[PDF] LES SUITES c) la suite (un) est





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Monotonie

Fonctions monotones. On dit qu'une fonction f est monotone ssi elle est soit croissante soit décroissante. Contre-exemple. La fonction carré x ?? x2 n'est 



VARIATIONS DUNE FONCTION

Partie 1 : Fonctions croissantes et fonctions décroissantes On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre et qu'une fonction décroissante.



Variation et opérations

Une fonction f est croissante sur un intervalle I signifie 1) Somme de deux fonctions : Soient deux fonctions f et g définies sur un même intervalle I ...



Variations

Fonctions monotones. On dit qu'une fonction f est monotone ssi elle est soit croissante soit décroissante. Contre-exemple. La fonction carré x ?? x2 n'est 



LES SUITES

c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; La suite (un) et la fonction f ont le même sens de variation.



Exercices de colle

16-Feb-2016 5.7 Suite à variation décroissante. 6 Fonctions continues . ... 6.3 Continuité de fonction croissante ... 9.3 Somme de parties entières.



Limites et continuité

Par exemple la fonction valeur absolue x ??



Le modèle IS-LM

de monnaie est une fonction croissante de l'inflation ou non. Remarquons que cette somme est une fonction décroissante du taux d'intérêt i.



Le modèle IS-LM

de monnaie est une fonction croissante de l'inflation ou non. Remarquons que cette somme est une fonction décroissante du taux d'intérêt i.



ESSAI DUNE THÉORIE DU MOUVEMENT CYCLIQUE DES

égale à la somme de la production des biens-capitaux et de l'accroissement des stocks des où f est fonction croissante de et fonction décroissante.



1) Fonction croissante Fonction décroissante

Pour fabriquer une fonction croissante non strictement il faut se creuser la cervelle Exemple La fonction x 7?six > 0alorsx sinon0 est croissante non strictement Exo 2 Donner un exemple de fonction d´ecroissante non strictement



1 sur 11 VARIATIONS D’UNE FONCTION - maths et tiques

- une fonction ! est croissante - une fonction ! est décroissante si 5



1) Fonction croissante Fonction décroissante - Parfenoff org

1) Fonction croissante Fonction décroissante Une fonction ???? est croissante : Lorsque les abscisses ???? augmentent les ordonnées ????(????) augmentent aussi C'est-à-dire qu’elle est croissante si sa courbe représentative monte lorsqu’on la parcourt dans le sens de l’axe des abscisses Une fonction ???? est décroissante :



41 croissance décroissance et extremums d’une fonction

des x et que le graphique d’une fonction monte on dit que la fonction est croissante; lorsque le graphique descend la fonction est dite décroissante Le terme extremums relatifs se rapporte aux maximums et minimums d’une fonction sur une région particulière de son domaine tandis que le terme extremum absolu est relié au maximum et

Quelle est la différence entre une fonction croissante et une fonction décroissante ?

1) Fonction croissante. Fonction décroissante. ? Une fonction b? est croissante : Lorsque les abscisses b? augmentent, les ordonnées b?:b?; augmentent aussi C'est-à-dire qu’elle est croissante si sa courbe représentative monte lorsqu’on la parcourt dans le sens de l’axe des abscisses.

Comment calculer la somme de deux fonctions croissantes sur 1 ?

La somme de deux fonctions croissantes sur I est croissantesur I. Le produit de deux fonctionspositivescroissantes sur I estune fonction croissante sur I. Le quotient d’une fonctionpositivecroissante sur I par unefonctionpositiveet d´ecroissantesur I est une fonctioncroissante sur I.

Comment savoir si une fonction est décroissante ?

? Une fonction est décroissante : Lorsque les abscisses b? augmentent, les ordonnées :b?; diminuent C'est-à-dire qu’elle est décroissante si sa courbe représentative descend lorsqu’on la parcourt dans le sens de l’axe des abscisses. Exemple 1 Exemple 2 La fonction b? est croissante sur [0 ; 3] : La fonction b? est décroissante sur [-1 ; 1]:

Qu'est-ce que la somme de deux fonctions croissantes sur un intervalle?

La somme de deux fonctions croissantes sur un intervalle est une fonction croissante sur cet intervalle. La somme de deux fonctions strictement croissantes sur un intervalle est une fonction strictement croissante sur cet intervalle. La somme de deux fonctions décroissantes sur un intervalle est une fonction décroissante sur cet intervalle.

C

HAPITRE

1

LES SUITES

1.1Généralités sur les suitesDé“nition 1.1.1

Une suite(u

n )est une fonction définie de?dans?.Onnote(u n n?-→u n ?u n est appelé le terme général de la suite(u n ?Attention donc à bien faire la différence entre(u n )(la suite) etu n (un seul terme). ?On pourra noter indifféremment(u n )ou tout simplementu. ?Variations, monotonie d"une suiteDé“nition 1.1.2

Soit(u

n )une suite. On dit que : a)la suite(u n )estcroissantesi pour toutn??:u n ?u n+1 b)la suite(u n )estdécroissantesi pour toutn??:u n ?u n+1 c)la suite(u n )estmonotonesi elle est croissante ou décroissante; d)la suite(u n )estconstantesi pour toutn??:u n+1 =u n ?Il existe des suites qui ne sont ni croissantes, ni décroissantes :u n =(-1) n

?Les premiers termes de la suite n"entrent pas forcément en compte dans la variation d"une suite. Ils

peuvent cependant donner une indication sur la monotonie de la suite.

CHAPITRE11

1 ?Méthodes de détermination du sens de variation d"une suite

MÉTHODE1. ... SENS DE VARIATION DUNE SUITE

Pour déterminer le sens de variation d"une suite(u n ), on peut utiliser l"une des règles suivantes : a)On étudie le signe de la différenceu n+1 -u n ?Siu n+1 -u n est positive, alors la suite(u n )est croissante. ?Siu n+1 -u n est négative, alors la suite(u n )est décroissante. b)Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, alors il suffit de comparer le rapportu n+1 u n

à1.

?Siu n+1 u n ?1, alors la suite(u n )est croissante. ?Siu n+1 u n ?1, alors la suite(u n )est décroissante. c)Si la suite(u n )est définie explicitement :u n =f(n), alors il suffit d"étudier les variations de la fonction fsur l"intervalle0;+∞.Lasuite(u n )et la fonctionfont le même sens de variation. d)On utilise un raisonnement par récurrence (voirsection 2).

Il est bien évident que chacune de ces méthodes est adaptée au type de suite à laquelle nous serons

confrontés.

Exemple

Déterminer le sens de variation des suites suivantes en utilisant la règle la mieux adaptée.

a)Pour toutn??,u n =n 2 -n. b)Pour toutn?? ,u n =2 n n. c)Pour toutn?2,u n =2n-1 n+1. a)Pour toutn??, u n+1 -u n =(n+1) 2 -(n+1)-(n 2 -n)=2n?0.

Par conséquent, la suite(u

n )est croissante. b)Ici on étudie le rapportu n+1 u n . Pour toutn?1 u n+1 u n =2 n+1 n+1 2 n n= 2 n+1 n+1×n2 n =2n n+1=n+nn+1?1.

Ainsi, la suite(u

n )est croissante. c)On au n =f(n)oùf(x)=2x-1 x+1.Lafonctionfest dérivable sur0;+∞et pour toutx?0,

2LES SUITES

2

Chapitre 1

f (x)=3 (x+1) 2 >0. La fonctionfest donc strictement croissante sur0;+∞. On déduit que la suite(u n )est aussi strictement croissante. ?Suite arithmétique

Dé“nition 1.1.3

Une suite(u

n n?? est arithmétique s"il existe un réelrindépendant dentel que, pour toutn??, u n+1 =u n +r

Le nombrerest appelé la raison de la suite(u

n

Exemple 1

La suite(u

n )définie par :u 0 =2etu n+1 =u n +3(n??) est arithmétique. Ici la raison estr=3. MÉTHODE2. - DÉMONTRER QU"UNE SUITE EST ARITHMÉTIQUE

Une suite(u

n

)est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette constante

est alors la raison de la suite.

Ainsi, si pour toutn??,u

n+1 -u n =r, alors la suite(u n )est arithmétique de raisonr.

Exemple

Soit(u

n )la suite définie pour toutn??par :u n =4n-1. Montrer que(u n )est arithmétique.

Pour toutn??:

u n+1 -u n =4(n+1)-1-4n+1=4.

Par conséquent, la suite(u

n )est bien arithmétique de raisonr=4.

Propriété 1.1.4

A)Expression du terme général en fonction den: ?si le premier terme estu 0 ,alors:u n =u 0 +nr; ?si le premier terme estu p (pB)Somme des premiers termes:siSdésigne la somme de termes consécutifs d"une suite arithmétique,

alors :

S=(Nombre de termes)×

1 er terme+dernier terme 2

CHAPITRE13

3

Les suites

?Suite géométrique

Dé“nition 1.1.5

Une suite(u

n n?? est géométrique s"il existe un réelqindépendant dentel que, pour toutn??, u n+1 =q.u n

Exemple 2

a)La suite(u n )définie par :u 0 =2etu n+1 =3u n pour toutn??.

Ici la raison estq=3.

b)La suite(v n )définie par :v 0 =-3etv n+1 =v n

4pour toutn??.

La suite(v

n )est-elle géométrique? MÉTHODE3. - DÉMONTRER QU"UNE SUITE EST GÉOMÉTRIQUE

Pour justifier qu"une suite(u

n )est géométrique, il suffit d"utiliser la définition suivante.

Une suite(u

n )est géométrique si l"on peut écrireu n+1 sous la forme :u n+1 =qu n . Le nombre réelqest alors la raison de la suite géométrique(u n

Exemple

Soit(u

n )la suite définie pour toutn??par :u n =3 2 n .Montrerque(u n )est géométrique. On précisera le premier terme et la raison.

Pour toutn??,

u n+1 =3 2 n+1 =1

2×32

n =1 2u n

Par conséquent, la suite(u

n )est bien géométrique de raisonq=1 2. Une autre méthode (reposant aussi sur la définition) consiste à prouver que le rapportu n+1 u n est constant, mais il faut s"assurer que les termesu n ne s"annulent pas.

4LES SUITES

4

Chapitre 1

Propriété 1.1.6

Si(u n )est une suite géométrique de raisonq: A)Expression du terme général en fonction den: ?si le premier terme estu 0 ,alors:u n =u 0 q n ?si le premier terme estu p (pB)Somme des premiers termes: si

Sdésigne la somme de termes consécutifs d"une suite géométrique de raisonq(q?=1), alors :

S=(1 er terme)×1-q nombre de termes 1-q

1.2Le raisonnement par récurrence

?Introduction et intérêt du raisonnement par récurrence

Exemple

Soit la suite(u

n )définie par : (u n ):"u 0 =0 u n+1 =2u n +1

En calculant les premiers termes de la suite, on peut donc émettre une conjecture quant à la forme

du terme généralu n

On a :u

1 =1;u 2 =3;u 3 =7. Il semble que pour toutn??:u n =2 n -1. Pour confirmer une telle conjecture, il nous faut la démontrer.

Pour toutn??, notons

P n la propriété : P n :u n =2 n -1. a)On démontre que P 0 est vraie; on a d"une part u 0 =0 (définition) et d"autre part 2 0 -1=0, doncu 0 =2 0 -1. La propriété estinitialisée. b)Supposons que pour un certain entiern, P n soit vraie, c"est-à-dire qu"on aitu n =2 n -1. Alors on a u n+1 =2u n +1=2(2 n -1)+1=2 n+1 -1.

Ce qui veut dire tout simplement que

P n+1 est vraie. Ainsi, on vient de prouver que pour un entiern quelconque P n entraîneP n+1 .Lapropriétéesthéréditaire.

Conclusion

:lapropriétéestinitialiséeethéréditaire, elle est donc vraie pour tout entiern.

CHAPITRE15

5

Les suites

?Le principe de récurrence

Ce principe de démonstration par récurrence s"applique lorsqu"on cherche à démontrer qu"une propriétéP

n dépendant d"un entier naturelnest vraie pour tout entiern?n 0 ,n 0

étant un entier naturel donné.

Principe du raisonnement par récurrence 1.2.1

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