TRIGONOMÉTRIE (II) CORRECTION DES EXERCICES PDF

LES FONCTIONS DE REFERENCE

1) Compléter le tableau de valeurs suivant : x. 0. 2 g(x). 2) Tracer la représentation graphique de g. Exercice 5. On considère la fonction affine f définie par

DÉRIVATION

Exemple : On considère la fonction trinôme f définie sur R par f (x) = x2 + 3x ?1. Page 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.

TRIGONOMÉTRIE (II) CORRECTION DES EXERCICES

La fonction f est définie sur R donc pour tout x ? R on a: On considère la fonction g définie pour tout réel x par g(x)=1 ? 2 cos(x).

Correction (très rapide) des exercices de révision

Exercice 2 : On considère la fonction f définie par sa courbe représentative ci- dessous : Détermine par lecture graphique : a) Le domaine de définition de f.

Etude dune fonction avec exponentielle

On considère la fonction numérique f définie sur ? par : f (x)x. 2 e x1 x. 2. 2 . Le graphique ci-après est la courbe représentative de cette fonction telle

DÉRIVATION

On considère la fonction trinôme f définie sur ? par ( ) = +2 ?3. Déterminer une équation de tangente à la courbe représentative de f au point A de

Spécialité Centres étrangers 2

On considère la fonction f définie sur R par : f (x)=ex+a x+be?x où a et b sont des nombres réels que l'on propose de déterminer dans cette partie. Dans le

S Métropole septembre 2018

On considère la fonction f définie sur R par : f (x)=. 1. 2 x2?x+. 3. 2. Soit a un réel positif. On définit la suite (un) par u0=a et pour tout entier naturel

Spécimen - 1

On considère la fonction f définie sur R par f (x) = x. 3. +7x. 2. +11x ?19. On note C sa courbe représentative dans un repère (O ;.

Correction DST 7 On considère la fonction f définie sur ? par f (x

Bilan : f est définie sur ? mais - f étant 2? -périodique on l'étudie sur un intervalle d'amplitude 2? par exemple [??;?] .

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

TRIGONOMÉTRIE (II)

CORRECTION DES EXERCICES

ÉTUDES DE FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Exercice1:

Émettons dans chaque cas, une conjecture quant à la parité de la fonction représentée en justifiant.

1.La fonctionf1est une fonction paire car sa courbe représentativeC1est

symétrique par rapport à l"axe des ordonnées.

2.La fonctionf2est une fonction impaire car sa courbe représentativeC2

est symétrique par rapport à l"origine du repère.

3.La fonctionf3n"est ni paire, ni impaire car sa courbe représentativeC3

n"est ni symétrique par à l"axe des ordonnées, ni symétrique par rapport

à l"origine du repère.

4.La fonctionf4est une fonction paire car sa courbe représentativeC4est

symétrique par rapport à l"axe des ordonnées.

Exercice2:

Émettons dans chaque cas, une conjecture quant à la parité de la fonction représentée en justifiant.

1.La fonctionf1est une fonction impaire car sa courbe représentativeC1

est symétrique par rapport à l"origine du repère.

2.La fonctionf2est une fonction paire car sa courbe représentativeC2est

symétrique par rapport à l"axe des ordonnées. c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.1

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

3.La fonctionf3est une fonction paire car sa courbe représentativeC3est

symétrique par rapport à l"axe des ordonnées.

4.La fonctionf4est une fonction paire car sa courbe représentativeC4est

symétrique par rapport à l"axe des ordonnées.

Exercice3:

1.Donnons le domaine de définition def.

SoitDfle domaine de définition def.

D f={x?R/4 + cos(x)?= 0}

Ainsi4 + cos(x)>0pour toutx?R.

D"oùDf=R

2.Calculonsf(-x).

f(-x) =-3

4 + cos(-x)

-3

4 + cos(x)carcos(-x) = cos(x)

=f(x)

3.Déduisons la parité de la fonctionf.

De ce qui précède on a:f(-x) =f(x).

D f=Rdonc pour toutx?Dfon a:-x?Dfet de plusf(-x) =f(x) On en déduit donc que la fonctionfest une fonction paire.

4.Montrons quefest une fonction périodique, de période2π.

Pour toutx?R,x+ 2π?Ret on a:

f(x+ 2π) =-3

4 + cos(x+ 2π)

-3

4 + cos(x)carcos(x+ 2π) = cos(x)

=f(x) c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.2

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

Par conséquent, la fonctionfest une fonction périodique de période2π

Exercice4:

Soitgune fonction définie surRpar

g(x) =⎷

2cos(2x) + 1.

1.Étudions la parité de la fonctiongsurR.

Pour toutx?R,-x?Ret on a:

g(-x) =⎷

2cos(-2x) + 1 =⎷2cos(2x) + 1 =g(x).

D"où la fonctiongest une fonction paire.

2.Étudions la périodicité de la fonctiongsurR.

g(x) =⎷

2cos(2x) + 1

2cos(2x+ 2π) + 1carcos(2x) = cos(2x+ 2π)

2cos(2(x+π)) + 1

=g(x+π) On a :g(x+π) =g(x)et on sait que pour toutx?R,x+π?R. Donc la fonctiongest une fonction périodique de périodeπ.

3.Résolvons l"équationg(x) = 0surR.

g(x) = 0?⎷

2cos(2x) + 1 = 0

?cos(2x) =-1 ⎷2 ?cos(2x) =-⎷ 2 2 ?cos(2x) = cos?3π 4? g(x) = 0?2x=3π

4+ 2kπou2x=-3π4+ 2kπaveck?Z

?x=3π

8+kπoux=-3π8+kπaveck?Z

c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.3

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

SoitSl"ensemble solution de l"équationg(x) = 0

S=? -3π

8+kπ;3π8+kπ?

aveck?Z

Exercice5:

Soit la fonctionhdéfinie surRpar :

h(x) = sin(2x) + cos(x)sin(x).

1.Calculonsh(-x).

h(-x) = sin(-2x) + cos(-x)sin(-x) =-sin(2x)-cos(x)sin(x) =-(sin(2x) + cos(x)sin(x)) =-h(x)

2.Déduisons la parité de la fonctionh.

De ce qui précède on a:h(-x) =-h(x).

La fonctionhest définie surRdonc pour toutx?Ron a: -x?Ret de plush(-x) =-h(x).

D"où la fonctionhest une fonction impaire.

3.Calculonsh(x+π).

h(x+π) = sin(2(x+π)) + cos(x+π)sin(x+π) = sin(2x+ 2π) + (-cos(x))(-sin(x)) = sin(2x) + cos(x)sin(x) =h(x)

4.Déduisons la périodicité de la fonctionh.

De ce qui précède, on a :h(x+π) =h(x).

hest définie surRet on sait que pour toutx?R,x+π?R. On conclut donc que la fonctionhest périodique de périodeπ. c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.4

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

Exercice6:

Soit la fonctionfdéfinie surRpar :

f(x) = cos(4x)-cos(x)cos(2x)

1.Calculonsf(-x).

f(-x) = cos(-4x)-cos(-x)cos(-2x) = cos(4x)-cos(x)cos(2x)carcos(-X) = cos(X) =f(x)

2.Déduisons la parité de la fonctionf.

De ce qui précède on a :f(-x) =f(x).

La fonctionfest définie surRdonc pour toutx?Ron a: -x?Ret de plusf(-x) =f(x).

D"où la fonctionfest une fonction paire.

3.Calculonsf(x+ 2π).

f(x+ 2π) = cos[4(x+ 2π)]-cos(x+ 2π)cos[2(x+ 2π)] = cos(4x+ 2×4π)-cos(x)cos(2x+ 2×2π) = cos(4x)-cos(x)cos(2x) =f(x)

4.Déduisons la périodicité de la fonctionf.

De ce qui précède, on a:f(x+ 2π) =f(x).

fest définie surRet on sait que pour toutx?R,x+ 2π?R. On conclut donc que la fonctionfest une fonction périodique de période

2π.

Exercice7:

Montrons que pour tout réelxon a:

1.(cos(x) + sin(x))2+ (cos(x)-sin(x))2= 2

On a: c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.5

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

(cos(x) + sin(x))2= cos2(x) + 2cos(x)sin(x) + sin2(x) (cos(x)-sin(x))2= cos2(x)-2cos(x)sin(x) + sin2(x)

Ainsi on a:

(cos(x) + sin(x))2+ (cos(x)-sin(x))2 = cos

2(x) + 2cos(x)sin(x) + sin2(x)

+ cos

2(x)-2cos(x)sin(x) + sin2(x)

= 2cos

2(x) + 2sin2(x)

= 2(cos

2(x) + sin2(x))

= 2×1carcos2(x) + sin2(x) = 1 = 2

Ce qu"il fallait montrer.

2.(cos(x) + sin(x))2-(cos(x)-sin(x))2= 4cos(x)sin(x)

(cos(x) + sin(x))2-(cos(x)-sin(x))2 = cos

2(x) + 2cos(x)sin(x) + sin2(x)

-(cos2(x)-2cos(x)sin(x) + sin2(x)) = cos

2(x) + 2cos(x)sin(x) + sin2(x)

-cos2(x) + 2cos(x)sin(x)-sin2(x) = 4cos(x)sin(x)

Ce qu"il fallait montrer.

Exercice8:

On considère la fonctiongdéfinie pour tout réelxparg(x) = 1-2cos(x).

1.Montrons que la fonctiongest périodique et précisons sa période.

La fonctiongest définie surRet pourx?R, on ax+ 2π?R. De plus,g(x+ 2π) = 1-2cos(x+ 2π) = 1-2cos(x) =g(x). D"où la fonctiongest une fonction périodique de période2π.

2.a.Représentons à l"aide de la calculatrice la fonctiongsur l"intervalle

[-2π;2π]. c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.6

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

b.Donnons à partir d"une lecture graphique une conjecture de la parité deg. La courbe représentative de la fonctiongest symétrique par rapport à l"axe des ordonnées donc la fonctiongest une fonction paire. c.Prouvons la conjecture précédente.La fonctiongest définie surRet pour toutx?R, on a-x?R.

De plus,g(-x) = 1-2cos(-x) = 1-2cos(x) =g(x).

D"où la fonctiongest bien une fonction paire.

?2≥ -2cos(x)≥ -2

Ce qu"il fallait montrer.

4.Donnons à partir du graphe degles solutions de l"équationg(x) = 3

dans l"intervalle[-2π;2π]. A partir du graphe de la fonctiongon déduit que l"équationg(x) = 3 admet dans l"intervalle[-2π;2π]deux solutions que sont:-πetπ. c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.7

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

5.Résolvons dans l"intervalle[-2π;2π]l"équationg(x) = 3et comparons

avec le résultat précédent. g(x) = 3?1-2cos(x) = 3 ? -2cos(x) = 2 ?cos(x) =-1 Les valeurs dexappartenant à l"intervalle[-2π;2π]et vérifiant la con- ditioncos(x) =-1sont :x=-πetx=π. Ainsi, les nombres réels-πetπsont solutions de l"équationg(x) = 3. D"où la confirmation du résultat de la question précédente.

Exercice9:

Donnons l"expression de la dérivée de chacune des fonctions définies et dériv- ables surRci-dessous.

1.f(x) =-5cos(x)-3x.

Pour toutx?R,f?(x) = 5sin(x)-3

2.g(x) = 3x2sin(x)

quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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Chapitre 8: Trigonométrie (II)

TRIGONOMÉTRIE (II)

CORRECTION DES EXERCICES

ÉTUDES DE FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Exercice1:

1.La fonctionf1est une fonction paire car sa courbe représentativeC1est

2.La fonctionf2est une fonction impaire car sa courbe représentativeC2

3.La fonctionf3n"est ni paire, ni impaire car sa courbe représentativeC3

à l"origine du repère.

4.La fonctionf4est une fonction paire car sa courbe représentativeC4est

Exercice2:

1.La fonctionf1est une fonction impaire car sa courbe représentativeC1

2.La fonctionf2est une fonction paire car sa courbe représentativeC2est

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

3.La fonctionf3est une fonction paire car sa courbe représentativeC3est

4.La fonctionf4est une fonction paire car sa courbe représentativeC4est

Exercice3:

1.Donnons le domaine de définition def.

SoitDfle domaine de définition def.

Ainsi4 + cos(x)>0pour toutx?R.

D"oùDf=R

2.Calculonsf(-x).

4 + cos(-x)

4 + cos(x)carcos(-x) = cos(x)

3.Déduisons la parité de la fonctionf.

De ce qui précède on a:f(-x) =f(x).

4.Montrons quefest une fonction périodique, de période2π.

Pour toutx?R,x+ 2π?Ret on a:

4 + cos(x+ 2π)

4 + cos(x)carcos(x+ 2π) = cos(x)

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

Exercice4:

Soitgune fonction définie surRpar

2cos(2x) + 1.

1.Étudions la parité de la fonctiongsurR.

Pour toutx?R,-x?Ret on a:

2cos(-2x) + 1 =⎷2cos(2x) + 1 =g(x).

D"où la fonctiongest une fonction paire.

2.Étudions la périodicité de la fonctiongsurR.

2cos(2x) + 1

2cos(2x+ 2π) + 1carcos(2x) = cos(2x+ 2π)

2cos(2(x+π)) + 1

3.Résolvons l"équationg(x) = 0surR.

2cos(2x) + 1 = 0

4+ 2kπou2x=-3π4+ 2kπaveck?Z

8+kπoux=-3π8+kπaveck?Z

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

SoitSl"ensemble solution de l"équationg(x) = 0

8+kπ;3π8+kπ?

Exercice5:

Soit la fonctionhdéfinie surRpar :

1.Calculonsh(-x).

2.Déduisons la parité de la fonctionh.

De ce qui précède on a:h(-x) =-h(x).

D"où la fonctionhest une fonction impaire.

3.Calculonsh(x+π).

4.Déduisons la périodicité de la fonctionh.

De ce qui précède, on a :h(x+π) =h(x).

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

Exercice6:

Soit la fonctionfdéfinie surRpar :

1.Calculonsf(-x).

2.Déduisons la parité de la fonctionf.

De ce qui précède on a :f(-x) =f(x).

D"où la fonctionfest une fonction paire.

3.Calculonsf(x+ 2π).

4.Déduisons la périodicité de la fonctionf.

De ce qui précède, on a:f(x+ 2π) =f(x).

2π.

Exercice7:

Montrons que pour tout réelxon a:

1.(cos(x) + sin(x))2+ (cos(x)-sin(x))2= 2

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

Ainsi on a:

2(x) + 2cos(x)sin(x) + sin2(x)

2(x)-2cos(x)sin(x) + sin2(x)

2(x) + 2sin2(x)

2(x) + sin2(x))

Ce qu"il fallait montrer.