Limites et continuité PDF Par exemple la fonction valeur

Monotonie

Fonctions monotones. On dit qu'une fonction f est monotone ssi elle est soit croissante soit décroissante. Contre-exemple. La fonction carré x ?? x2 n'est

VARIATIONS DUNE FONCTION

Partie 1 : Fonctions croissantes et fonctions décroissantes On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre et qu'une fonction décroissante.

Variation et opérations

Une fonction f est croissante sur un intervalle I signifie 1) Somme de deux fonctions : Soient deux fonctions f et g définies sur un même intervalle I ...

Variations

Fonctions monotones. On dit qu'une fonction f est monotone ssi elle est soit croissante soit décroissante. Contre-exemple. La fonction carré x ?? x2 n'est

LES SUITES

c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; La suite (un) et la fonction f ont le même sens de variation.

Exercices de colle

16-Feb-2016 5.7 Suite à variation décroissante. 6 Fonctions continues . ... 6.3 Continuité de fonction croissante ... 9.3 Somme de parties entières.

Limites et continuité

Par exemple la fonction valeur absolue x ??

Le modèle IS-LM

de monnaie est une fonction croissante de l'inflation ou non. Remarquons que cette somme est une fonction décroissante du taux d'intérêt i.

Le modèle IS-LM

de monnaie est une fonction croissante de l'inflation ou non. Remarquons que cette somme est une fonction décroissante du taux d'intérêt i.

ESSAI DUNE THÉORIE DU MOUVEMENT CYCLIQUE DES

égale à la somme de la production des biens-capitaux et de l'accroissement des stocks des où f est fonction croissante de et fonction décroissante.

1) Fonction croissante Fonction décroissante

Pour fabriquer une fonction croissante non strictement il faut se creuser la cervelle Exemple La fonction x 7?six > 0alorsx sinon0 est croissante non strictement Exo 2 Donner un exemple de fonction d´ecroissante non strictement

1 sur 11 VARIATIONS D’UNE FONCTION - maths et tiques

- une fonction ! est croissante - une fonction ! est décroissante si 5

1) Fonction croissante Fonction décroissante - Parfenoff org

1) Fonction croissante Fonction décroissante Une fonction ???? est croissante : Lorsque les abscisses ???? augmentent les ordonnées ????(????) augmentent aussi C'est-à-dire qu’elle est croissante si sa courbe représentative monte lorsqu’on la parcourt dans le sens de l’axe des abscisses Une fonction ???? est décroissante :

41 croissance décroissance et extremums d’une fonction

des x et que le graphique d’une fonction monte on dit que la fonction est croissante; lorsque le graphique descend la fonction est dite décroissante Le terme extremums relatifs se rapporte aux maximums et minimums d’une fonction sur une région particulière de son domaine tandis que le terme extremum absolu est relié au maximum et

Quelle est la différence entre une fonction croissante et une fonction décroissante ?

1) Fonction croissante. Fonction décroissante. ? Une fonction b? est croissante : Lorsque les abscisses b? augmentent, les ordonnées b?:b?; augmentent aussi C'est-à-dire qu’elle est croissante si sa courbe représentative monte lorsqu’on la parcourt dans le sens de l’axe des abscisses.

Comment calculer la somme de deux fonctions croissantes sur 1 ?

La somme de deux fonctions croissantes sur I est croissantesur I. Le produit de deux fonctionspositivescroissantes sur I estune fonction croissante sur I. Le quotient d’une fonctionpositivecroissante sur I par unefonctionpositiveet d´ecroissantesur I est une fonctioncroissante sur I.

Comment savoir si une fonction est décroissante ?

? Une fonction est décroissante : Lorsque les abscisses b? augmentent, les ordonnées :b?; diminuent C'est-à-dire qu’elle est décroissante si sa courbe représentative descend lorsqu’on la parcourt dans le sens de l’axe des abscisses. Exemple 1 Exemple 2 La fonction b? est croissante sur [0 ; 3] : La fonction b? est décroissante sur [-1 ; 1]:

Qu'est-ce que la somme de deux fonctions croissantes sur un intervalle?

La somme de deux fonctions croissantes sur un intervalle est une fonction croissante sur cet intervalle. La somme de deux fonctions strictement croissantes sur un intervalle est une fonction strictement croissante sur cet intervalle. La somme de deux fonctions décroissantes sur un intervalle est une fonction décroissante sur cet intervalle.

Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne

Limites et continuité

Bernard Ycart

Vous avez déjà une compréhension intuitive de ce qu"est la limite d"une fonction. Ce chapitre n"en est pas moins le plus important de votre cours d"analyse. C"est l"occasion ou jamais de comprendre les epsilons! Votre travail devrait être facilité si vous avez déjà assimilé le chapitre sur les suites, mais ce n"est pas indispensable.

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Limites unilatérales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Convergence des fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7 Limites à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9 Continuité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Entraînement 22

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Compléments 42

3.1 Cauchy et les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3 Arguments de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4 Discontinuités des fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5 Pourquoi définir la continuité? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8 novembre 2011

Maths en LigneLimites et continuitéUJF Grenoble1 Cours

1.1 Vocabulaire

UnefonctionfdeRdansRest définie par songraphe: c"est un sous-ensembleΓ deR×R, tel que pour toutx?R, au plus un réelyvérifie(x,y)?Γ. S"il existe, ce réelyest l"imagedexet est notéf(x). L"ensemble desxqui ont une image parf est ledomaine de définitiondef. Nous le noteronsDf. La notation standard est la suivante :f D f-→R x?-→f(x) SiAest un sous-ensemble deDf, l"imagedeA, notéef(A), est l"ensemble des images des éléments deA. f(A) ={f(x), x?A} SiBest un sous-ensemble deR, l"image réciproquedeB, notéef-1(B), est l"ensemble desantécédentsdes éléments deB. f -1(B) ={x? Df, f(x)?B} Attention à la notationf-1:f-1(B)est défini même sifn"est pas bijective. Par exemple, sifest l"application valeur absolue,x?→ |x|, f(]-2,1[) = [0,2[etf-1([1,2]) = [-2,-1]?[1,2] Définition 1.Soitfune fonction, de domaine de définitionDf, à valeurs dansR.

On dit quefest :

•constantesi?x,y? Df, f(x) =f(y) •croissantesi?x,y? Df,(x6y) =?(f(x)6f(y)) •décroissantesi?x,y? Df,(x6y) =?(f(x)>f(y)) •strictement croissantesi?x,y? Df,(x < y) =?(f(x)< f(y)) •strictement décroissantesi?x,y? Df,(x < y) =?(f(x)> f(y)) •monotonesi elle est croissante ou décroissante •majoréesif(Df)est majoré •minoréesif(Df)est minoré •bornéesif(Df)est borné Le plus souvent, ces définitions s"appliqueront à desrestrictionsdefà un intervalle

Iinclus dansDf.

f |I

I-→R

x?-→f(x) 1

Maths en LigneLimites et continuitéUJF GrenobleDéfinition 2.Soitfune fonction deRdansRetx? Df. SoitPune des propriétés

de la définition 1. On dit quefpossède la propriétéP •au voisinage dexs"il existe un intervalle ouvertIcontenantx, tel que la restric- tion defàIpossède la propriétéP. •au voisinage de+∞s"il existe un réelAtel que la restriction defà]A,+∞[ possède la propriétéP. •au voisinage de-∞s"il existe un réelAtel que la restriction defà]- ∞,A[ possède la propriétéP. Par exemple, la fonction valeur absoluex?→ |x|, est : •décroissante au voisinage de-∞ •décroissante au voisinage de-1 •croissante au voisinage de1 •croissante au voisinage de+∞ •bornée au voisinage de0 Les opérations sur les réels s"étendent aux fonctions de manière naturelle. •addition :f+g D f∩ Dg-→R x?-→(f+g)(x) =f(x) +g(x) •multiplication : fg D f∩ Dg-→R x?-→(fg)(x) =f(x)g(x) •multiplication par un réel : λf D f-→R x?-→(λf)(x) =λ(f(x)) •comparaison : f6g?? ?x? Df∩ Dg, f(x)6g(x) L"addition a les mêmes propriétés que celle des réels : l"ensemble des fonctions deR dansRmuni de l"addition est un groupe commutatif. Muni de l"addition et de la multiplication par un réel, c"est un espace vectoriel. Cependant, le produit de deux fonctions peut être nul sans que les deux fonctions le soient.

1.2 Convergence

Nous commençons par la convergence en un point, vers une limite finie. Afin d"éviter les cas pathologiques, nous supposerons toujours que les fonctions étudiées sont définies au voisinagedu point considéré (cf. définition 2). 2

Maths en LigneLimites et continuitéUJF GrenobleDéfinition 3.Soitaun réel etfune fonction définie au voisinage dea, sauf peut-être

ena, et à valeurs dansR. Soitlun réel. On dit queftend verslquandxtend vers a, ou quefa pour limitelenasi ?ε >0,?η >0,(0<|x-a|6η) =?(|f(x)-l|6ε)(1)

On notera :

lim x→af(x) =lou bienf(x)--→x→al . Tout intervalle centré enlcontient toutes les valeursf(x), pourxsuffisamment proche dea. Observez quefpeut très bien ne pas être définie ena, et admettre quand même une limite ena. Voici un premier exemple (figure 1). f R ?-→R x?-→f(x) =xsin(1/x)

Pour toutx?R?,-16sin(1/x)61. Donc si|x|6εetx?= 0, alors|xsin(1/x)|6ε:-0.30 -0.24 -0.18 -0.12 -0.06 0.00 0.06 0.12 0.18 0.24 0.30

f(x) x f(x)=x sin(1/x)

Figure1 - Graphe de la fonctionx?→xsin(1/x).

f(x)tend vers0quandxtend vers0. La convergence peut se caractériser en termes de suites. Théorème 1.Soitaun réel etfune fonction définie au voisinage dea, sauf peut-être ena, et à valeurs dansR. Soitlun réel. La fonctionftend verslquandxtend vers a, si et seulement si, pour toute suite(xn), à valeurs dansDf\{a}et convergeant vers a, la suite(f(xn))converge versl. Démonstration: Montrons d"abord la condition nécessaire : siftend verslau sens de la définition 3, alors pour toute suite(xn)convergeant versa, la suite(f(xn))tend versl. 3

Maths en LigneLimites et continuitéUJF GrenobleSoitε >0, etηtel que si0<|x-a|6η, alors|f(x)-l|< ε. Soit(xn)une suite

deDf\{a}convergeant versa. Il existen0tel que pour toutn>n0,0<|xn-a|6η. Mais0<|xn-a|6ηentraîne|f(xn)-l|6ε, par hypothèse. Donc la suite(f(xn)) converge versl. Voici maintenant la condition suffisante, dont nous allons démontrer la contraposée : sifne tend pas versl, alors il existe une suite(xn)convergeant versatelle que la suite (f(xn))ne tend pas versl. Ecrivons donc quefne tend pas versl. ?ε >0,?η >0,?x? Df,(0<|x-a|6η)?(|f(x)-l|> ε)

Posonsη= 1/n:

?x? Df,(0<|x-a|61/n)?(|f(x)-l|> ε) Notonsxnun des réels dont l"existence est affirmée ci-dessus. La suite(xn)converge versacar|xn-a|<1/n, pourtant la suite(f(xn))ne tend pas versl, car|f(xn)-l|>ε. Voici deux conséquences faciles de la définition. Proposition 1.Soitfune fonction deRdansRetaun réel.

1. Sif(x)converge quandxtend versa, alors la limite est unique.

2. Sia? Dfet sif(x)converge versl?Rquandxtend versa, alorsfest bornée

au voisinage dea.

Démonstration:

1. Supposons quefvérifie la définition 3 pour deux réelsletl?distincts. Posons

ε=|l-l?|/3. Alors les intervalles[l-ε,l+ε]et[l?-ε,l?+ε]sont disjoints. Pour xsuffisamment proche dea, le réelf(x)devrait appartenir aux deux intervalles

à la fois : c"est impossible.

2. Fixonsε >0, etηtel quef(x)reste dans l"intervalle]l-ε,l+ε[pour tout

0<|x-a|6η. Alors :

?x?[a-η,a+η]∩ Df, f(x)6l+ε et ?x?[a-η,a+η]∩ Df, f(x)>l-ε Doncfest majorée et minorée au voisinage dea. 4 Maths en LigneLimites et continuitéUJF Grenoble1.3 Opérations sur les limites La notion de limite se combine avec les opérations sur les fonctions comme on

l"attend. Nous énoncerons les résultats dans le théorème 2. Ils peuvent se déduire des

résultats analogues sur les suites numériques, via le théorème 1. Nous conseillons au lecteur de le vérifier, puis de comparer cette approche avec les démonstrations directes qui suivent. Elles sont basées sur le lemme suivant. Lemme 1.Soitaun réel. Soientfetgdeux fonctions deRdansR, définies au voisinage dea, sauf peut-être ena. 1. Si lim x→af(x) = limx→ag(x) = 0 alors lim x→a(f+g)(x) = 0

2. Sifest bornée au voisinage deaet

lim x→ag(x) = 0, alors lim x→a(fg)(x) = 0

Démonstration:

1. Fixonsε >0. Soitη1tel que pour0<|x-a|6η1,|f(x)|6ε/2. De même, soitη2

tel que pour0<|x-a|6η2,|g(x)|< ε/2. Alors, pour0<|x-a|6min{η1,η2}, |(f+g)(x)|=|f(x) +g(x)|6|f(x)|+|g(x)|6ε2 +ε2 d"où le résultat.

2. Soitη1etMdeux réels tels que

?x?[a-η1,a+η1],|f(x)|6M . Fixonsε >0. Soitη2tel que pour0<|x-a|6η2,|g(x)|6ε/M. Alors, pour

0<|x-a|6min{η1,η2},

|(fg)(x)|=|f(x)||g(x)|6MεM d"où le résultat. Théorème 2.Soitaun réel. Soientfetgdeux fonctions deRdansR, définies sur un intervalle ouvert autour dea. 5 Maths en LigneLimites et continuitéUJF Grenoble1. Si lim x→af(x) =letlimx→ag(x) =l? alors lim x→a(f+g)(x) =l+l? 2. Si lim x→af(x) =letlimx→ag(x) =l? alors lim x→a(fg)(x) =ll? Démonstration: Pour nous ramener au lemme 1, observons d"abord quef(x)tend verslquandxtend versa, si et seulement sif(x)-ltend vers0.

1. Quandxtend versa,f(x)tend versletg(x)tend versl?, doncf(x)-letg(x)-l?

tendent vers0. Donc f(x)-l+g(x)-l?= (f+g)(x)-(l+l?) tend vers0d"après le point1.du lemme 1. D"où le résultat.

2. Nous voulons montrer quef(x)g(x)-ll?tend vers0. Ecrivons :

f(x)g(x)-ll?=f(x)(g(x)-l?) + (f(x)-l)l?. Il suffit de montrer séparément que les deux fonctionsf(g-l?)et(f-l)l?tendent vers0, d"après le premier point du lemme 1. Mais chacune de ces deux fonctions est le produit d"une fonction convergeant vers0par une fonction bornée au voi- sinage de0(fest bornée au voisinage de0car elle converge). D"où le résultat, par le point2.du lemme 1. Si une application est constante, sa limite en tout point est égale à cette constante. Comme cas particulier du théorème 2, sif(x)tend verslquandxtend versa, etλest un réel quelconque, alors la limite enadeλf(x)estλl. Le résultat attendu sur la composition des limites se vérifie, à un détail près. Théorème 3.Soientaetbdeux réels. Soitfetgdeux fonctions définies respective- ment au voisinage deaet au voisinage deb,gétant définie enb. On suppose : lim x→af(x) =betlimy→bg(y) =g(b). Alors lim x→ag◦f(x) =g(b). 6

Maths en LigneLimites et continuitéUJF GrenobleDémonstration: Soitεun réel strictement positif. Il existeη1>0tel que

|y-b|6η1=? |g(y)-g(b)|6ε

Il existeη2tel que

0<|x-a|6η2=? |f(x)-b|6η1

Donc :

0<|x-a|6η2=? |g(f(x))-g(b)|6ε

1.4 Limites unilatérales

Une fonctionfpeut converger vers une limite finie, comme nous l"avons vu précé- demment, ou bien+∞ou-∞. De plus les valeurs de la variable, qui approchaienta des deux côtés dans les définitions précédentes, peuvent ne l"approcher que d"un seul

côté : ce sont les notions de limite à gauche, et de limite à droite. On peut aussi cher-

cher une limite quandxtend vers+∞et-∞. Au total, ce ne sont pas moins de15 définitions différentes que nous devons donner. Vous reconnaîtrez dans ces définitions un principe général :f(x)tend versl(fini ou infini) quandxtend versa(fini ou infini), si pour tout voisinageVldel, il existe un voisinageVadeatel quef(Va\{a})?Vl. La

définition précise de la notion de voisinage relève de la topologie, et dépasse le cadre de

ce cours. Un voisinage de+∞sera compris comme un intervalle de la forme[A,+∞[. De même, un voisinage de-∞sera un intervalle de la forme]-∞,A]. Un " voisinage à gauche » d"un réelasera un intervalle du type[a-ε,a[, tandis qu"un " voisinage à droite » sera de la forme]a,a+ε]. Nous donnons les différentes définitions sous forme de tableaux. Plutôt que d"apprendre les 5 tableaux par coeur, il est conseillé d"en

comprendre le principe pour être capable de retrouver ces définitions en cas de besoin.Limites bilatérales

NotationDéfinitionExemple

lim x→af(x) =l?ε?η ,0<|x-a|6η=? |f(x)-l|6εlim x→0x= 0lim x→af(x) = +∞?A?η ,0<|x-a|6η=?f(x)>Alim x→01/|x|= +∞lim x→af(x) =-∞?A?η ,0<|x-a|6η=?f(x)6Alim x→0-1/|x|=-∞Limites à gauchequotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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Quelle est la différence entre une fonction croissante et une fonction décroissante ?

Comment calculer la somme de deux fonctions croissantes sur 1 ?

Comment savoir si une fonction est décroissante ?

Qu'est-ce que la somme de deux fonctions croissantes sur un intervalle?

Limites et continuité

Bernard Ycart

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Limites unilatérales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Convergence des fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7 Limites à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9 Continuité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Entraînement 22

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Compléments 42

3.1 Cauchy et les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3 Arguments de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4 Discontinuités des fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5 Pourquoi définir la continuité? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8 novembre 2011

1.1 Vocabulaire

On dit quefest :

Iinclus dansDf.

I-→R

1.2 Convergence

On notera :

Figure1 - Graphe de la fonctionx?→xsin(1/x).

Posonsη= 1/n:

1. Sif(x)converge quandxtend versa, alors la limite est unique.

2. Sia? Dfet sif(x)converge versl?Rquandxtend versa, alorsfest bornée

Démonstration:

1. Supposons quefvérifie la définition 3 pour deux réelsletl?distincts. Posons

à la fois : c"est impossible.

2. Fixonsε >0, etηtel quef(x)reste dans l"intervalle]l-ε,l+ε[pour tout

0<|x-a|6η. Alors :

2. Sifest bornée au voisinage deaet

Démonstration:

1. Fixonsε >0. Soitη1tel que pour0<|x-a|6η1,|f(x)|6ε/2. De même, soitη2

2. Soitη1etMdeux réels tels que

0<|x-a|6min{η1,η2},

1. Quandxtend versa,f(x)tend versletg(x)tend versl?, doncf(x)-letg(x)-l?

2. Nous voulons montrer quef(x)g(x)-ll?tend vers0. Ecrivons :

Il existeη2tel que

0<|x-a|6η2=? |f(x)-b|6η1

Donc :

0<|x-a|6η2=? |g(f(x))-g(b)|6ε

1.4 Limites unilatérales

NotationDéfinitionExemple