[PDF] Monotonie
Le produit de deux fonctions positives croissantes sur I est une fonction croissante sur I Le quotient d'une fonction positive croissante sur I par une
[PDF] Opérations sur les fonctions
Si f et g sont de même monotonie f ?g est croissante • Si f et g sont de monotonie différentes f ?g est décroissante ?? démonstration Remarque
[PDF] Variation et opérations
2) Produit de deux fonctions : Soient deux fonctions f et g définies sur un même intervalle I leur produit f g est la fonction définie par f g(x) = f(x) ×
[PDF] GENERALITES SUR LES FONCTIONS
Concernant le produit de deux fonctions le signe de chaque fonction va aussi jouer un rôle dans le sens de variation de la fonction produit Hélène Trouilhet
[PDF] Chapitre5 : Définitions relatives aux fonctions à valeurs réelles
Si f et g sont monotones de même sens alors g ? f est croissante Si f et g sont monotones de sens contraires alors g ? f est décroissante Démonstration : ‚
[PDF] Chapitre8 : Fonctions continues - Melusine
Le produit de deux fonctions continues est continu L'inverse lorsqu'il est défini d'une fonction continue est continu Démonstration (pour le quatrième)
[PDF] 1 S Règles sur le sens de variation des fonctions
sens de variation (fonction croissante décroissante) 2°) Démonstration (ROC) II Variations du produit d'une fonction par un réel 1°) Règle
[PDF] 229 Fonctions monotones et fonctions convexes Exemples et
17 déc 2009 · convexe Le produit de deux fonctions croissantes positives est une fonction croissante positive L'inverse d'une fonction croissante positive
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2) Opérations sur les fonctions monotones 3) Limite d'une fonction monotone IV : Continuité 1) Définition 2) Image d'un intervalle
[PDF] 01 - 2 Révisions danalyse Démonstrations - cpgedupuydelomefr
Il suffit de poser : g = - f qui est alors une fonction croissante sur I Théorème 1 9 : somme combinaison linéaire et produit de fonctions admettant
Chapitre 1 : Fonctions – Généralités
VI Variations du produit de deux fonctions 1°) Règle u et v sont deux fonctions définies sur un intervalle I Si u et v sont deux fonctions croissantes sur un intervalle I et à valeurs positives ou nulles* sur cet intervalle alors la fonction f définie par f (x) = u (x) v (x) est croissante sur I
Monotonie - unicefr
La somme de deux fonctions croissantes sur I est croissante sur I Le produit de deux fonctions positives croissantes sur I est une fonction croissante sur I Le quotient d’une fonction positive croissante sur I par une fonction positive et d´ecroissante sur I est une fonction croissante sur I
Variations - unicefr
La somme de deux fonctions croissantes sur I est croissante sur I Le produit de deux fonctions positives croissantes sur I est une fonction croissante sur I Le quotient d’une fonction positive croissante sur I par une fonction positive et d ecroissante sur I est une fonction croissante sur I
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Le )produit de deux nombres positifs étant positif : ( ? R0 Ainsi ???? ( )? ???? ) R 0 sur? donc ???? est croissante ? Lorsque Q Le produit de deux nombres de signes différents étant négatif : ( ? ) Q0 Ainsi ???? ( )? ???? ) Q 0 sur?donc ???? est décroissante sur ?
Quelle est la différence entre une fonction croissante et une fonction décroissante ?
Soient deux fonctions, fdéfinie sur un intervalle et gdéfinie sur un intervalle , telles que . (i) Si fet gont même monotonie, l’une sur Iet l’autre sur J, alors la composée est croissantesur I. (ii) Si fet gsont de monotonie contraire, l’une sur Iet l’autre sur J, alors la composée est décroissantesur I.
Comment calculer la somme de deux fonctions croissantes sur 1 ?
La somme de deux fonctions croissantes sur I est croissantesur I. Le produit de deux fonctionspositivescroissantes sur I estune fonction croissante sur I. Le quotient d’une fonctionpositivecroissante sur I par unefonctionpositiveet d´ecroissantesur I est une fonctioncroissante sur I.
Comment calculer la fonction croissante?
Pour la seconde, on peut étudier la fonction ? définie par ? ( u) = e ? u ? 1 + u sur l'intervalle [ 0, 1]. Sa dérivée est ? ? ( u) = 1 ? e ? u et elle est positive sur [ 0, 1], donc ? est croissante sur cet intervalle. Comme ? ( 0) = 0, on en déduit le résultat.
Comment savoir si une fonction est croissante ?
On dit qu’une fonction est croissante sur une partie I de DD(f) ssi ?x,y ? I,x ? y ? f(x) ? f(y). On s’int´eresse surtout au cas ou` I est un intervalle. Exemple La fonction carr´e est croissante sur l’intervalle [2,e[. On a les notions voisines de d´ecroissance, croissance stricte, monotonie, etc, sur I.
Définir une fonction c'est définir un procédé qui permet à tout nombre d'un intervalle donné
d'associer un autre nombre.Remarque:L'ensemble de définition de f est l'ensemble des réels qui ont une image par cette fonction. Il est
généralement noté Df. B)Représentation graphiqueLe plan est muni d'un repère (O,i,j). Soit f une fonction définie sur l'intervalle I. On appelle courbe représentative de f sur I, l'ensemble des points M(x,y) du plan tels que : x I et ∈y = f(x)Hélène Trouilhet1/6Une fonction définie sur un intervalle associe à chaque nombre de cet intervalle un
nombre réel et un seul . En mathématiques, on caractérise une fonction par la notation suivante:f:Iℝ xfx Ce qui signifie que la fonction f, définie sur un intervalle I, associe à tout réel x de l'intervalle I, un unique réel noté f(x). Si deux nombres réels y0 et x0 sont tels que y0 = f(x0), on dit que: y0 est l'image de x0 par la fonction fOu que x0 est un antécédent de y0 par la fonction fRemarque:On note, le plus souvent, Cf la courbe représentative de f.On dit que la courbe Cf a pour équation cartésienne y = f (x ) relativement au repère (O; i, j) .
Exemple et contre-exemple de courbe représentative d'une fonction:C)Sens de variation d'une fonctionSoit f une fonction définie sur un intervalle I . On dit que :f est croissante ( resp. strictement croissante ) sur I , lorsque pour tous réels x et x' de I ,
f est décroissante ( resp. strictement décroissante ) sur I , lorsque pour tous réels x et x'
de I , tels que x < x' , on a f ( x )≥ f ( x' ) ( resp. f ( x ) > f ( x' ) ) . f est monotone ( resp. strictement monotone ) sur I , lorsque f est soit croissante ( resp.strictement ) sur I , soit décroissante ( resp. strictement ) sur I .Remarque n°1:En langage profane, on a pour habitude de dire qu'une fonction croissante conserve l'ordre, et une
fonction décroissante l'inverse.Remarque n°2:Etudier les variations d'une fonction, c'est préciser les intervalles sur lesquels la fonction est
monotone.On résume ces résultats dans un tableau appelé tableau de variations . x-∞-12+∞f(x)3 -2Hélène Trouilhet2/6
II.LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCEFonctionEnsemble de définition, sens de variationReprésentation graphiqueAffine:f:xaxbDf = ........
Si a > 0, f est croissante sur ℝSi a < 0, f est ................ sur ℝCarré:
f:xx2Df = ........ f est croissante sur ........ et décroissante sur.........Remarque 1: ............Remarque 2: ............
Cube: f:xx3Df = ........ f est ............ sur ........Remarque: ............
Hélène Trouilhet3/6y = ........y = ........
Inverse:
f:x1 xDf = ........ f est ...................Remarque: ............
Racine carré:f:xxDf = ........
f est .........Valeur abolue:
f:x ∣x∣Df = ........ f est croissante sur ........ et décroissante sur.........Remarque:................Cosinus:f:xcosxDf = ........
f est périodique de période ............Sur l'intervalle [0;2], f est croissante sur ........ et décroissante sur.........Remarque 1:................Remarque 2:....................
Sinus:
f:xsinxDf = ........ f est périodique de période ............Sur l'intervalle [0;2], f est croissante sur ........ et décroissante sur.........Remarque 1:................Remarque 2:....................
Hélène Trouilhet4/6
III.OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONSA)Somme, produit et quotient de fonctions1.Définition:Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur Df et Dg , et k un réel non nul.OpérationNotationDéfinitionDéfinie pourSomme de deux
fonctionsfgfgx=fxgxx∈Df∩DgProduit d'une fonction
par un réelkfkfx=k×fxx∈DfProduit de deux
fonctions 1 f 1 f=1 fxx∈Df et fx≠0Quotient
f g f gx=fx gxx∈Df∩Dq et gx≠0Exemple: On considère les fonctions f: x → x + 1 définie sur et g: x →
1x définie sur .......§ f + g est la fonction définie sur.........par ( f + g ) ( x ) = ..............§ f g est la fonction définie sur ............ par (
f×g ) ( x ) = .............§ 5f est la fonction définie sur ......... par ( 5 f ) ( x ) = .................2.Sens de variationSoient f et g deux fonctions monotones sur un intervalle I et k un réel non nul§ Les fonctions f et f + k ont le même sens de variation sur I . § Si k > 0 , les fonctions f et k f ont le même sens de variation sur I .§ Si k < 0 , les fonctions f et k f ont des sens de variation contraire sur I . § Si f et g sont strictement croissantes sur I , alors f + g est strictement croissante sur I .§ Si f et g sont strictement décroissantes sur I , alors f + g est strictement décroissante sur IRemarque:Pour connaître le sens de variation de f - g, partir du sens de variation de f et de -g puis appliquer la
règle sur la somme car f+g = f + ( - g ) ...Attention!Il est difficile d'établir des propriétés analogues pour les produits et quotients de fonctions!Concernant le produit de deux fonctions, le signe de chaque fonction va aussi jouer un rôle dans le
sens de variation de la fonction produit.Hélène Trouilhet5/6Concernant les quotients de fonctions, nous aurons recours à la règle sur les composées de fonctions
(voir ci-dessous).B)Composition de fonctions1.DéfinitionSoit f et g deux fonctions . On appelle fonction
composée de f par g , et on note g o f ( lire "g rondf») , la fonction définie par : g°fx=gfxL'écriture ( g°f ) ( x ) = g ( f ( x ) )
n'a de sens que si x∈Df et fx∈Dg. Ainsi dire que x∈Dg°f revient à dire que x∈Df et fx∈Dg.Ex : On considère les fonctions
f:xx-1 définie surℝ et g:x1 x définie sur ℝg°f est définie si, et seulement si, x∈Df et fx∈Dg ssi x-1≠0 ainsi Dg°f=ℝ\{1}et ,
pour tout x∈Dg°f:g°fx=gx-1=1 x-1 f°g est définie si, et seulement si, x∈Dg et gx∈Df ssi x≠0 ainsi Df°g=ℝ*et , pour tout x=1 x-1Remarque: En général
f°g≠g°f.2.Sens de variationsPropriété:
Soient f et g deux fonctions, telles que f soit monotone sur I⊂Dfet g soit monotone sur J⊂Dg , avec pour tout x∈I, fx∈J . § Si f et g ont même sens de variation, alors la fonction composée g°f est croissante sur I .§ Si f et g varient en sens contraire, alors la fonction composée g°f est décroissante sur I .Le théorème est aussi valable si on considère des fonctions strictement monotone ...Hélène Trouilhet6/6quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] procuration saaq
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