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GENERALITES SUR LES FONCTIONS

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  • Quels sont les 3 types de fonctions ?

    Une fonction est un processus (une machine) qui à un nombre associe un unique nombre. Si on appelle f la fonction et x le nombre de départ, alors : x est la variable ; f ( x ) f(x) f(x) est le nombre associé à x par la fonction f.

  • Comment expliquer les fonctions ?

    Il existe huit fonctions principales :

    sujet. ,complément d'objet ( direct. , indirect. , second. ) du verbe,complément circonstanciel. ,complément d'agent. ,,attribut. (du sujet ou du complément d'objet direct),épithète. ,.

  • Quelles sont les différents types de fonction ?

    Si l'on veut trouver l'ensemble de définition, autrement dit l'ensemble des x, il suffit de lire graphiquement l'ensemble des abscisses des points de la courbe représentant f.

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS

Partie 1 : Définitions et notations

1) Définition

Exemple :

On considère la fonctionqui exprime l'aire d'un rectangle de dimensions 3 et . Une expression littérale deest donc : =3.

Définition et notation :

Une fonctionassocie à tout nombre réel un unique nombre réel, noté).

On note également : ↦ ) ou =).

2) Image et antécédent

Exemple :

Dire que : (2) = 5 signifie que : 2 ⟼ 5

On dit que :

- l'image de 2 par la fonction est 5. - un antécédent de 5 par est 2.

Remarques :

- Un nombre possède une unique image. - Cependant, un nombre peut posséder plusieurs antécédents. Méthode : Déterminer l'image d'une fonction par calcul

Vidéo https://youtu.be/8j_4DHWnRJU

Soit la fonction définie par )= -2.

Calculer l'image de 6 par la fonction .

Correction

-2 6 =6 -2 6 =36-2 6 =34

L'image de 6 par la fonction est 34.

Antécédent de 5 Image de 2

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Déterminer un antécédent par calcul

Vidéo https://youtu.be/X0oOBo65YpE

Soit la fonction définie par

=2-3. Déterminer un antécédent de -5 par la fonction .

Correction

On cherche un antécédent de -5 donc -5 est une image.

On peut donc écrire :

=-5

Soit : 2-3=-5

On résout ainsi l'équation :

2=3-5

2=-2

=-1

L'antécédent de -5 par est donc -1.

Partie 2 : Représentation graphique

Méthode : Représenter graphiquement une fonction

Vidéo https://youtu.be/xHJNdrhzY4Q

Soit la fonction définie par )= 5- On donne un tableau de valeurs de la fonction : 1

1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

4

5,25 6 6,25 6 5,25 4 2,25

Tracer, dans un repère, la courbe représentative de la fonction .

Correction

On représente les données du tableau de

valeurs dans un repère tel qu'on trouve en abscisse les valeurs de et en ordonnée les valeurs de ) correspondantes.

En reliant les points, on obtient une

courbe.

Tout point de la courbe possède donc des

coordonnées de la forme ( ; )). ) (1 ; 4)

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Remarque :

Les images ) se lisent sur l'axe des ordonnées () donc la courbe représentative de la

fonction définie par )= 5- peut se noter = 5- De façon générale, l'équation d'une courbe se note = En latin, " curbus » désignait ce qui est courbé. On retrouve le mot en ancien français sous la forme de " corbe ». Le corbeau est ainsi appelé à cause de la forme de son bec. Partie 3 : Résolution graphique d'équations et d'inéquations Méthode : Résoudre graphiquement une équation

Vidéo https://youtu.be/FCUd2muFEyI

On a représenté la courbe de la fonction définie par =5- Résoudre graphiquement l'équation 5- =4.

Correction

L'équation 5-

=4 peut s'écrire )=4. Ce qui revient à trouver des antécédents de 4 par la fonction . On " part » de l'ordonnée 4, on " rejoint » la courbe et on lit les solutions sur l'axe des abscisses : =1 ou =4.

On peut noter : =

1;4

Remarques :

- Par lecture graphique, les solutions obtenues sont approchées. - L'équation )=7, par exemple, ne semble pas avoir de solution car la courbe représentée ne possède pas de point d'ordonnée 7. - Graphiquement, on ne peut pas être certain que les solutions qui apparaissent sont les seules. Il pourrait y en avoir d'autres au-delà des limites de la représentation graphique tracée.

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Résoudre graphiquement une inéquation

Vidéo https://youtu.be/3_6LcpumUh4

Dans la méthode précédente, on a représenté la courbe de la fonction définie par

=5- Résoudre graphiquement l'inéquation 5- >4.

Correction

L'inéquation 5-

>4 peut s'écrire )>4. Ce qui revient à déterminer les points de la courbe dont l'ordonnée est strictement supérieure à 4. On lit les solutions correspondantes sur l'axe des abscisses : est strictement compris entre 1 et 4.

On peut noter : =

1;4

Partie 4 : Variations d'une fonction

1) Taux de variation

Définition :

Le taux de variation de la fonctionentre et est le nombre :

Propriété : Le taux de variation deentre et est la pente de la droite passant par les

points d'abscisses et de la courbe de . Méthode : Déterminer un taux de variation d'une fonction

Vidéo https://youtu.be/xd0zEwVOmHE

Soitla fonction définie sur ℝ par : =2 +1. a) Déterminer le taux de variation entre 1 et 3. b) Interpréter géométriquement ce taux de variation.

Correction

a) Si =2 +1, alors le taux de variation deentre 1 et 3 est égal à :

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 3 -1) 3-1

2×3

+1-

2×1

+1 2 19-3 2 =8

b) Le taux de variation deentre 1 et 3 est égal à 8 donc la pente de la droite passant par les

points d'abscisses 1 et 3 est égale à 8.

2) Fonctions monotones

Définition : On dit qu'une fonctionest monotone sur un intervalle I, siest : - soit croissante sur I, - soit décroissante sur I, - soit constante sur I.

Propriétés :

- Si le taux de variation d'une fonctionentre deux nombres quelconques d'un intervalle I est positif, alorsest strictement croissante sur I. - S'il est négatif,est strictement décroissante sur I. - S'il est nul,est constante sur I. Méthode : Étudier les variations d'une fonction à l'aide du taux de variation

Vidéo https://youtu.be/tqtZeVVJ3YU

Soitla fonction définie sur ℝ par : =5-3. Démontrer queest strictement croissante sur ℝ.

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Correction

On considère deux nombres quelconques et . Le taux de variation deentre et est égal à :

5-3-

5-3

5-5

5 =5

Or, 5 > 0 donc

> 0 et doncest strictement croissante sur ℝ.

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