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Université du Maine

Licence 1

Analyse

Alexandre POPIER

Année: 2009-2010

Table des matières

Introduction 1

1 Nombres réels et fonctions 3

1.1 Opérations sur les nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Limite et continuité 13

2.1 Limite d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Propriétés des limites et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Continuité d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Suites 19

3.1 Limite d"une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Théorèmes sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Suites définies par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 Des exemples importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.5 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Borne supérieure 27

4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Application aux suites et fonctions croissantes . . . . . . . . . . . . . . . 29

5 Fonctions continues sur un intervalle 31

5.1 Image d"un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2 Image d"un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3 Fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6 Dérivée d"une fonction 35

6.1 Dérivée en un point et fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.2 Calcul des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.3 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.4 Extremum local d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.5 Le théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7 Fonctions usuelles 43

7.1 Fonctions polynomiales et fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . 43

7.2 Fonctions logarithme, puissance et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . 44

7.3 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.4 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.5 Fonctions trigonométriques réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.6 Fonctions hyperboliques et leurs réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8 Équations différentielles 59

8.1 Structure de l"ensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8.2 Cas du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

8.3 Cas du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

8.3.1 Résolution de (8.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

8.3.2 Résolution de (8.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

9 Formule de Taylor 63

9.1 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

9.2 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

9.3 Inégalité de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

10 Développements limités 65

10.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

10.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

10.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

10.2 Existence des développements limités, formule de Taylor-Young . . . . . 68

10.3 Exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10.3.1 Fonction polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10.3.2 Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10.3.3 Fonctionssinetcos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10.3.4 Fonctions puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

10.4 Intégration des développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

10.4.1 Application aux fonctions trigonométriques réciproques . . . . . . 70

10.5 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10.5.1 Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10.5.2 Multiplication par scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10.5.3 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10.5.4 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10.5.5 Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.6 Applications des développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.6.1 À la recherche des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.6.2 À l"étude des branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

10.6.3 Étude locale au voisinage d"un point . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Formulaire 77

Alphabet grec 85

Introduction

Introduction

Le texte qui suit constitue un résumé du cours d"analyse, première partie, du premier semestre pour les étudiants de licence première année. Il ne saurait se substituer à un exposé complet et commenté et encore moins à la pratique d"exercices d"application. Il servira néanmoins de référence pour tous les groupes et d"aide-mémoire en ce qui concerne les notions et outils de base de l"analyse. À la fin de ce polycopié, se trouvent un formulaire (avec les formules de trigonomé- trie, de dérivation et d"intégration) ainsi qu"un alphabet grec. Le chapitre 7 recense les fonctions les plus classiques en mathématiques. Certaines ont été vues au lycée (fonc- tions polynomiales, logarithmique, exponentielle, cosinus ou sinus) et leurs principales

propriétés seront considérées comme connues dès le début du semestre (lire certains

passages peut s"avérer utile); d"autres seront introduites plus tard dans le semestre. Ces notes de cours sont évidemment une version préliminaire et nous serions recon- naissant à tout lecteur de nous faire part des fautes qu"il y aura détectées à l"adresse suivante: apopier@univ-lemans.fr.

A. Popier1

Introduction

2A. Popier

Chapitre 1

Nombres réels et fonctions

Au collège, puis au lycée vous avez rencontré les nombres réels sous des formes différentes. En voici quelques exemples. - Les nombresentiers naturelsourelatifs. - Les nombresdécimauxa10noùaetnsont des entiers relatifs; par exemple

3105et13102sont des nombres décimaux.

- Les nombresrationnels, c"est-à-dire de la formeab oùaest un entier relatif etbun entier positif non nul. Un nombre décimal est un nombre rationnel. - Les nombres définis par leurdéveloppement décimal, comme 0,33..., où les points de suspension signifient que toutes les décimales valent 3. Un autre exemple est -4,896461616161..., où les trois points signifient que la suite des décimales continue comme indiquée, c"est-à-dire en mettant alternativement 6 et 1. En général on ne voit pas sur les premières décimales de règle permettant de trouver les décimales suivantes. Ainsi le nombrequi est le rapport de la circonférence d"un cercle à son diamètre est représenté par un développement décimal illimité: = 3;1415926535897932384626433832795028841971693993751 Ici les points de suspension indiquent simplement qu"il n"y a pas((d"arrêt)), ni de règle simple pour obtenir les décimales suivantes. En revanche les nombres décimaux ont un développement qui se termine par des zéros:13102=0;130000:::. La réciproque est vraie: si un développement décimal se termine par des zéros alors le nombre est décimal. Un nombre réel peut être représenté par un développement décimal. Mais il existe d"autres((représentations)). - Les nombres définis par des opérations à partir d"autres nombres réels; ainsi 1+p5 2

3p7ou(137)(25).

- Des nombres particuliers, fréquents utilisés en mathématiques (ou en physique, mécanique, etc.), qui ont une notation spéciale: le nombreou encore le nombre e, base du logarithme népérien.

Notations:dans tout ce cours,

-Nest l"ensemble des nombres entiers positifs ou nuls,

A. Popier3

CHAPITRE 1. NOMBRES RÉELS ET FONCTIONS

-Zl"ensemble des entiers relatifs, -Dl"ensemble des nombres décimaux, -Ql"ensemble des nombres rationnels, -Rl"ensemble des nombres réels.

Ces ensembles vérifient

NZDQR:

Ceci signifie qu"un nombre entier positif est un nombre entier, que tout entier est décimal, tout décimal est rationnel, tout rationnel est réel. Autrement dit les ensembles sontinclus les uns dans les autres.

1.1 Opérations sur les nombres réels

On ne donnera pas ici de définition précise de l"ensembleR. Néanmoins les propriétés suivantes sont à connaître. Théorème 1.1Rest un corps commutatif qui contient le corps des nombres rationnels Q. L"addition et la multiplication deRprolongent celles deQ. Ce théorème résume en deux phrases les règles de calcul suivantes, qui sont celles que vous avez toujours pratiquées: a+b=b+a;0 +a=a; a+b= 0,a=b; a+ (b+c) = (a+b) +c; ab=ba;1a=a; ab= 1,a= 1=b; a(bc) = (ab)c; a(b+c) =ab+ac; ab= 0,(a= 0oub= 0): On peut ajouter, soustraire, multiplier et diviser par un nombre réel différent de zéro, sans se soucier de l"ordre dans lequel sont effectuées les opérations.

L"ordre surR

Tout nombre réel non nul est (strictement) positif ou (strictement) négatif. On note R +l"ensemble des nombres réels positifs ou nul etRles nombres négatifs ou nul. Sia etbsont deux nombres réels, on dit que Définition 1.1aestinférieur ou égal àbsi le nombrebaest positif ou nul. Cette relation se noteabouba. La seconde notation correspond en français à:best supérieur ou égal àa. Siabet a6=b, on dit queaest strictement plus petit queb, ce qui se notea < boub > a. Propriétés 1.1Rest muni d"une relation d"ordre, notée, qui satisfait par définition: -8x2R; xx(réflexivité), -8(x;y)2R2; xyetyx)x=y(anti-symétrie), -8(x;y;z)2R3; xyetyz)xz(transitivité),

4A. Popier

Opérations sur les nombres réels § 1.1

De plus cette relation vérifie également

1. l"ordre est total, i.e.8(x;y)2R2; xyouyx;

2. la relation d"ordre est compatible avec l"addition et la multiplication:

8(x;y;z)2R3; xy)x+zy+z;

8(x;y)2R2;8z2R+; xy)xzyz:

On définitle plus grand nombre des nombres réelsaetben posant max(a;b) =bsiba asiab On définit de mêmemin(a;b),le plus petit des nombresaetb.

L"ensemble des nombres réels est ditarchimédien, c"est-à-dire qu"il vérifie la propriété

suivante: Propriétés 1.2Siaest un nombre réel positif ou nul, il existe un entiern2Ntel que n > a. Une conséquence souvent utile de cette propriété est: Lemme 1.1Sia >0et sib0, il existe un entiern2Ntel quen1etbn < a. Elle exprime l"idée intuitive suivante: siaetbsont deux nombres réels, alors en divisant le second suffisamment de fois, on le rend plus petit que le premier.

De ce lemme on déduit

Proposition 1.1Soitaun nombre réel strictement positif et soitxun nombre réel. Il existe un unique entierk2Ztel quekax <(k+ 1)a. Poura= 1, ceci donne: pour toutx2Ril existe un unique entierk2Ztel que kx < k+ 1. Autrement ditkest le plus grand entier inférieur ou égal àx. Définition 1.2 (Partie entière)Soitxun nombre réel. Le plus grand entier inférieur ou égal àxs"appelle lapartie entièredex. Nous la noteronsE(x).

Donc pour toutx2R,E(x)x < E(x) + 1, avecE(x)2Z.

L"ordre surRpermet également de définir la notion d"intervalle deR.

Définition 1.3Soientaetbdes nombres réels.

1. Siab, lesegment[a;b]est l"ensemble des nombres réelsxtels queaxb.

2. On définit lesintervalles ouverts:

- sia < b, l"intervalle]a;b[est l"ensemble des nombres réelsxtels quea < x < b; - l"intervalle]a;+1[est l"ensemble des nombres réelsxtels quea < x; - l"intervalle] 1;a[est l"ensemble des nombres réelsxtels quex < a; - l"ensemble vide;et] 1;+1[=R.

A. Popier5

CHAPITRE 1. NOMBRES RÉELS ET FONCTIONS

3. Sia < b, l"intervalle]a;b]est l"ensemble des nombres réelsxtels quea < xbet

l"intervalle[a;b[est l"ensemble des nombres réelsxtels queax < b.

4. Les intervalles] 1;a]et[a;+1[sont formés respectivement des nombres réels

xtels quexaetax. Il y a donc en tout dix((types))d"intervalles! Le segment[a;a]est l"ensemblefaget ne comporte qu"un élémenta.

Proposition 1.2SoitIun intervalle.

- Sixetysont des éléments deItels quex < y, alors on a[x;y]I. - SiIest un intervalle ouvert, alors pour tout nombrex2I, il existe un intervalle ouvert de centrexcontenu dansI. Définition 1.4Sia < b, les nombresaetbs"appellent lesextrémitésdes intervalles [a;b],]a;b],[a;b[ou]a;b[. Le nombre positifbas"appelle lalongueurde l"intervalle.

Lecentre, oumilieu, est le nombrec= (b+a)=2.

Le centrecvérifieca=bc= (ba)=2>0. Donccappartient à l"intervalle ouvert ]a;b[. Enfin nous dirons qu"un nombre réelxest compris entreaetbsi on a (abet axb) ou bien si on a (baetbxa). Avant d"aboutir à la proposition clé de ce paragraphe, nous énonçons Lemme 1.2Soientaetbdeux nombres réels tels quea < bet soitsun nombre réel tel que0< s < ba. Il existe un entiern2Ztel quens2]a;b[. Ce lemme permet de montrer la proposition suivante: Proposition 1.3Dans tout intervalle ouvert non vide, il y a une infinité de nombres rationnels et une infinité de nombres irrationnels.

Majorant, minorant

Définition 1.5SoitAune partie non vide de l"ensembleR. On dit que -Aestmajorées"il existe un nombre réelMtel quexMquel que soitxdansA; un tel nombreMs"appelle unmajorantdeA. -Aestminorées"il existe un nombre réelmtel quemxquel que soitxdansA; un tel nombrems"appelle unminorantdeA. -AestbornéesiAest majorée et minorée. Par exemple un intervalle[a;+1[est minoré (aoua1étant des minorants). Les intervalles[a;b],]a;b],[a;b[ou]a;b[sont eux bornés: ils sont minorés paraet majorés parb. SiMest un majorant deA, et siM0M, alorsM0est aussi un majorant deA. De même simest un minorant deAet sim0malorsm0est un minorant deA.

6A. Popier

Fonctions numériques § 1.2

1.2 Fonctions numériques

Dans ce cours on va d"abord s"intéresser aux applicationsf:U!RoùUest une partie deR, en général un intervalle ou une réunion d"intervalles.Uest sondomaine de définition. Remarque 1.1Lorsque nous considérerons une fonction définie sur un intervalleI, il sera sous-entendu queIn"est ni vide, ni un segment[a;a]réduit à un seul élément. Si la fonctionfest définie par une formule, il arrivera qu"on n"indique pas l"ensemble de départ. Celui-ci sera alors la plus grande partie deR(au sens de l"inclusion) où la formule a un sens. Exemple 1.1La fonctionx7!x2désigne précisément l"applicationf:R!Rtelle quef(x) =x2pour toutx2R. En revanche la fonctionx7!1=xest l"application f:] 1;0[[]0;+1[!Rqui à un nombre réel non nul associe son inverse. Les opérations entre nombres réels s"étendent aux fonctions comme suit. Définition 1.6Soientf:U!Retg:U!Rdes fonctions définies sur le même ensemble de départUet2R. On définit - la fonctionsommef+g:U!Rqui àx2Uassocie(f+g)(x) =f(x) +g(x); - la fonctionf:U!Ren posant(f)(x) =f(x)pour toutx2U; - la fonctionproduitfg:U!Ren posant(fg)(x) =f(x)g(x)pour toutx2U.

Pour les relations d"ordre,

Définition 1.7Soitf:U!Rune fonction et soitVune partie non vide deU. - La fonctionfestpositive ou nulle surVsif(x)0pour toutx2V. - La fonctionfeststrictement positive surVsif(x)>0pour toutx2V. On définit de même une fonctionnégative ou nulleou une fonctionstrictement négative surV. Sigest une fonction elle aussi définie surU,festinférieure ou égale àg, et on note fg, si on af(x)g(x)pour toutx2U. On définit de même la relationsupérieure ou égale. Attention:deux nombres réels sont toujours comparables (xyouyx). Mais il n"est pas toujours possible de comparer deux fonctions. On laisse le soin au lecteur de trouver des contre-exemples. S"il existe un nombreatel quef(x) =apour toutx2V,fest diteconstante sur V. Sia= 0,festnulle surV. Si de plusVest égal à l"ensembleUsur lequel est définie f, on dit simplement quefest constante de valeura(l"ensembleUest sous-entendu s"il n"y a pas d"ambiguité possible). Définition 1.8 (Parité, imparité, périodicité)SoitUune partie deRtelle que x2U) x2U. Soitf:U!Rune fonction. On dit que -festpairesif(x) =f(x)quel que soitx2U;

A. Popier7

CHAPITRE 1. NOMBRES RÉELS ET FONCTIONS

-festimpairesif(x) =f(x)pour toutx2U. Soitf:R!Rune fonction et soitTun nombre réel strictement positif. On dit quef estpériodique de périodeT(ou encoreT-périodique) sif(x+T) =f(x)pour toutx2R. La parité (resp. l"imparité) d"une fonction est une propriété de symétrie du graphe

de cette fonction par rapport à l"axe des ordonnées (resp. à l"origine). Pour étudier une

fonction paire ou impaire, il suffit de l"étudier surU\R+puis de compléter par symétrie.

La périodicité est une propriété de répétition. Pour étudier une fonctionT-périodique, il

suffit de s"intéresser à un intervalle de longueurT, puis de compléter par des translations.

Définition 1.9Soitf:U!Rune fonction et soitVune partie non vide deU. On dit que -festcroissante surVsi pour tousxetydansV, xy,f(x)f(y); -feststrictement croissante surVsi pour tousxetydansV, x < y,f(x)< f(y); -festdécroissante surVsi pour tousxetydansV, xy,f(x)f(y); -feststrictement décroissante surVsi pour tousxetydansV, x < y,f(x)> f(y): Une fonctionfestmonotone surVsi elle est croissante ou décroissante surV,stricte- ment monotonesi elle est strictement décroissante ou strictement croissante surV. On peut remarquer quefest décroissante si et seulement sifest croissante, et qu"une fonction est constante si et seulement si elle est croissante et décroissante. Il faut prendre soin de toujours préciser l"ensemble sur lequel il y a (ou non) monotonie d"une fonction.

Proposition 1.4Soientfetgdes fonctions.

- Sifetgsont croissantes surU, la sommef+gest croissante. - Supposons quefetgsoient positives ou nulles surU. Sifetgsont croissantes surU, alorsfgest croissante surU. Définition 1.10 (Composition)Soientf:U!Retg:V!Rdeux fonctions telles que pour toutx2U,f(x)2V. Lacomposée degparfest la fonctionh:U!Rtelle que pour toutx2U,h(x) =g(f(x)). On la notegf. Attention:cette définition n"est pas symétrique. La composéegfpeut exister sans quefgexiste. De plus, même sigfetfgexistent, en généralgf6=fg. Proposition 1.5Sifetgsont toutes les deux croissantes ou toutes les deux décrois- santes, alors leur composée, si elle existe, est croissante. Si l"une des fonctionsfoug est croissante, l"autre étant décroissante, alors leur composée est décroissante.

8A. Popier

Fonctions numériques § 1.2

Définition 1.11Soitf:U!R.

- Unmajorant defest un nombre réelMtel quef(x)Mpour toutx2U. S"il existe un majorantMdef,festmajorée(parM). - Unminorant defest un nombre réelmtel quef(x)mpour toutx2U. S"il existe un minorantmdef,festminorée(parm). - La fonction estbornéesi elle est majorée et minorée.

En fait une fonction est majorée (resp. minorée) si elle est inférieure (resp. supérieure)

ou égale à une fonction constante. Définition 1.12 (Image)Sif:U!Rest une fonction,l"image deUparf, notée f(U), est l"ensemble constitué de tous lesf(x)pourx2U. Autrement dit, c"est l"en- semble des nombres réelsypour lesquels il existe (au moins) unx2Utel quey=f(x). Donc une fonction est majorée si et seulement sif(U)est une partie majorée deR. De plus une fonctionfest majorée parMsi et seulement sifest minorée par M. Sifest minorée par un nombre réelm >0, alors la fonction1=fest majorée par 1=m.

Proposition 1.6Soientf:U!Retg:U!Rdeux fonctions.

- Sifetgsont majorées, alors la sommef+gest majorée. - Sifetgsont minorées, alors la sommef+gest minorée. - Supposons quefetgsoient positives ou nulles. Alors sifetgsont majorées, leur produitfgest majorée.

Injectivité, surjectivité, bijectivité

Les définitions qui vont être données par la suite pour les fonctions à valeurs réelles,

sont en fait valables pour des applications entre deux ensembles (voir le cours d"algèbre).

SoientUetVdeux parties deRetf:U!Vune fonction.

Définition 1.13 (Injectivité)On dit quefestinjectivesi tout élémenty2V(espace d"arrivée) a au plus un antécédentx2U(espace de départ) parf; autrement dit, pour touty2V, l"équationf(x) =yd"inconnuex2Ua au plus une solution. En conséquence,f:U!Vest injective si et seulement si

8(x;x0)2U2; f(x) =f(x0)()x=x0:

Définition 1.14 (Surjectivité)On dit quefestsurjectivesi tout élémenty2Va au moins un antécédentx2Uparf; autrement dit, pour touty2V, l"équationf(x) =y d"inconnuex2Ua au moins une solution:

8y2V;9x2U; f(x) =y:

A. Popier9

CHAPITRE 1. NOMBRES RÉELS ET FONCTIONS

Par définition, une fonctionf:U!f(U)est surjective! Et sif(U)(V, c"est-à-dire si Vest((strictement plus gros))quef(U),fn"est pas surjective. Définition 1.15 (Bijectivité)On dit quefestbijectivedeUsurVsi tout élément y2Va un et un seul antécédentx2Uparf; autrement dit, pour touty2V, l"équation f(x) =yd"inconnuex2Ua une seule solution. Exemple 1.2La fonctionf:R!Rqui àx2Rassociex2n"est pas injective, carf(1) =f(1). Elle n"est pas non plus surjective car1n"a pas d"antécédent. En revanche la fonctiong: [0;+1[!Rqui àx2Rassociex2est injective. La fonction h:R![0;+1[telle queh(x) =x2est surjective. Enfin la fonctionF: [0;1[![0;1[ définie parF(x) =x2est bijective. Définition 1.16Soitf:U!Vune bijection deUsurV. On appellebijection réci- proquela fonction, notéef1, deVdansUdéfinie par: quel que soity2V,f1(y)est l"unique antécédent dansUdeyparf. Proposition 1.7Soitf:U!Vune bijection deUsurV. On a - Pour tout(x;y)2UV,x=f1(y)()f(x) =y. -f1est bijective et(f1)1=f. Enfin on peut donner du coup une définition équivalente de la bijectivité d"une fonction. Définition 1.17Soitf:U!Vune fonction. On dit quefestbijective deUsurV s"il existe une fonctiong:V!Utelle que - les fonctions composéesfg:V!Vetgf:U!Uexistent, - et

8x2U;(gf)(x) =x;8y2V;(fg)(y) =y:

Dans ce cas, la fonctiongest unique et est la bijection réciproque def. Terminons par une propriété concernant la composition de bijections. Proposition 1.8Soientf:U!Vetg:V!Wdes fonctions bijectives. Alorsgf est bijective et(gf)1=f1g1.

La fonction valeur absolue

Définition 1.18Soitxun nombre réel. Lavaleur absolue dexest le nombre réel défini par jxj=xsix0; xsix0: Lafonction valeur absoluex7! jxjest définie surR. La valeur absolue d"un nombrexpeut aussi être définie comme le plus grand des nombres xetx. La fonction valeur absolue est doncpaire. Rappelons quelques propriétés. Propriétés 1.3Pour tous nombres réelsxety,

1.jxj 0,jxj x jxj,j xj=jxjetjxj>0,x6= 0.

10A. Popier

Fonctions numériques § 1.20 1 22

3 1 3 123

0 1 22

3 1 3 123
2 31
| | ||||Fig.1.1 -Fonctions valeur absolue et partie entière 2. px

2=jxj.

3.jxyj=jxjjyjet six6= 0,j1=xj= 1=jxj.

4.jx+yj jxj+jyj(inégalité triangulaire).

5.jjxj jyjj jxyj.

Proposition 1.9Soitrun nombre réel strictement positif. Pour tous les nombres réels aetx jxaj r,arxa+r;jxaj< r,ar < x < a+r: Proposition 1.10Soitfune fonction. La fonctionfest bornée si et seulement si la fonctionjfj:x7! jf(x)jest majorée.

La fonction partie entière

Nous avons déjà défini la partie entière d"un nombrex: c"est l"unique entier noté E(x)2Ztel queE(x)x < E(x)+1. La fonctionE:R!Rqui àxassocie sa partie entièreE(x)est appelée lafonction partie entière. Proposition 1.11Cette fonction est croissante surRet pour tout entierN2Z, elle est constante sur l"intervalle[N;N+ 1[.

A. Popier11

CHAPITRE 1. NOMBRES RÉELS ET FONCTIONS

12A. Popier

Chapitre 2

Limite et continuité

2.1 Limite d"une fonction

SoientIun intervalle etf:I!Rune fonction. Soitx0un nombre réel qui appartient

àIou bien est une extrémité deI.

Définition 2.1 (Limite)Soitlun nombre réel. On dit quefa pour limitelenx0, ou encore quef(x)tend verslquandxtend versx0, si pour tout nombre" >0, il existe un nombre >0ayant la propriété suivante: (x2I; x6=x0;etjxx0j ) =) jf(x)lj< ":

Cette propriété se notelim

x!x0f(x) =l. Intuitivement cette définition signifie quef(x)est aussi près que l"on veut delà condition de choisirxassez près dex0, mais différent dex0. Par définition il revient au même de dire quef(x)tend verslou quef(x)ltend vers 0 quandxtend versx0. On a ainsi les équivalences très utiles lim x!x0f(x) =l()limx!x0(f(x)l) = 0()limx!x0jf(x)lj= 0: Remarque 2.1Dans la définition de la limite enx0, la fonctionfn"a pas besoin d"être définie enx0et si elle l"est, la valeurf(x0)n"a aucune influence sur l"existence ou la valeur de la limite. Ainsi il est possible de chercher sipx1x1a une limite quandxtend vers 1. Par ailleurs en ce qui concerne la limite enx0, seules comptent les valeurs que prend la fonction aux pointsxassez proches dex0, mais différents dex0. Aussi si on crée une fonctiongen modifiant la fonctionfau pointx0et en dehors d"un intervalle]a;b[tel quex02]a;b[, alorsfa pour limitelenx0si et seulement siga pour limitelenx0. Définition 2.2 (Limite à l"infini)SoitIl"un des intervalles]1;+1[,[a;+1[ou ]a;+1[oùaest un nombre réel, et soitf:I!Rune fonction. Silest un nombre réel,

A. Popier13

CHAPITRE 2. LIMITE ET CONTINUITÉ

on dit quefa pour limitelen+1, ou encore quef(x)tend verslquandxtend vers +1, si pour tout nombre" >0, il existe un nombrer >0ayant la propriété suivante: (x2I;etx > r) =) jf(x)lj< ":

Cette propriété se notelimx!+1f(x) =l.

SoitIl"un des intervalles]1;+1[,]1;a]ou]1;a[oùaest un nombre réel,quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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