S Métropole septembre 2018 PDF On considère la fonction

LES FONCTIONS DE REFERENCE

1) Compléter le tableau de valeurs suivant : x. 0. 2 g(x). 2) Tracer la représentation graphique de g. Exercice 5. On considère la fonction affine f définie par

DÉRIVATION

Exemple : On considère la fonction trinôme f définie sur R par f (x) = x2 + 3x ?1. Page 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.

TRIGONOMÉTRIE (II) CORRECTION DES EXERCICES

La fonction f est définie sur R donc pour tout x ? R on a: On considère la fonction g définie pour tout réel x par g(x)=1 ? 2 cos(x).

Correction (très rapide) des exercices de révision

Exercice 2 : On considère la fonction f définie par sa courbe représentative ci- dessous : Détermine par lecture graphique : a) Le domaine de définition de f.

Etude dune fonction avec exponentielle

On considère la fonction numérique f définie sur ? par : f (x)x. 2 e x1 x. 2. 2 . Le graphique ci-après est la courbe représentative de cette fonction telle

DÉRIVATION

On considère la fonction trinôme f définie sur ? par ( ) = +2 ?3. Déterminer une équation de tangente à la courbe représentative de f au point A de

Spécialité Centres étrangers 2

On considère la fonction f définie sur R par : f (x)=ex+a x+be?x où a et b sont des nombres réels que l'on propose de déterminer dans cette partie. Dans le

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On considère la fonction f définie sur R par : f (x)=. 1. 2 x2?x+. 3. 2. Soit a un réel positif. On définit la suite (un) par u0=a et pour tout entier naturel

Spécimen - 1

On considère la fonction f définie sur R par f (x) = x. 3. +7x. 2. +11x ?19. On note C sa courbe représentative dans un repère (O ;.

Correction DST 7 On considère la fonction f définie sur ? par f (x

Bilan : f est définie sur ? mais - f étant 2? -périodique on l'étudie sur un intervalle d'amplitude 2? par exemple [??;?] .

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Exercice 4 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 5 points On considère la fonction f définie sur R par : f(x)=1

2x2-x+3

Soit a un réel positif.

On définit la suite (un) par u0=a et, pour tout entier naturel n : un+1=f(un). Le but de cet exercice est d'étudier le comportement de la suite (un) lorsque n tend vers +∞, suivant diffé- rentes valeurs de son premier terme u0=a.

1. À l'aide de la calculatrice, conjecturer le comportement de la suite (un)lorsque n tend vers +∞, pour

a=2,9 puis pour a=3,1.

2. Dans cette question, on suppose que la suite (un) converge vers un réel L.

2.a. En remarquant que

un+1=1 2un

2-un+3

2, montrer que L=1

2L2-L+3

2.b. Montrer que les valeurs possibles de L sont 1 et 3.

3. Dans cette question, on prend a=2,9.

3.a. Montrer que f est croissante sur l'intervalle

[1;+∞[3.b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : 1 ⩽ un+1 ⩽ un.

3.c. Montrer que

(un) converge et déterminer sa limite.

4. Dans cette question, on prend a=3,1, et on admet que la suite

(un) est croissante.

4.a. À l'aide des questions précédentes précédentes montrer que la suite (un) est croissante.

4.b. En déduire le comportement de la suite (un) lorsque tend vers +∞.

4.c. L'algorithme suivant calcule le plus petit rang p pour lequel up > 106.

Recopier et compléter cet algorithme.

P est un nombre entier et U est un nombre réel.

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CORRECTION

1. u0=2,9 on calcule les premiers termes de la suite et on donne les résultats sous la forme d'un tableau.

On arrondit les résultats à 10-6.

Conjecture :

limn→+∞un=1

uo=3,1, on calcule les premiers termes de la suite et on donne les résultats sous la forme d'un tableau.

On arrondit les premiers résultats à 10-3 puis à l'unité et pour le dernier résultat on utilise la notation

scientifique.

Conjecture :

limn→+∞ un=+∞2. On suppose que limn→+∞ un=L2.a. On a donc limn→+∞un+1=L et limn→+∞ (0,5un

2-un+1,5)=0,5L2-L+1,5 Conséquence

L=0,5L2-L+1,5=1

2L2-L+3

2 2.b. L=1

2L2-L+3

2 ⇔ 2L=L2-2L+3 ⇔ L2-4L+3=0

Δ=16-4×3×1=4=22

L'=4-2

2=1 et L''=4+2

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3. a=2,93.a. Pour tout nombre réel x,

f(x)=1

2x2-x+3

2. f est dérivable sur R . f'(x)=x-1 f'(x) ⩾ 0 ⇔ x ⩾ 1 donc f est croissante sur [1;+∞[

3.b. On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n :

1 ⩽ un+1 ⩽ un.

Initialisation

u0=2,9 u1=2,805 (résultat de la première question) donc 1 ⩽ u1 ⩽ u0.

Hérédité

Pour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose que :

1 ⩽ un+1 ⩽ un et on doit démontrer que 1 ⩽ un+2 ⩽ un+1.

1 ⩽ un+1 ⩽ un et f est croissante sur [1;+∞[ donc f(1) ⩽ f(un+1) ⩽ f(un) Or

f(1)=1 et f(un)=un+1 et f(un+1)=un+2 on obtient 1 ⩽ un+2 ⩽ un+1.

Conclusion

Le principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n, on a :

1 ⩽ un+1 ⩽ un.

3.c. Pour tout entier naturel n,

1 ⩽ un+1 ⩽ un donc la suite (un) est décroissante et minorée par 1 donc

la suite (un) est convergente. D'après le résultat de la question 2.b. la limite est égale à 1 ou 3.

Or pour tout entier naturel n,

un ⩽ u0=2,9 donc la limite de la suite (un) ne peut être égale à 3.

Conséquence

limn→+∞un=1 4. a=3,14.a. On suppose que la suite que la suite (un) est croissante donc pour tout entier naturel n, un ⩾ u0=3,1 donc la suite (un) ne peut pas admettre pour limite 1 et 3.

Conséquence

La suite

(un) n'est pas convergente. Sachant qu'elle est croissante, elle n'est pas majorée.

4.b. Toute suite croissante non majorée diverge vers

limn→+∞ un=+∞4.c.

Remarque

On propose de programmer l'algorithme donné en utilisant le logiciel Python. On ajoute dans le programme l'instruction permettant d'afficher le résultat.

Programme (non demandé)

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Exécution

quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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2x2-x+3

Soit a un réel positif.

1. À l'aide de la calculatrice, conjecturer le comportement de la suite (un)lorsque n tend vers +∞, pour

2. Dans cette question, on suppose que la suite (un) converge vers un réel L.

2.a. En remarquant que

2-un+3

2, montrer que L=1

2L2-L+3

2.b. Montrer que les valeurs possibles de L sont 1 et 3.

3. Dans cette question, on prend a=2,9.

3.a. Montrer que f est croissante sur l'intervalle

3.c. Montrer que

4. Dans cette question, on prend a=3,1, et on admet que la suite

4.a. À l'aide des questions précédentes précédentes montrer que la suite (un) est croissante.

4.b. En déduire le comportement de la suite (un) lorsque tend vers +∞.

4.c. L'algorithme suivant calcule le plus petit rang p pour lequel up > 106.

Recopier et compléter cet algorithme.

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CORRECTION

1. u0=2,9 on calcule les premiers termes de la suite et on donne les résultats sous la forme d'un tableau.

On arrondit les résultats à 10-6.

Conjecture :

Conjecture :

2-un+1,5)=0,5L2-L+1,5 Conséquence

L=0,5L2-L+1,5=1

2L2-L+3

2L2-L+3

2 ⇔ 2L=L2-2L+3 ⇔ L2-4L+3=0

Δ=16-4×3×1=4=22

L'=4-2

2=1 et L''=4+2

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3. a=2,93.a. Pour tout nombre réel x,

2x2-x+3

3.b. On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n :

1 ⩽ un+1 ⩽ un.

Initialisation

Hérédité

1 ⩽ un+1 ⩽ un et on doit démontrer que 1 ⩽ un+2 ⩽ un+1.

1 ⩽ un+1 ⩽ un et f est croissante sur [1;+∞[ donc f(1) ⩽ f(un+1) ⩽ f(un) Or

Conclusion

1 ⩽ un+1 ⩽ un.

3.c. Pour tout entier naturel n,

1 ⩽ un+1 ⩽ un donc la suite (un) est décroissante et minorée par 1 donc

Or pour tout entier naturel n,

Conséquence

Conséquence

La suite

4.b. Toute suite croissante non majorée diverge vers

Remarque

Programme (non demandé)

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Exécution