[PDF] Monotonie
Le produit de deux fonctions positives croissantes sur I est une fonction croissante sur I Le quotient d'une fonction positive croissante sur I par une
[PDF] Opérations sur les fonctions
Si f et g sont de même monotonie f ?g est croissante • Si f et g sont de monotonie différentes f ?g est décroissante ?? démonstration Remarque
[PDF] Variation et opérations
2) Produit de deux fonctions : Soient deux fonctions f et g définies sur un même intervalle I leur produit f g est la fonction définie par f g(x) = f(x) ×
[PDF] GENERALITES SUR LES FONCTIONS
Concernant le produit de deux fonctions le signe de chaque fonction va aussi jouer un rôle dans le sens de variation de la fonction produit Hélène Trouilhet
[PDF] Chapitre5 : Définitions relatives aux fonctions à valeurs réelles
Si f et g sont monotones de même sens alors g ? f est croissante Si f et g sont monotones de sens contraires alors g ? f est décroissante Démonstration : ‚
[PDF] Chapitre8 : Fonctions continues - Melusine
Le produit de deux fonctions continues est continu L'inverse lorsqu'il est défini d'une fonction continue est continu Démonstration (pour le quatrième)
[PDF] 1 S Règles sur le sens de variation des fonctions
sens de variation (fonction croissante décroissante) 2°) Démonstration (ROC) II Variations du produit d'une fonction par un réel 1°) Règle
[PDF] 229 Fonctions monotones et fonctions convexes Exemples et
17 déc 2009 · convexe Le produit de deux fonctions croissantes positives est une fonction croissante positive L'inverse d'une fonction croissante positive
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2) Opérations sur les fonctions monotones 3) Limite d'une fonction monotone IV : Continuité 1) Définition 2) Image d'un intervalle
[PDF] 01 - 2 Révisions danalyse Démonstrations - cpgedupuydelomefr
Il suffit de poser : g = - f qui est alors une fonction croissante sur I Théorème 1 9 : somme combinaison linéaire et produit de fonctions admettant
Chapitre 1 : Fonctions – Généralités
VI Variations du produit de deux fonctions 1°) Règle u et v sont deux fonctions définies sur un intervalle I Si u et v sont deux fonctions croissantes sur un intervalle I et à valeurs positives ou nulles* sur cet intervalle alors la fonction f définie par f (x) = u (x) v (x) est croissante sur I
Monotonie - unicefr
La somme de deux fonctions croissantes sur I est croissante sur I Le produit de deux fonctions positives croissantes sur I est une fonction croissante sur I Le quotient d’une fonction positive croissante sur I par une fonction positive et d´ecroissante sur I est une fonction croissante sur I
Variations - unicefr
La somme de deux fonctions croissantes sur I est croissante sur I Le produit de deux fonctions positives croissantes sur I est une fonction croissante sur I Le quotient d’une fonction positive croissante sur I par une fonction positive et d ecroissante sur I est une fonction croissante sur I
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Le )produit de deux nombres positifs étant positif : ( ? R0 Ainsi ???? ( )? ???? ) R 0 sur? donc ???? est croissante ? Lorsque Q Le produit de deux nombres de signes différents étant négatif : ( ? ) Q0 Ainsi ???? ( )? ???? ) Q 0 sur?donc ???? est décroissante sur ?
Quelle est la différence entre une fonction croissante et une fonction décroissante ?
Soient deux fonctions, fdéfinie sur un intervalle et gdéfinie sur un intervalle , telles que . (i) Si fet gont même monotonie, l’une sur Iet l’autre sur J, alors la composée est croissantesur I. (ii) Si fet gsont de monotonie contraire, l’une sur Iet l’autre sur J, alors la composée est décroissantesur I.
Comment calculer la somme de deux fonctions croissantes sur 1 ?
La somme de deux fonctions croissantes sur I est croissantesur I. Le produit de deux fonctionspositivescroissantes sur I estune fonction croissante sur I. Le quotient d’une fonctionpositivecroissante sur I par unefonctionpositiveet d´ecroissantesur I est une fonctioncroissante sur I.
Comment calculer la fonction croissante?
Pour la seconde, on peut étudier la fonction ? définie par ? ( u) = e ? u ? 1 + u sur l'intervalle [ 0, 1]. Sa dérivée est ? ? ( u) = 1 ? e ? u et elle est positive sur [ 0, 1], donc ? est croissante sur cet intervalle. Comme ? ( 0) = 0, on en déduit le résultat.
Comment savoir si une fonction est croissante ?
On dit qu’une fonction est croissante sur une partie I de DD(f) ssi ?x,y ? I,x ? y ? f(x) ? f(y). On s’int´eresse surtout au cas ou` I est un intervalle. Exemple La fonction carr´e est croissante sur l’intervalle [2,e[. On a les notions voisines de d´ecroissance, croissance stricte, monotonie, etc, sur I.
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Chap III :Opérations sur les fonctions
I. Généralités
1) Courbe d"une fonction
Définition 1 :Soitfune fonction définie sur un ensembleD. On appellecourbe représentative def , dans un repère?O;-→i,-→j?
du plan, l"ensemble des pointsMde coordonnées?x;f(x)?, pourxdansD.2) Restriction d"une fonction
Définition 2 :Soitfune fonction définie sur un ensembleDfet soitIun intervalle deRinclu dansDf. La restriction defàIest la fonctiongdéfinie surIparf(x)=g(x).II. Comparaison de deux fonctions
1) Egalité de deux fonctions
Définition 3 :Soitfetgdeux fonctions définies respectivement surDfetDg. f=g??Df=Dg ?x?Df,f(x)=g(x)2) Notation :f?g
Définition 4 :Soitfetgdeux fonctions définies respectivement surDfetDg.SoitIun intervalle inclu dansDfetDg.
f?gsurI??x?I,f(x)?g(x) Remarque :On définit de manière analoguefReprésentation graphique :
SoitCfetCgles courbes respectives de deux fonctionsfetg. f?gsurI?Cfest en dessous deCgsurI Les solutions de l"équationf(x)=g(x)sont les abscisses des points d"intersections des courbesCfet C g. Définition 5 :On dit quefest positive surDfet on notef?0si pour toutxdeDf,f(x)?0.Page 1/4
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Interprétation graphique :
La courbe représentative de la restriction defàIest située au dessus de l"axe des abscisses.
Remarque :On définit de manière analoguef<0surI,f>0surIetf?0surI. Définition 6 :On dit qu"une fonctionfestbornée sur un intervalleIinclu dansDfs"il existe deux nombresmetMtels que?x?I,m?f(x)?M.Remarque :Si?x?I,f(x)?M, on dit quefest
majoréesurI.Si?x?I,m?f(x), on dit quefest
minoréesurI. Sifest à la fois majorée et minorée surI, elle est bornéesurI.III. Opérations sur les fonctions
1) Somme
Définition 7 :Soitfetgdeux fonctions définies respectivement surDfetDg. La fonctionf+gest la fonction définie surDf∩Dgpar ?x?Df∩Dg, (f+g)(x)=f(x)+g(x).2) Multiplication par un réel
Définition 8 :Soitfune fonction définie surDfetλ?R. La fonctionλfest la fonction définie surDfpar ?x?Df,(λf)(x)=λ·f(x).3) Produit
Définition 9 :Soitfetgdeux fonctions définies respectivement surDfetDg. La fonctionf×gest la fonction définie surDf∩Dgpar ?x?Df∩Dg, (f×g)(x)=f(x)×g(x).4) Quotient
Définition 10 :Soitfetgdeux fonctions définies respectivement surDfetDg.La fonction
f gest la fonction définie surDf∩Dg-?x?R,g(x)=0?par f g(x)=f(x)g(x).Remarque :On définit la fonction inverse1
fde manière analogue.Page 2/4
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5) Composition
Définition 11 :Soitfetgdeux fonctions définies respectivement surDfetDget telles que pour toutxdeDf:g(x)?Df. La fonctionf◦gest la fonction définie surDfpar(f◦g)(x)=f(g(x)).Elle se litf??rond??g.
Remarque :Il faut faire bien attention aux ensembles de définition def,getf◦g.En général,f◦g?=g◦f.
IV. Sens de variation d"une fonction
1) Définition
Définition 12 :Soitfune fonction définie surDfetI?Df.Si, pour tout réelsx1etx2deItels quex1 f(x1)?f(x2), alorsfest
croissantesurI. f(x1)?f(x2), alorsfest
décroissantesurI. Définition 13 :Une fonction définie surIestmonotonesurIsi elle est croissante surIou si elle est décroissante surI. Minimum - Maximum :
f(a)est lemaximumdefsurIlorsque pour toutxdeI,f(x)?f(a) Mest un
majorantdefsurIlorsque pour toutxdeI,f(x)?M. f(b)est le
minimumdefsurIlorsque pour toutxdeI,f(x)?f(b) mest un
minorantdefsurIlorsque pour toutxdeI,f(x)?m. 2) Monotonie et Opérations
Théorème 1 :Soitfmonotone surIet soitλ?R. Alors la fonctionλfest monotone surI. Plus précisément :
Siλ>0,fetλfsont de même monotonie.
Siλ<0,fetλfsont de monotonie différente. -→démonstration Théorème 2 :Soientfetgdeux fonctions qui sont de même monotonie surI. Alors la fonction f+gest monotone surI. Plus précisément :
Sifetgsont croissantes,f+gest croissante.
Sifetgsont décroissantes,f+gest décroissante. -→démonstration Page 3/4
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Théorème 3 :Soientgetfdeux fonctions qui gardent la même monotonie sur respectivementI etJ(avec pour toutxdeI g(x)?J). Alors la fonctionf◦gest monotone surI. Plus précisément :
Sifetgsont de même monotonie,f◦gest croissante. Sifetgsont de monotonie différentes,f◦gest décroissante. -→démonstration Remarque :Ceci ne marche que pour la compositionf◦get nonpour leproduitf.g. Page 4/4
quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41
f(x1)?f(x2), alorsfest
croissantesurI.f(x1)?f(x2), alorsfest
décroissantesurI. Définition 13 :Une fonction définie surIestmonotonesurIsi elle est croissante surIou si elle est décroissante surI.Minimum - Maximum :
f(a)est lemaximumdefsurIlorsque pour toutxdeI,f(x)?f(a)Mest un
majorantdefsurIlorsque pour toutxdeI,f(x)?M.f(b)est le
minimumdefsurIlorsque pour toutxdeI,f(x)?f(b)mest un
minorantdefsurIlorsque pour toutxdeI,f(x)?m.2) Monotonie et Opérations
Théorème 1 :Soitfmonotone surIet soitλ?R. Alors la fonctionλfest monotone surI.Plus précisément :
Siλ>0,fetλfsont de même monotonie.
Siλ<0,fetλfsont de monotonie différente. -→démonstration Théorème 2 :Soientfetgdeux fonctions qui sont de même monotonie surI. Alors la fonction f+gest monotone surI.Plus précisément :
Sifetgsont croissantes,f+gest croissante.
Sifetgsont décroissantes,f+gest décroissante. -→démonstrationPage 3/4
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Théorème 3 :Soientgetfdeux fonctions qui gardent la même monotonie sur respectivementI etJ(avec pour toutxdeI g(x)?J). Alors la fonctionf◦gest monotone surI.Plus précisément :
Sifetgsont de même monotonie,f◦gest croissante. Sifetgsont de monotonie différentes,f◦gest décroissante. -→démonstration Remarque :Ceci ne marche que pour la compositionf◦get nonpour leproduitf.g.Page 4/4
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