[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7





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domaine de définition Exercice 3

f(x) = tan(2x). Exercice 3 : parité. 1. Après avoir donné leur domaine de définition dire si les fonctions f définies de la 



ETUDE DE LA FONCTION TANGENTE

Par la suite on note D l'ensemble de définition de la fonction tangente. 1 + tan 2 x = 1 cos 2 x. Tableau de variations : Pour tout x ? [ 0 ;.



Domaine de définition parité

https://perso.univ-rennes1.fr/jean-marie.lion/a01-2007-exo-1.pdf



Série dexercices no Les fonctions Exercice 1 : images et

f(x) = tan(2x). Exercice 3 : parité. 1. Après avoir donné leur domaine de définition dire si les fonctions f définies de la 



Série dexercices no2 Les fonctions Exercice 1 : images et

c. f(x) = 1 + sin(x) d. f(x) = tan(2x). Exercice 3 : parité. 1. Après avoir donné leur domaine de définition



Fonction Trigo

tan x. 0. 1. 3. 1. 3. N'existe pas. - 3. -1. -. 1. 3. 0. 2) La fonction cosinus cos : R. [ -1 ; 1 ] x cos x. Ensemble de définition = R . (rappel de 1er 



2.5.4 Compléments (fonctions trigonométriques inverses)

tan(x) n'est même pas définie sur R tout 2 ] x arcsin(x). Il faut retenir que: 1. le domaine de définition de la fonction arcsinus est [ ? 1



Exercices de mathématiques - Exo7

Exercice 1 ***IT. Domaine de définition et calcul des fonctions suivantes : 1. x ?? sin(arcsinx). 2. x ?? arcsin(sinx)





Fonctions de deux variables

définir le domaine de définition par la formule : DDf := {(xy) ? R2



f (x

f (a)) est.



Trouver le domaine de définition et lensemble darrivée f(x)=tan(2x

Trouver le domaine de définition et l'ensemble d'arrivée f(x)=tan(2x)^(1/2) f(x)=tan(2x)12 f ( x ) = tan ( 2 x ) 1 2



[PDF] Fonction Trigo

Définition : tan x = sinx cosx donc tan x existe si et seulement si cos x ? 0 c'est-à-dire si x ? ? 2 + k ? avec k ? ! On note D l'ensemble de 



[PDF] ETUDE DE LA FONCTION TANGENTE - Pierre Lux

tan x = sin x cos x Par la suite on note D l'ensemble de définition de la fonction tangente Périodicité La fonction tan est périodique de période ?



[PDF] Trigonométrie circulaire

Par définition la tangente (resp la cotangente) du réel x est la mesure On a effectivement trois expressions différentes de cos(2x) et on doit 





[PDF] domaine de définition Exercice 3

f(x) = tan(2x) Exercice 3 : parité 1 Après avoir donné leur domaine de définition dire si les fonctions f définies de la 



[PDF] I Fonctions et domaines de définition II Limites - Normale Sup

On obtient (tan(x)) = 1 cos2(x) = 1 + tan2(x) 1 Ceci n'est pas exigible pour ce cours mais est très utile pour les calculs de limite en général



[PDF] Contrôle Continu 2

24 nov 2021 · Soit f(x) = tan(2x) a Donner le domaine de définition D de f Le domaine de définition de x ?? tan(x) est R{?/2+2k? : k ? Z}



fonction tangente - ChronoMath

Origine : Abu al-Wafa; Ensemble de définition : R - {?/2 + k? k?Z} Fonction dérivée : 1 + tan2x ou encore : 1/cos2x; Primitive : ln1/cos x + k 



Tangente PDF - Fonction trigonométrique - Scribd

Par la suite on note D l'ensemble de définition de la fonction tangente Périodicité La fonction tan est périodique de période ? Pour tout x de D : tan ( x + 

  • Quel est le domaine de définition de la tangente ?

    La fonction tangente est définie, continue et dérivable sur l'intervalle ]-?/2 , ?/2[. On choisit l'expression de la dérivée tan'(x) = 1 / cos²(x), car il est facile d'étudier son signe : pour tout x ? ]-?/2 , ?/2}[, tan'(x) = = 1 / cos²(x) >0.

  • Est-ce que la fonction tangente est paire ?

    Les fonctions sinus et tangente sont impaires.
  • 1Le domaine de la fonction sinus est l'ensemble des réels, alors il n'y a aucune restriction à donner sur x.2Le domaine de la fonction x1+x est R?{?1}, car le dénominateur est nul lorsque x=?1.
Exo7

Trigonométrie hyperbolique

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1***ITDomaine de définition et calcul des fonctions suivantes :

1.x7!sin(arcsinx),

2.x7!arcsin(sinx),

3.x7!cos(arccosx),

4.x7!arccos(cosx),

5.x7!tan(arctanx),

6.x7!arctan(tanx).

2.

Calculer arctan x+arctan1x

pourxréel non nul. 3. Calculer cos (arctana)et sin(arctana)pouraréel donné. 4. Calculer ,pour aetbréels tels queab6=1, arctana+arctanben fonction de arctana+b1ab(on étudiera d"abord cos(arctana+arctanb)et on distinguera les casab<1,ab>1 eta>0,ab>1 eta<0).

Rsin2x

0arcsinpt dt+Rcos2x

0arccospt dt.

1.f1(x) =arcsinxp1+x2

2.f2(x) =arccos1x21+x2

1

3.f3(x) =arcsinp1x2arctan

q1x1+x

4.f4(x) =arctan12x2arctanxx+1+arctanx1x

12 +arctan15 +arctan18

2+arctan22

2+:::+arctan2n

(Utiliser l"exercice 2 4)) f(x) = (x21)arctan12x1; et on appelle(C)sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1.

Quel est l"ensemble de définition Ddef?

2. Exprimer ,sur Dnf0g, la dérivée defsous la forme :f0(x) =2xg(x). 3. Montrer que : 8x2R;2x44x3+9x24x+1>0 et en déduire le tableau de variation deg. 4.

Dresser le tableau de v ariationde f.

2. En déduire la v aleurde un=20th(20x)+21th(21x)++2nth(2nx)pournentier naturel non nul etx réel non nul donnés puis calculer la limite de(un). 1. sin (2arcsinx), 2

2.cos (2arccosx),

3. sin

2arccosx2

4. ln (px

2+1+x)+ln(px

2+1x),

5. ar gsh x212x 6. ar gch(2x21), 7. ar gth qchx1chx+1 8. ch(lnx)+sh(lnx)x 1. ch x=2, 2. arcsin (2x) =arcsinx+arcsin(xp2), 3.

2 arcsinx=arcsin(2xp1x2).

Correction del"exer cice1 Narcsinxexiste si et seulement sixest dans[1;1]. Donc, sin(arcsinx)existe si et seulement sixest dans[1;1]

et pourxdans[1;1], sin(arcsinx) =x. arcsin(sinx)existe pour tout réelxmais ne vautxque sixest dansp2 ;p2 . • S"il existe un entier relatifktel quep2 +2kp6x6x2kp et donc arcsin(sinx) =arcsin(sin(x2kp)) =x2kp:

De plus, on ak6x2p+14

De plus,k6x2p14 arccos(cosx)existe pour tout réelxmais ne vautxque sixest dans[0;p]. • S"il existe un entier relatifktel

que 2kp6xPour tout réelx, tan(arctanx) =x. arctan(tanx)existe si et seulement sixn"est pas dansp2 +pZet pour cesx, il existe un entier relatifktel que p2 +kp.Correction del"exer cice2 N1.1ère solution. Posonsf(x) =arccosx+arcsinxpourxdans[1;1].fest définie et continue sur[1;1],

dérivable sur]1;1[. De plus, pourxdans]1;1[, f

0(x) =1p1x21p1x2=0:

Doncfest constante sur[1;1]et pourxdans[1;1],f(x) =f(0) =p2

8x2[1;1];arccosx+arcsinx=p2

:2ème solution. Il existe un unique réelqdans[0;p]tel quex=cosq, à savoirq=arccosx. Mais alors,

arccosx+arcsinx=q+arcsin sin(p2 q) =q+p2 q=p2 (car p2 qest dans[p2 ;p2

2.1ère solution. Pourxréel non nul, posonsf(x) =arctanx+arctan1x

.fest impaire.fest dérivable surRet pour tout réelxnon nul,f0(x) =11+x21x

211+1x

2=0.fest donc constante sur]¥;0[et sur

]0;+¥[(mais pas nécessairement surR). Donc, pourx>0,f(x) =f(1) =2arctan1=p2 , et puisquef est impaire, pourx<0,f(x) =f(x) =p2 . Donc,

8x2R;arctanx+arctan1x

p2 six>0 p2 six<0=p2 sgn(x):4

2èmesolutionPourxréelstrictementpositifdonné, ilexisteununiqueréelqdans0;p2

telquex=tanq

à savoirq=arctanx. Mais alors,

arctanx+arctan1x =q+arctan1tanq =q+arctan tan(p2 q) =q+p2 q=p2 (carqetp2 qsont éléments de0;p2 3. cos

2(arctana) =11+tan2(arctana)=11+a2. De plus , arctanaest dans]p2

;p2 [et donc cos(arctana)>0. On en déduit que pour tout réela, cos(arctana) =1p1+a2puis sin(arctana) =cos(arctana)tan(arctana) =ap1+a2:

8a2R;cos(arctana) =11+a2et sin(arctana) =ap1+a2:4.D"après 3),

cos(arctana+arctanb) =cos(arctana)cos(arctanb)sin(arctana)sin(arctanb) =1abp1+a2p1+b2;

ce qui montre déjà , puisqueab6=1, que cos(arctana+arctanb)6=0 et donc que tan(arctana+arctanb)

existe. On a immédiatement, tan(arctana+arctanb) =a+b1ab:

Maintenant, arctana+arctanbest dansp;p2

[p2 ;p2 [p2 ;p.

1er cas.Siab<1 alors cos(arctana+arctanb)>0 et donc arctana+arctanbest dansp2

;p2 . Dans ce cas, arctana+arctanb=arctana+b1ab.

2ème cas.Siab>1 alors cos(arctana+arctanb)<0 et donc arctana+arctanbest dansp;p2

[p2 ;p.

Si de plusa>0, arctana+arctanb>p2

et donc arctana+arctanbest dansp2 ;p. Dans ce cas, arctana+arctanbpest dansp2 ;p2 et a même tangente que arctana+b1ab. Donc, arctana+ arctanb=arctana+b1ab+p. Sia<0, on trouve de même arctana+arctanb=arctana+b1abp.

En résumé,

arctana+arctanb=8 >:arctan a+b1absiab<1 arctan a+b1ab+psiab>1 eta>0 arctan a+b1abpsiab>1 eta<0:Correction del"exer cice3 Nch(a+b) =chachb+shashbet ch(ab) =chachbshashb; sh(a+b) =shachb+chashbet sh(ab) =shachbshbcha th(a+b) =tha+thb1+thathbet th(ab) =thathb1thathb:5

Deux démonstrations :

chachb+shashb=14 ((ea+ea)(eb+eb)+(eaea)(ebeb)) =12 (ea+b+eab) =ch(a+b): th(a+b) =sh(a+b)ch(a+b)=shachb+shbchachachb+shashb=tha+thb1+thathb

après division du numérateur et du dénominateur par le nombre non nul chachb. En appliquant àa=b=x,

on obtient :

8x2R;ch(2x) =ch2x+sh2x=2ch2x1=2sh2x+1;sh(2x) =2shxchxet th(2x) =2thx1+th2x:En additionnant entre elles les formules d"addition, on obtient les formules de linéarisation :

chachb=12 (ch(a+b)+ch(ab));shashb=12 (ch(a+b)ch(ab))et shachb=12 (sh(a+b)+sh(ab)); et en particulier ch

2x=ch(2x)+12

et sh2x=ch(2x)12 :Correction del"exer cice4 NPourxréel, on posef(x) =Rsin2x

0arcsinpt dt+Rcos2x

0arccospt dt.

La fonctiont7!arcsinptest continue sur[0;1]. Donc, la fonctiony7!Ry

0arcsinpt dtest définie et dérivable

sur[0;1]. De plus,x7!sin2xest définie et dérivable surRà valeurs dans[0;1]. Finalement, la fonction

x7!Rsin2x

0arcsinpt dtest définie et dérivable surR. De même, la fonctiont7!arccosptest continue sur[0;1].

Donc, la fonctiony7!Ry

0arccospt dtest définie et dérivable sur[0;1]. De plus, la fonctionx7!cos2xest

définie et dérivable surR, à valeurs dans[0;1]. Finalement, la fonctionx7!Rcos2x

0arccospt dtest définie et

dérivable surR. Donc,fest définie et dérivable surRet, pour tout réelx, f

0(x) =2sinxcosxarcsin(psin

2x)2sinxcosxarccos(pcos

2x) On note alors quefestp-pérodique et paire. Pourxélément de[0;p2 ],f0(x) =2sinxcosx(xx) =0.fest donc constante sur[0;p2 ]et pourxélément de[0;p2 ],f(x) =fp4 =R1=2

0arcsinpt dt+R1=2

0arccosptdt=R1=2

0p2 dt=p4 . Mais alors, par parité etp-périodicité,

8x2R;Rsin2x

0arcsinpt dt+Rcos2x

0arccospt dt=p4

:Correction del"exer cice5 N1.1ère solution.Pour tout réelx,px

2+1>px

2=jxjet donc1

2+1<1. Ainsif1est définie et

dérivable surR, impaire, et pour tout réelx, f

01(x) =1px

2+112 x2x(x2+1)px 2+1 1q

1x21+x2=11+x2=arctan0(x):

Donc il existe une constante réelleCtelle que pour tout réelx,f1(x) =arctanx+C.x=0 fournitC=0 et donc, 6

8x2R;arcsinxpx

2+1 =arctanx:2ème solution.Pourxréel donné, posonsq=arctanx.qest dansp2 ;p2 etx=tanq. xpx

2+1=tanqp1+tan2q=pcos

2qtanq=cosqtanq(car cosq>0)

=sinq et donc f

1(x) =arcsin(sinq) =q(carqest dansi

p2 ;p2 h =arctanx:

2.1ère solution.Pour tout réelx,1<1+21+x2=1x21+x261+2=1 (avec égalité si et seulement si

x=0).f2est donc définie et continue surR, dérivable surR. Pour tout réelxnon nul, f

02(x) =2x(1+x2)2x(1x2)(1+x2)21r

11x21+x2

2=4x1+x21p4x2=2e1+x2

oùeest le signe dex. Donc il existe une constante réelleCtelle que pour tout réel positifx,f2(x) =

2arctanx+C(y comprisx=0 puisquefest continue en 0).

x=0 fournitC=0 et donc, pour tout réel positifx,f2(x) =2arctanx. Par parité,

8x2R;arccos1x21+x2

=2arctanjxj:2ème solution.Soitx2Rpuisq=arctanx.qest dansp2 ;p2 etx=tanq.

1x21+x2=1tan2q1+tan2q=cos2q(1tan2q) =cos2qsin2q=cos(2q):

Donc f

2(x) =arccos(cos(2q)) =2qsiq20;p2

2qsiq2p2

;0=2arctanxsix>0

2arctanxsix60=2arctanjxj:

3. La fonction x7!arcsinp1x2est définie et continue sur[1;1], dérivable sur[1;1]nf0gcar pourx

élément de[1;1], 1x2est élément de[0;1]et vaut 1 si et seulement sixvaut 0.1x1+xest défini et positif

si et seulement sixest dans]1;1], et nul si et seulement six=1.f3est donc définie et continue sur ]1;1], dérivable sur]1;0[[]0;1[. Pourxdans]1;0[[]0;1[, on noteele signe dexet on a : f

03(x) =xp1x21p1(1x2)(1+x)(1x)(1+x)212

q1x1+x11+1x1+x=ep1x2+12

1p1x2:

Sixest dans]0;1[,f03(x) =12

1p1x2= (12

arcsin)0(x). Donc, il existe un réelCtel que, pour toutxde [0;1](par continuité)f3(x) =12 arcsinx+C.x=1 fournitC=p4 . Donc, 7

8x2[0;1];f3(x) =p4

12 arcsinx=12 arccosx:Sixest dans]1;0[,f03(x) =32

1p1x2= (32

arcsin)0(x). Donc il existe un réelC0tel que, pour toutxde ]1;0](par continuité)f3(x) =32 arcsinx+C0.x=0 fournitp2 p4 =C0. Donc,

8x2]1;0];f3(x) =32

arcsinx+p4 :4.f4est dérivable surD=Rnf1;0get pourxélément deD, on a : f

04(x) =1x

311+14x4(x+1)x(x+1)211+x2(x+1)2+x(x1)x

211+(x1)2x

2 f

4est donc constante sur chacun des trois intervalles]¥;1[,]1;0[et]0;+¥[. Pourx>0,f(x) =

f(1) =0. Pour11f(t) =arctan12 (p2 )+arctan2=p2 +p2 =p. Pourx<1, f(x) =limt!¥f(t) =0 et donc

8x2Rnf1;0g;f4(x) =0 six2]¥;1[[]0;+¥[

psix2]1;0[:Correction del"exer cice6 N06arctan12 +arctan15 15 =79quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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