Etude dune fonction avec exponentielle PDF

LES FONCTIONS DE REFERENCE

1) Compléter le tableau de valeurs suivant : x. 0. 2 g(x). 2) Tracer la représentation graphique de g. Exercice 5. On considère la fonction affine f définie par

DÉRIVATION

Exemple : On considère la fonction trinôme f définie sur R par f (x) = x2 + 3x ?1. Page 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.

TRIGONOMÉTRIE (II) CORRECTION DES EXERCICES

La fonction f est définie sur R donc pour tout x ? R on a: On considère la fonction g définie pour tout réel x par g(x)=1 ? 2 cos(x).

Correction (très rapide) des exercices de révision

Exercice 2 : On considère la fonction f définie par sa courbe représentative ci- dessous : Détermine par lecture graphique : a) Le domaine de définition de f.

Etude dune fonction avec exponentielle

On considère la fonction numérique f définie sur ? par : f (x)x. 2 e x1 x. 2. 2 . Le graphique ci-après est la courbe représentative de cette fonction telle

DÉRIVATION

On considère la fonction trinôme f définie sur ? par ( ) = +2 ?3. Déterminer une équation de tangente à la courbe représentative de f au point A de

Spécialité Centres étrangers 2

On considère la fonction f définie sur R par : f (x)=ex+a x+be?x où a et b sont des nombres réels que l'on propose de déterminer dans cette partie. Dans le

S Métropole septembre 2018

On considère la fonction f définie sur R par : f (x)=. 1. 2 x2?x+. 3. 2. Soit a un réel positif. On définit la suite (un) par u0=a et pour tout entier naturel

Spécimen - 1

On considère la fonction f définie sur R par f (x) = x. 3. +7x. 2. +11x ?19. On note C sa courbe représentative dans un repère (O ;.

Correction DST 7 On considère la fonction f définie sur ? par f (x

Bilan : f est définie sur ? mais - f étant 2? -périodique on l'étudie sur un intervalle d'amplitude 2? par exemple [??;?] .

Etude d'une fonction avec exponentielle

On considère la fonction numérique f définie sur ? par : f?x??x2ex?1?x2 2. Le graphique ci-après est la courbe représentative de cette fonction telle que l'affiche une calculatrice dans un repère orthonormal.

Conjectures

A l'observation de cette courbe, quelles conjectures pensez-vous pouvoir faire concernant :

1.L e sens de variation de f sur [-3; 2] ?

f semble être croissante sur [-3; 2].

2.L a position de la courbe par rapport à l'axe (x'x) ?

Sur [-3; 0] la courbe semble être en dessous de l'axe (x'x). Sur [0; 2] la courbe semble être au dessus de l'axe (x'x).

Dans la suite de ce problème, on se propose de valider ou non ces conjectures et de les compléter.

Partie A- Contrôle de la première conjecture.

1. Calculer f '(x) pour tout réel x, et l'exprimer à l'aide de l'expression g(x) où g est la fonction

définie sur ? par : g?x???x?2?ex?1?1 f' ?x??2xex?1?x2ex?1?x?x?2ex?1?xex?1?1??x??x?2?ex?1?1??xg?x?.

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2. Etude du signe de g(x) pour x réel

a. Calculer les limites de g(x) quand x tend vers +?, puis quand x tend vers -?. Lorsque x tend vers +?, x+2 tend vers +? et ex-1 tend vers +?, donc g(x) tend vers +?. On a g?x??xex?1?2ex?1?1. Lorsque x tend vers -?, ex-1 tend vers 0.

Pour trouver la limite de xex-1, posons X = -x.

lim x???X??? et xex?1??Xe?X?1??Xe?Xe?1??e?1X eX, donc lim x???xex?1?lim

X????e?1X

eX?0 car lim X??? eX

X??? et donc lim

X??? X eX?0. Finalement, lorsque x tend vers -?, ex-1 et xex-1 tendent vers 0, donc g(x) tend vers -1. b. Calculer g'(x) et étudier son signe suivant les valeurs de x. g'?x??ex?1??x?2?ex?1??x?3?ex?1. Comme ex-1 est positif, g' (x) a le même signe que x + 3. Ainsi g' (x) est négatif pour x < -3 et positif pour x > -3. c.E n déduire les variations de la fonction g, puis dresser son tableau de variation. Comme g(-3) = -e-4 - 1, on déduit de ce qui précède la tableau de variation suivant :

d. Montrer que l'équation g(x) = 0 possède une unique solution dans ?. On note ? cette solution.

Montrer que 0,20 < ? < 0,21.

Sur ]-?; -3] g(x) décroit de -1 à -e-4 - 1, et reste donc toujours négative; il n'y a pas de

solutions de g(x) = 0 sur cet intervalle. Sur [-3; +?[, g(x) est continue, croissante et change de signe, il existe donc un unique réel ? solution de g(x) = 0. Comme g(0,20) < 0 et g(0,21) > 0, on a bien 0,20 < ? < 0,21. e. Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x. L'étude des variations de g montre que si x < ?, alors g(x) < 0, et si x > ?, alors g(x) > 0.

3. Sens de variation de la fonction f sur ?

a. Etudier, suivant les valeurs de x, le signe de f '(x). Comme f '(x) = xg(x), on peut faire le tableau de signes suivant :

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x g'(x) g(x)-∞+∞-3 0_+ -1+∞ ?e?4?1 xx g(x) f '(x)0 0 0 0 0_ _ __ b. En déduire le sens de variation de la fonction f. Le signe de f '(x) nous permet de dire que f est croissante sur ]- ?; 0[, décroissante sur ]0; ?[ et croissante sur ]?; +?[. c. Que pensez-vous de votre première conjecture ? La première conjecture n'est pas validée. La figure ne permettait pas de distinguer la décroissance de f sur ]0; ?[. Partie B- Contrôle de la deuxième conjecture On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal ?O;?i,?j?. On se propose de contrôler la position de la courbe par rapport à l'axe (x'x).

1. Montrer que

f?????? 3

2???2?.

Comme g(?) = 0,

???2?e??1?1?0, donc e??1?1??2. On en déduit que : f?????2e??1?? 2 2?? 2 ??2?? 2

2?2?2??2???2?

2???2????

2???2?.

2. On considère la fonction h définie sur l'intervalle [0; 1] par :

h?x???x 3

2?x?2?

a. Calculer h'(x) pour x ? [0; 1], puis déterminer le sens de variation de h sur [0; 1]. h'?x???3x2?2?x?2??2x3

4?x?2?2?x2??x?3?

?x?2?2. h'(x) a donc le signe de -x - 3 et est négatif sur [0; 1]. h est décroissante sur [0; 1]. b. En déduire un encadrement de f (?). Comme 0,20 < ? < 0,21 et comme h est décroissante sur [0; 1], on a h(0,21) < h(?) < h(0,20), donc -0,0021 < h(?) < -0,0018.

3. a. Déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe C avec l'axe (x'x).

Ces abscisses sont solutions de l'équation f (x) = 0, soit x2ex?1?x 2

2?0. Ceci est équivalent

x2?ex?1?1

2??0. Donc, soit x = 0, soit ex?1?12.

ex?1?12 ? ex?e2. Cette équation a une unique solution ? située entre 0,30 et 0,31. L'équation f (x) = 0 a donc deux solutions qui sont 0 et ?. b. Préciser alors la position de la courbe C par rapport à l'axe des abscisses. f (x) > 0 ? x2?ex?1?1

2??0 ? ex?1?12?0 ? ex?e2 ? x > ?.

Ainsi la courbe est en dessous de l'axe des abscisses pour x < ? et au dessus de l'axe des abscisses pour x > ?. c. Que pensez-vous de votre deuxième conjecture ?

La deuxième conjecture n'est pas validée. La figure ne laisse pas apparaître que la courbe est

sous l'axe des abscisses sur ]0; ?[.

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Partie C- Tracé de la courbe.Compte tenu des résultats précédents, on se propose de tracer le partie ? de C correspondant à

l'intervalle [-0,2; 0,4], dans le repère orthogonal ?O;?i,?j?, avec les unités suivantes :

Sur l'axe (y'y), 1cm représente 0,05.

Sur l'axe (x'x), 1cm représente 0,001.

1. Recopier le tableau suivant et compléter celui-ci à l'aide de la calculatrice en indiquant les valeurs

approchées sous la forme n.10-4 (n entier relatif). x-0,20- 0,15- 0,10- 0,050, 000, 050, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 40

f(x)-0,0080- 0,0041- 0,0017- 0,00040 ,0000- 0,0003- 0,0009- 0,0016- 0,0020- 0,0017- 0,00040 ,00270 ,0078

2. Tracer alors ? dans le repère choisi.

On obtient la courbe suivante :

Bac S Inde, avril 2003

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quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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Etude d'une fonction avec exponentielle

Conjectures

1.L e sens de variation de f sur [-3; 2] ?

2.L a position de la courbe par rapport à l'axe (x'x) ?

1. Calculer f '(x) pour tout réel x, et l'exprimer à l'aide de l'expression g(x) où g est la fonction

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2. Etude du signe de g(x) pour x réel

Pour trouver la limite de xex-1, posons X = -x.

X????e?1X

X??? et donc lim

Montrer que 0,20 < ? < 0,21.

3. Sens de variation de la fonction f sur ?

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1. Montrer que

2???2?.

Comme g(?) = 0,

2?2?2??2???2?

2???2????

2???2?.

2. On considère la fonction h définie sur l'intervalle [0; 1] par :

2?x?2?

4?x?2?2?x2??x?3?

3. a. Déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe C avec l'axe (x'x).

2?0. Ceci est équivalent

2??0. Donc, soit x = 0, soit ex?1?12.

2??0 ? ex?1?12?0 ? ex?e2 ? x > ?.

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Sur l'axe (y'y), 1cm représente 0,05.

Sur l'axe (x'x), 1cm représente 0,001.

1. Recopier le tableau suivant et compléter celui-ci à l'aide de la calculatrice en indiquant les valeurs

2. Tracer alors ? dans le repère choisi.

On obtient la courbe suivante :

Bac S Inde, avril 2003

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