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1 Exercices corrigés sur les équations différentielles

1. Les procédures Maple.

2. Equations linéaires d"ordre un.

3. Equations et systèmes linéaires à coefficients constants.

4. Equations linéaires du second ordre.

5. Equations non linéaires.

6. Systèmes différentiels.

7. Intégration par séries.

8. Equations fonctionnelles.

9. Applications géométriques.

Pierre-Jean Hormière

___________

1. Les procédures Maple

On résout les équations différentielles avec la commande " dsolve ». Taper : ? dsolve ; pour obtenir des informations sur cette commande. Le package Powseries permet de résoudre les équations par séries entières.

Le package DEtools permet de visualiser les champs de vecteurs associés et les courbes intégrales.

Ce package concerne aussi les équations aux dérivées partielles, sujet à peine effleuré en taupe.

On résout les équations aux dérivées partielles avec la commande " pdsolve ». > with(DEtools); Dchangevar GCRD LCLM MeijerGsols PDEchangecoords RiemannPsols, , , , , , Xchange Xcommutator Xgauge abelsol adjoint autonomous bernoullisol, , , , , , , buildsol buildsym canoni caseplot casesplit checkrank chinisol clairautsol, , , , , , , , constcoeffsols convertAlg convertsys dalembertsol dcoeffs de2diffop dfieldplot, , , , , , , eulersols exactsol expsols exterior_power firint firtestformal_sol gen_exp, , , , , , , , generate_ic genhomosol gensys hamilton_eqs hypergeomsols hyperode, , , , , , indicialeq infgen initialdata integrate_sols intfactor invariants kovacicsols, , , , , , , leftdivision liesol line_int linearsol matrixDE matrix_riccati maxdimsystems, , , , , , , odepde parametricsol phaseportrait poincare polysols ratsols redode, , , , , , , reduceOrder reduce_order regular_parts regularsp remove_RootOf, , , , , riccati_system riccatisol rifread rifsimp rightdivisionrtaylor separablesol, , , , , , , solve_group super_reduce symgen symmetric_power symmetric_product symtest, , , , , , Les exercices corrigés ci-après font grand usage de Maple.

22. Equations linéaires d"ordre 1

Exercice 1

: Résoudre l"équation x.( 1 - x ).y" + y = x. Solution : 1) C"est une équation différentielle linéaire scalaire d"ordre 1. On l"intègre séparément sur ]-¥, 0[, ]0, 1[ et ]1, +¥[.

Equation homogène

yy" = )1(1-xx = 11-x - x1 s"intègre en ln |y(x)| = ln |xx1-| + K . Finalement y = Cxx1-.

Equation avec second membre

. Faisons " varier la constante ». y(x) = C(x)

xx1- donne C"(x) = )²1(--xx, donc C(x) = ∫--)²1(.xdxx = -∫+duuu.²1 = 11-x - ln | x - 1 | + C.

x1[ 1 - ( x - 1 ) ln(1 - x) ] + Axx1- sur ]-¥, 0 [ y(x) =  x1[ 1 - ( x - 1 ) ln(1 - x) ] + Bxx1- sur ]0, 1[  x1[ 1 - ( x - 1 ) ln(x - 1) ] + Cxx1- sur ]1, +¥[

2) Etude des raccords.

Toutes les solutions sont continues en 1 et valent 1, mais elles ont en (1, 1) une dérivée infinie.

Etude en 0 : un développement limité donne

y(x) = xA-1 + A - 1 + 2x + o(x) en 0- , y(x) = xB-1 + B - 1 + 2x + o(x) en 0+ . La seule courbe continue correspond à A = B = 1. Alors y(x) =

2x + o(x) au V(0), donc y"(0) = ½.

Le raccord est dérivable. Il est même de classe C

1, car y"(x) = )1()(

xxxyx - ® 21 en 0.

Les autres courbes ont des asymptotes en 0.

3) Branches infinies

Quand x ® +¥, y(x) = - ln x + C + o(1).

Quand x ® -¥, y(x) = - ln(-x) + A + o(1).

4) Régionnements et lieux divers

L"isocline y" = 0 est la droite y = x.

Le régionnement y" > 0, y" < 0 est facile à trouver. Les points d"inflexion correspondent à y"" = 0 ; ils sont situés sur la droite 2y = x.

5) Etude de la séparatrice

: cherchons les solutions développables en série entière en 0.

Si y(x) =

∑nnxa est solution avec un rayon de convergence > 0, il vient, après identification : a

0 = 0 , 2a1 = 1 , (n + 1)an = (n - 1)an-1 donne finalement y(x) = ∑

+1)1(nnnnx. Rayon 1. y(x) = =1nn nx - ∑ +11nnnx = ... = 1 + )1ln(.1xxx--. On retrouve la solution correspondant à A = B = 1.

6) Avec Maple

> ed:=x*(1-x)*diff(y(x),x)+y(x)=x; a:=powsolve(ed,y(0)=0);tpsform(a,x,13); := aprocprocprocproc() ... end procend procend procend procpowparm 3 1 2x 1 6x 21
12x 31
20x 41
30x
51
42x
61
56x
71
72x
81
90x
91
110x
101
132x
111

156 + + + + + + + + + + +

x

12( )Ox13 +

dsolve(ed,y(x)); = ( )yx 1 - + 1x( )ln- + 1x _C1( )- + 1x x Exercice 2 : 1) Résoudre l"équation différentielle y" - y + x1 = 0 sur ]0, +¥[.

2) Montrer qu"il existe une unique solution bornée au V(+¥).

3) Montrer que toutes les solutions tendent vers +¥ en 0+. [ Centrale 2003, écrit ]

Solution : 1) Résolution. L"équation homogène a pour solution y = Cxe.

La variation des constantes : y(x) = C(x)

xe donne C"(x)xe + x1 = 0, donc C"(x) = -xe x-

Par conséquent, C(x) =

xtdtte. + A et y(x) = xe∫ xtdtte. + Axe.

2) La solution

y0(x) = xe∫ xtdtte. est bornée au V(+¥).

En effet, 0 < y

0(x) < xe

x∫ xtdte. = x1 ® 0. Les autres solutions tendent vers ±¥ en +¥.

3) Au V(0+), y

0(x) = xe∫

xtdtte. ~ ∫ xtdtte. = ∫ -1.xtdtte + ∫

1.dtte

t

® +¥ en 0+, car ∫

-1

0.dtte

t diverge. Les autres solutions itou. > with(plots):with(DEtools): = ( )yx( ) + ( )Ei ,1x _C1eeeex

Y:=(lambda,x)->(Ei(1,x)+lambda)*exp(x);

4 := Y ® ( ),lx( ) + ( )Ei ,1xleeeex := P ® l()plot,,,()Y,lx = x .. .033.5 .. -1010 = thickness2 q:=plot(1/x,x=0.1..3.5,color=blue): display({q,r,h,P(0)}); Exercice 3 : Résoudre l"équation 2x.y" + y = x-11. Solution dse(0). Solution : 1) Résolution de (E). Equation homogène : y(x) = xC .

Equation avec second membre

: on l"intègre séparément sur ]-¥, 0[, ]0, 1[ et ]1, +¥[.

Sur ]0, 1[ ou ]1, +¥[, posons y(x) =

xxC)(. Il vient C"(x) = xx)1(21-, donc ( u = x) :

C(x) =

∫-xxdx)1(2 = ∫-²1udu = 21ln |11 xx | + C.

Sur ]-¥, 0[, posons y(x) =

xxC -)(. Il vient C"(x) = xx--)1(21, donc ( u = x-)

C(x) =

∫--xxdx )1(2 = ∫+1²udu = Arctanx- + C. Au final : 5  xxArc --tan + xA - pour x < 0 y(x) =  x21ln xx

11 + xB pour 0 < x < 1

 x21ln 11 xx + xC pour 1 < x .

2) Raccords en 0 et 1.

Lim x®1±0 y(x) = +¥ : toutes les courbes intégrales ont une asymptote verticale en x = 1.

En 0+, y(x) =

xB + 1 + 3x + o(x) ; en 0-, y(x) = xA - + 1 + 3x + o(x) . Il y a un raccord continu ssi A = B = 0. Ce raccord est dérivable et y"(0) = 1/3.

Il est même de classe C

1, car 2x y" = x-11 - y(x) = 32x + o(x), donc y"(x) ® 1/3 en 0.

3) Solution développable en série entière en 0

Cherchant y(x) sous la forme

³0.

nn nxa, on trouve après identification an = 121+n. La série entière obtenue a pour rayon de convergence 1. Il y a donc une solution DSE sur ]-1, 1[ : h(x) =

³+012nnnx.

h(x) = xxArc tan pour -1 < x < 0 , h(x) = x21ln xx -+11 pour 0 < x < 1.

4) Maple renâcle un peu et ne trace que certaines courbes intégrales. C"est pourquoi j"ai écrit un

second programme. > with(DEtools):with(plots):ed:=2*x*diff(y(x),x)+y(x)=1/(1-x); as:=plot([1,t,t=-3..3],color=black): r(1),r(-1)},r(-2),iso); = ( )yx~-I( ) + I( )arctan-x~ _C1 -x~ = ( )yx + ( )arctanhx _C1 x 6

A:=powsolve(ed2,y(0)=1);tpsform(A,x,12);

:= ed2 = + 2x( ) - 1x x( )yx( ) - 1x( )yx1 := Aprocprocprocproc() ... end procend procend procend procpowparm 11 3x 1 5x 21
7x 31
9x 41
11x 51
13x 61
15x 71
17x 81
19x 91
21x
101
23x

11 + + + + + + + + + + + +

( )Ox 12

Exercice 4 : Résoudre l"équation ( 1 - x2 ).y" - x y = 1. [ écrit Mines 1985, partie II ]

Solution : 1) Equation homogène :

yy" = ²1xx- se résout en ln | y | = -21ln | 1 - x2 | , y(x) = ²1xC

2) Equation avec second membre

> with(DEtools):with(powseries):with(plots): ed:=(1-x^2)*diff(y(x),x)-x*y(x)=1: dsolve(ed,y(x)); = ( )yx- + ( ) - x1 ( ) + x1 ( )ln + x- + 1x2 ( ) - x1 ( ) + x1 _C1 - x1 + x1

1);h:=(a,x)->(a+arcsin(x))/sqrt(1-x^2);

as1:=plot([1,t,t=-3..3],color=black): as2:=plot([-1,t,t=-3..3],color=black): php:=DEplot(ed,y(x),x=-3..3,y=-3..3): q(Pi/2),q(2)}); a:=powsolve(ed,y(0)=0);tpsform(a,x,15); := aprocprocprocproc() ... end procend procend procend procpowparm + + + + + + + x2 3x 38
15x 516
35x
7128
315x
9256
693x

111024

3003x

13( )Ox15

:= h ® ( ),a x + a()arcsinx - 1x2 := g ® ( ),a x- + ()signumx()fxa - x21 7

Exercice 5

: On note (E) l"équation différentielle ( 1 + x2 ) y" = 1 + 3xy.

1) Trouver une solution polynomiale de (E), puis résoudre (E).

2) Déterminer les solutions de (E) bornées en +¥.

Solution : [ Oral TPE MP 2011, RMS n° 1171 ]

1) (E) est une équation différentielle linéaire d"ordre 1 à coefficients variables.

Soit P(x) une solution particulière polynomiale de (E). En considérant le terme de plus haut degré de

P(x), on trouve deg P = 3. Une recherche par coefficients indéterminés donne P(x) = 32

3x + x.

L"équation homogène a pour solution générale C.( x

2 + 1 )3/2 .

Conclusion

: (E) a pour solution générale y(x) = 32

3x + x + C.( x2 + 1 )3/2 .

2) Un développement asymptotique en +¥ donne :

y(x) = 32

3x + x + C x3 ( 1 + ²1x )3/2 = (32 + C ) x3 + ( 1 + 23C) x + O(x1) .

y est bornée au V(+¥) ssi C = -

32. Elle tend alors vers 0.

> ed:=(1+x^2)*diff(y(x),x)=1+3*x*y(x):dsolve(ed,y(x)); = ( )yx + + ( ) + 1x2( )/3 2_C1 x2 3x 3quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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