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Résoudre les équations différentielles (x ? 1)y + xy = x2 ? 1 et (x ? 1)y + xy = sinx sur I et J Exercice 2 Voir le corrigé manuscrit Exercice 5
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Résoudre les équations différentielles suivantes sur des intervalles appropriés : 1) x/ = 5x 2) x/ + 3t2x = t2 3) t2x/ + tx = 1 4) tx/ x = t2 sin(t)
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Voir le cas 4 exercice 1 13 1 7 Type VII : Equations différentielles non résolues par rapport à la dérivée 1 7 1 Equations du premier ordre de degré n en
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Comment résoudre les équations différentielles ?
Résoudre une telle équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions dérivables y définies sur I à valeurs dans R ou C vérifiant, pour tout x?I x ? I , y?(x)+a(x)y(x)=b(x) y ? ( x ) + a ( x ) y ( x ) = b ( x ) . Dans la suite, on supposera toujours que a,b sont continues sur I .Comment résoudre une équation différentielle de Bernoulli ?
z ? = ( 2 a ( t ) y 0 ( t ) + b ( t ) ) z + a ( t ) z 2 . On obtient donc une équation de Bernoulli, que l'on sait résoudre. Il s'agit des équations différentielles du type y=a(y?)t+b(y?). y = a ( y ? ) t + b ( y ? ) .Comment résoudre une équation différentielle du premier ordre avec second membre ?
b) Equation avec second membre : Considérons l'équation ay" + by' + cy = d(x). Soit y0 solution de cette équation. On remarque alors que, comme dans le cas des équations du premier ordre : Page 9 - 9 - i) si z est solution de l'équation homogène associée, alors y0 + z est solution de l'équation complète.- Résolution de l'équation différentielle y? + 2y = 0 dont la solution f vérife f(0) = 1 : Les solutions sont du type f(x) = ke?2x où k est une constante réelle. f(0) = 1 ?? ke?2? = 1 ?? k = 1, D'où f(x) = e?2x. où A et B sont des constantes réelles. y = 0, on prend ? = 1 3 .
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