C

CCA=x1x2xn>Vincent NozickMatrices3 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Addition de vecteurs

x=0 B BB@x 1 x 2... x n1 C

CCAy=0

B BB@y 1 y 2... y n1 C

CCAx+y=0

B BB@x 1+y1 x

2+y2...

x n+yn1 C CCA Conditions :xetysont de m^eme dimension.Vincent NozickMatrices4 / 47 Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Produit scalaire

x=0 B BB@x 1 x 2... x n1 C

CCAy=0

B BB@y 1 y 2... y n1 C CCA produit scalaire: x >y=x1y1+x2y2++xnyn =Pn i=1xiyi

Conditions :xetysont de m^eme dimension.Vincent NozickMatrices5 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Produit scalaire

Propriete geometrique :Le produit scalaire est l'intensite (signee) de la projection d'un vecteur sur un autre.

Vincent NozickMatrices6 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Produit scalaire

Propriete geometrique :

uv=kukkvkcos ouest l'angle entreuetv(valable pour toutes dimensions).

Applications geometriques :

!trouver l'angle entre 2 vecteurs :=cos1 uvkukkvk!

!trouver la projection deusurv: projv(u) =uvkvkvkvkVincent NozickMatrices7 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Produit vectoriel

x=0 @x 1 x 2 x 31
A y=0 @y 1 y 2 y 31
A z=xy=0 @x

2y3x3y2

x

3y1x1y3

x

1y2x2y11

A Conditions :deni uniquement en dimension 3.Vincent NozickMatrices8 / 47 Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Norme de vecteurs

Proprietes :

kxk>0ssix6=0etkxk= 0ssix=0 kkxk=jkj:kxk kx+yk kxk+kykNormeL1:kxk1=Pn i=1jxij(norme de Manhattan)

NormeL2:kxk2=px

21+:::+x2n(norme euclidienne)

NormeLp:kxkp=Pn

i=1jxijp 1p

NormeL1:kxk1= maxjx1j;:::;jxnj

Vincent NozickMatrices9 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Les matrices

Une matrice :M=2

4m

11m12m13

m

21m22m23

m

31m32m333

5

Vincent NozickMatrices10 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Les matrices

Element d'une matrice :Mij

M=2 4m

11m12m13

m

21m22m23

m

31m32m333

5 |{z} j9 i i: lignes

j: colonnesVincent NozickMatrices11 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Addition matricielle

M=2 4m

11m12m13

m

21m22m23

m

31m32m333

5 N=2 4n

11n12n13

n

21n22n23

n

31n32n333

5

A=M+N=2

4m

11+n11m12+n12m13+n13

m

21+n21m22+n22m23+n23

m

31+n31m32+n32m33+n333

5 A ij=Mij+Nij! O(n2)Vincent NozickMatrices12 / 47 Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Multiplication matrice-vecteur

y=Mx=2 4m

11m12m13

m

21m22m23

m

31m32m333

50
@x 1 x 2 x 31
A 0 @m

11x1+m12x2+m13x3

m

21x1+m22x2+m23x3

m

31x1+m32x2+m33x31

A Mx=0 @m>1x m >2x m >3x1

A!produit scalaire

!produit scalaire !produit scalaire

oum>icorrespond a laiemeligne deMVincent NozickMatrices13 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Multiplication vecteur-matrice

y >=x>M=x1x2x32 4m

11m12m13

m

21m22m23

m

31m32m333

5 0 @m

11x1+m21x2+m31x3

m

12x1+m22x2+m32x3

m

13x1+m23x2+m33x31

A> x >M=0 @x>m1 x>m2 x>m31 A> !produit scalaire !produit scalaire !produit scalaire

oumjcorrespond a lajemecolonne deMVincent NozickMatrices14 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Produit exterieur

Produit scalaire :x>y=u

Produit externe :xy>=A

0 B BB@x 1 x 2... x n1 C CCA y

1;y2;;ym

=2 6 664x

1y1x1y2x1ym

x

2y1x2y2x2ym............

x ny1xny2xnym3 7 775
A

ij=xiyjVincent NozickMatrices15 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Multiplication matricielle

A=MN=2

4m

11m12m13

m

21m22m23

m

31m32m333

52
4n

11n12n13

n

21n22n23

n

31n32n333

5 2

4m>1n1m>1n2m>1n3

m>2n1m>2n2m>2n3 m>3n1m>3n2m>3n33 5 oum>icorrespond a laiemeligne deM etnjcorrespond a lajemecolonne deNVincent NozickMatrices16 / 47 Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Multiplication matricielle

Pour chacune desmncase deA:

1 produit scalaire delelements.

complexite :O(lmn) O(n3)Vincent NozickMatrices17 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Strassen

Introduction :

multiplication matricielle standard :O(n3) avec la methode de Strassen :O(nlog27) =O(n2:81) methode recursive.

ecace seulement sur les grosses matrices.Vincent NozickMatrices18 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Strassen

Methode :rs

tu=ab cdef gh

Vincent NozickMatrices19 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Strassen

ae+bgaf+bh ce+dgcf+dh=ab cdef gh

8 produits de sous matrices

4 additions de sous matrices

Vincent NozickMatrices20 / 47

Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Strassen

rs ae+bgaf+bh tu ce+dgcf+dh=ab cdef gh on denit : P

1=afah

P

2=ah+bh

P

3=ce+de

P

4=dgde

P

5=ae+ah+de+dh

P

6=bg+bhdgdh

P

7=ae+afcecftel que :

r=P5+P4P2+P6 s=P1+P2 t=P3+P4

u=P1+P5P3P7Vincent NozickMatrices21 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Strassen

P

1=afah

P

2=ah+bh

P

3=ce+de

P

4=dgde

P

5=ae+ah+de+dh

P

6=bg+bhdgdh

P

7=ae+afcecfP

1=a(fh)

P

2= (a+b)h

Pquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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