[PDF] Ch4 Fonctions Cours La courbe C ci-contre

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FONCTIONS

I. DEFINITIONS

D est une partie de l"ensemble des réels.

Définir une fonction sur D, c"est associer à chaque réel x de D, un réel et un seul, appelé l"image

de x.

D est appelé l"ensemble (ou domaine) de définition de la fonction : c"est l"ensemble des nombres

pour lesquels la fonction existe.

Exercice n°1:

Pour chacune des courbes ci-dessous, indiquer si c"est celle d"une fonction et, dans ce cas, préciser

son ensemble de définition. a) b) c) d) e) f)

Remarque :

Au niveau première, les seules fonctions qui ne sont pas définies sur sont les fonctions inverse et

racine carrée : f(X) = 1 X est définie pour X ¹ 0, soit sur ] - ; 0 [ È ] 0 ; + [ g(X) = X est définie pour X positif, soit sur [ 0 ; + [

Exercice n°2 :

Dans chacun des cas suivants, donner l"ensemble de définition de f. a) f(x) = 2x² + 1 b) f(x) = 1 2x + 3x c) f(x) = 1 x - 1 d) f(x) = 2 x + 1 e) f(x) = 1 (x - 4)(x + 1) f) f(x) = x (x - 1)² g) f(x) = -2 x² + 1 h) f(x) = x x² - 1 01 1 01 1 01 1 01 1 01 101
1 - 2/6 -

Notations :

· Une fonction est généralement désignée par l"une des lettres f, g, h ... · L"image d"un réel x de D par la fonction f est noté f(x), on lit: " f de x ».

· Au lieu d"écrire " f est la fonction qui à x associe f(x) », on peut écrire : f : x f(x) .

Exemple :

f est la fonction définie sur l"intervalle [ 0 ; +¥ [ par f(x) = x - 2 x.

L"ensemble de définition de cette fonction est [ 0 ; +¥ [ et pour calculer l"image d"un nombre de

cet ensemble, on procède ainsi :

· image de 0 : f(0) = 0 - 2 ´

0 = 0

· image de 7

4 : f

7 4 = 7 4 - 2 ´ 7 4 = 7 4 - 2 ´ 7 2 = 7 4 - 7.

Exercice n°3 :

Déterminer, lorsque c"est possible, les images des nombres suivants par les fonction f (a, b, c) définies dans l"exercice précédent.

0 ; 1 ; 1

2 ; - 2 ; - 4

II. COURBE REPRESENTATIVE D"UNE FONCTION

I. Définition

f est une fonction définie sur D.

Dans un repère (O,i,j), la courbe représentative C de la fonction f, est l"ensemble des points de

coordonnées (x ; y) telles que : xÎD et y = f(x). On dit que la courbe C a pour équation y = f(x) dans ce repère.

Remarque :

Dire qu"un point M de coordonnées (a ; b) appartient à C revient à dire a est dans D et f(a) = b

Exemple :

La courbe représentative C d"une fonction f définie sur a pour équation : y = x² - 2x + 3.

M est le point de C d"abscisse -1. Quelle est son ordonnée ?

Même question pour le point d"abscisse 2.

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Exercice n°4 :

Soit f, la fonction définie sur I = [-1 ; 2] par f(x) = x - x².

Tracer la courbe C sur l"intervalle I.

On souhaite tracer la courbe représentative Cf de f. Pour cela, on construit tout d"abord un tableau

de valeurs : x -1 - 0,5 0 0,5 1 1,5 2 x - x

2 -2 - 0,75 0 0,25 0 - 0,75 -2

Puis l"on construit la courbe point par point :

-2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1

II. Lecture graphique

Recherche d"image :

f est une fonction définie sur D,

C est la représentation graphique de

f, a est un élément de D.

Si A est le point d"abscisse

a, alors f(a) est l"ordonnée de A.

Exemple

La courbe C ci-contre est la représentation graphique d"une fonction f définie sur [-2 ; 2]. Pour lire graphiquement l"image de -1,5 c"est à dire f(-1,5), on peut procéder ainsi : · on repère -1,5 sur l"axe des abscisses et on trace, par ce point, la parallèle à l"axe des ordonnées ;

· cette droite rencontre C en A ;

· on cherche ensuite l"ordonnée de A en traçant par ce point la parallèle à l"axe des abscisses.

On obtient

f(-1,5) = -1

Recherche d"antécédents :

f est une fonction définie sur D, C est la représentation graphique de f, b est un nombre réel

On trace les droite

d horizontale d"ordonnée b

1er cas : d ne rencontre pas C : cela signifie que b n"a pas d"antécédent par f dans D

2ème cas : d rencontre C en A(a ; b), alors f(a) = b et a est un antécédent de b par f.

Exemple :

Reprenons la fonction précédente. Pour lire graphiquement les antécédents de 1 par f : · on repère 1 sur l"axe des ordonnées et on trace la droite d d"équation y = 1 ; · elle rencontre C en E et F dont les abscisses sont respectivement -1 et 1 Donc : -1 et 1 sont les antécédents de 1. (on peut noter f(-1) = 1et f(1) = 1) - 4/6 - O -2 4uv f(v) f(u)

Exercice n°5 :

Soit f la fonction représentée ci-contre.

1. Donner l"ensemble de définition.

2. a) Lire l"image de 3 par

f b) Lire f(1) ; f(-4) ; f(-2) et f(5). c) Lire les antécédents de 7 par f. d) Résoudre f(x) = 0.

III. CROISSANCE DECROISSANCE

f est une fonction définie sur un intervalle I.

Dire que f est croissante sur I signifie que

pour tous réels a et b de I : si a £ b alors f(a) £ f(b).

Dire que f est décroissante sur I signifie que

pour tous réels a et b de I : si a £ b alors f(a) ³ f(b).

Exemples :

Les courbes C

1 et C2 représentent respectivement des fonctions

f et g définie sur [-2 ; 4]. · D"après l"allure de la courbe C1, pour tous réels u et v de [-2 ; 4], si u £ v alors f(u) £ f(v). on dit que f est croissante sur [-2 ; 4] graphiquement : " La courbe monte ». · D"après l"allure de la courbe C2, pour tous réels u et v de [-2 ; 4], si u £ v alors g(u) ³ g(v). g est décroissante sur [-2 ; 4]. graphiquement : " la courbe descend ».

IV. EXTREMUM

f est une fonction, I un intervalle inclus dans son domaine de définition et a un réel de I.

· Dire que f(a) est le minimum de f sur I signifie que f(a) est la plus petite valeur de la fonction :

pour tout réel x de I, f(x) ³ f(a). · Dire que f(a) est le maximum de f sur I signifie que f(a) est la plus grande valeur de la fonction : pour tout réel x de I, f(x) £ f(a).

Exemple :

· Le minimum sur l"intervalle [-5 ; 6] de la fonction f représentée ci-contre est -2. Il est obtenu lorsque x = 3 2 En effet, A est le point le plus " bas » de la courbe. · Le maximum sur l"intervalle [-5 ; 6] est 4. Il est obtenu lorsque x = -3. En effet, B est le point le plus " haut » de la courbe. Oj i-535 5 O-5 B -3 4 A 3 2 -2 6 3 - 6/6 -

VI. FONCTIONS USUELLES

Courbe représentative Tableau de variations

Variations

f (x) = x² Df =

O11 x - 0 +

f(x) f est décroissante sur ] -; 0 ] et croissante sur [ 0 ; + [ f (x) = x3 Df = O 1 1 x - + f(x) f est croissante sur f (x) = 1 x Df = 1 O 1 x - 0 + f(x) f est décroissante sur ] -; 0 [ et sur ] 0 ; + [ f (x) = x Df = O11 x 0 + f(x) f est croissante sur [ 0 ; + [quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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