[PDF] CALCUL DIFFERENTIEL ET OPTIMISATION

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ematiquesdelad ecision

Notesdecours

CALCULDIFFERENTIELET

OPTIMISATION

GuillaumeCARLIER

L3,ann

ee2008-2009 2 d'egaliteetd'inegalite(KKT). remercieici. unebonnelecture.

G.CARLIER

3 4

Tabledesmatieres

ITopologie7

1Espacesmetriques8

4EspacesdeHilbert46

5

IICalculdierentiel58

5Quelquesrappels59

6Accroissementsnis,formulesdeTaylor70

7Inversionlocale,fonctionsimplicites87

IIIOptimisation92

8Resultatsd'existenceetrappels93

9Optimisationsouscontraintesd'egalite100

6

Premierepartie

Topologie

7

Chapitre1

Espacesmetriques

1.1Denitionspremieres

2.d(x;y)=0,x=y

EEE. surE. tout(x;y;z)2EEE. d

1(x;y):=nX

i=1jxiyij;d1(x;y):=maxi=1;::;njxiyij etladistanceeuclidienne: d

2(x;y):=(nX

i=1(xiyi)2)1 2: 8 vectorielsnormes.

1.2Topologiedesespacesmetriques

etderayonr:

B(x;r):=fy2E:d(x;y) et decentrexetderayonr0:

B(x;r):=fy2E:d(x;y)rg:

d

B(0;1)

bornee ssiilexistex2Eetr>0telsqueAB(x;r).

SiAestunepartiedeE,ondenitsondiametre

diam(A)par: diam(A):=supfd(x;y);(x;y)2A2g:

Onpeutmaintenantdenirlesensemblesouverts

de(E;d): que:

1.Aestouvert

ssipourtoutx2A,9r>0telqueB(x;r)A,

2.Aestferme

ssiEnAestouvert.

3.Aestunvoisinage

dex2Essi9r>0telqueB(x;r)A. ouverte(resp.fermee). 9

1.Eet;sontouverts,

3.uneintersectionFINIE

d'ouvertsestouverte. ainsiasefamiliariseraveclesdenitions... fermes:

1.Eet;sontfermes,

2.unereunionFINIE

defermesestfermee, niferme. onditque:

1.xestunpointinterieur

aAssi9r>0telqueB(x;r)A(autrement ditAestunvoisinagedex),

2.xestunpointadherent

aAssi8r>0,B(x;r)rencontreA.

3.xestunpointfrontiere

deAssi8r>0,B(x;r)rencontreAetEnA. deA.OnappelleadherencedeAetl'onnote

A,l'ensembledespoints

A=E.

Onaclairementlesinclusions:

int(A)A A; @A=

Anint(A):

10

Onaaussilesproprietesimportantes:

2.

Preuve:

2

Aouvert,A=int(A);

et

Aferme,A=

A: que:

A=Enint(EnA);int(A)=EnEnA:

l'adherencedeB(x;r)etl'interieurde

B(x;r).

limite: quandxtendversx1cequel'onnote: lim x!x1;x6=x1f(x)=l d

2(f(x);l)".

11 setraduirepardesproprietessequentielles (i.e.enutilisantdessuites): cequ'estunesuiteconvergente: (xn)estconvergentesielleadmetunelimite.

0ded(xn;x)(dansR).

sontsepares

Preuve:

0i.e.x=yd'oul'unicite.2

1.soitx2E,x2

Assixestlimited'unesuited'elementsdeA,

limitedecettesuiteappartientaA.

Preuve:

2)decoulede1)etdufaitqueAestfermessiA=

A.Supposonsx2A,alors

A.Soitr>0,

Finalementr>0etantarbitraireonabienx2

A. 2 d'elementsdeEnA. 12

Pourtoutx2EondenitladistancedexaApar:

d(x;A):=inffd(x;a)a2Ag

1.Montrerquex2

Assid(x;A)=0.

(n2N).

3.Determiner\n2NAn.

tersectiondenombrabled'ouverts.

1.3SuitesdeCauchy,espacesmetriquescom-

plets (p;q)2N2avecpNetqNona:d(xp;xq)".

Cauchyssi

sup pN;qNd(xp;xq)!0quandN!+1: cettereciproqueestvraiesontditscomplets: derationnelsdenieparxn:=Pn k=01=(k!)estdeCauchy,onmontrepar chapitressuivants. 13 sectiondesFnestnonvide.

Preuve:

F 2

1.4Compacite

valeurd'adherence. N. deE.Onditquexestvaleurd'adherence de(xn)ssil'unedesassertions equivalentessuivantesestsatisfaite:

2.8">0,8N2N,9nNt.q.d(xn;x)",

3.8">0l'ensemblefn2N:d(xn;x)"gestinni.

npourtoutn. ssitoute admetunesous-suiteconvergentedansA. 14 pactedeEalorsAestfermeeetborne.

Preuve:

montrequeAestfermee. lim nd(xn;yn)=+1:(1.1) cequicontredit(1.1). 2 l'occasionderevenirsurcepoint. puisque:

Preuve:

2

Preuve:

15 2 precedentenousavonsetablileresultat: d'adherence. compact.

Preuve:

decompose[0;1]en2psegmentsdelongueur2p: [0;1]=2 p1[ k=0I p k;Ip k:=[k2p;(k+1)2p]: J 1=[ k2f0;::;4g:I2kJ1I 2k l'onnoteraJ2verie: J

2J1,etl'ensemblefn2Nt.q.xn2J2gestinni:

J fn2N:xn2Jpgestinni. 16 2 denition)suivante: peutextraireunrecouvrementni.

1.5Continuite

enxssi8">0, E

1ssifestcontinueenchacundesespoints.

1.festcontinuesurE1,

4.pourtoutesuite(xn)d'elementsdeE1ona:

lim nxn=xdansE1)limnf(xn)=f(x)dansE2: 17

Preuve:

Onvamontrer1))2))3))4))1).

doncf1(F)=E1nf1(O),ainsif1(F)estferme. tq8N2N,9nNNtq d

2(f(xnN);f(x))":(1.2)

x cequiestabsurde. d d 2 partiecompactedeE2.

Preuve:

compact. 2 18

Preuve:

sontniesetappartiennentaf(E).2 d'optimisation: supff(x),x2Egetinfff(x),x2Eg estunmax.(resp.min.). lim jxj!+1f(x)=+1 montrerquel'inmumdefsurRestatteint. denit: d

A(x):=inffd(x;a),a2Ag:

E. surE1ssi uniformementcontinue. k-Lipschitzienne. 19 x7!dA(x):=inffd(x;a),a2Ag est1-Lipschitzienne. estuniformementcontinue. dent: formementcontinuesurE1.

Preuve:

d cequiestabsurde. 2

1.6Pointsxesdecontractions

completude. 20 que: d(f(x);f(y))kd(x;y),8(x;y)2EE:

Preuve:

x

1=x2d'oul'unicite.

d(xn+1;xn)knd(x1;x0)(1.3)

PourqpNonadonc:

d(x1;x0)kN 1k x n+1=f(xn)convergeversf(x)onadoncx=f(x).2 x 21

1.7Connexite

sontequivalentes:

1.(E;d)estconnexe,

muniparexempledeladistancenaturelledeR).

Preuve:

A A constant. quimontreque(E;d)estconnexe. 2 surB1et0surB2). arccontinu: ssipourtout(x1;x2)2E2,ilexiste

2C0([0;1];E)telque

(0)=x1et (1)=x2.

Onaalors

22

Preuve:

2C0([0;1];E)telque

(0)=x1et (1)=x2.Pourtoutt2[0;1]on denitalorsg(t):=f( g(t0)=1=2,or,g(t0)=f( (t0))2f0;1g,d'oulacontradictionvoulue.2 etdoncconnexes. estconnexe. l'imagef(E1)estconnexe.

Preuve:

2 23

Chapitre2

Espacesvectorielsnormes,

espacesdeBanach

2.1Denitionspremieres

Denition2.1Onappellenorme

surEtouteapplication:k:k:E!R+ veriant:

1.kxk=0,x=0,

2.kx+ykkxk+kyk,8(x;y)2E2,

3.kxk=jjkxk,8(;x)2RE.

descompacts...)donneepar: d(x;y):=kxyk,8(x;y)2E2: l'exempledeladistancegrossiere).

Notonsaussiquekxk=kxketjkxkkykjkxyk.

24
kxk1:=max(jx1j;::;jxnj);kxk1:=nX i=1jxij;kxk2:=(nX i=1jxij2)1=2

Nousverronsparlasuite,quepourtoutp1:

kxkp:=(nX i=1jxikp)1=p(2.1) estencoreunenorme).

Exemple2.2E=C0([a;b];R)muniedelanorme

kfk1:=maxfjf(t)j,t2[a;b]g:

SurEonpeutaussiconsidererlesnormes:

kfk1:=Z b a jfj;kfk2:=(Z b a f2)1=2 ouplusgeneralementpourtoutp1: kfkp:=(Z b a jfjp)1=p: kxk1:=supjxnj,n2N: cesdeuxnormessontequivalentes ssiilexistedeuxconstantesstrictement positivesaetbtellesquepourtoutx2Eonait: akxk1kxk2bkxk1: 25
equivalentes. tellequekfnk1akfnk1pourtoutn2N.

Denition2.3OnappelleespacedeBanach

toutevnquimunideladis- tanceassocieeasanormeestcomplet

2.2SeriesavaleursdansunespacedeBanach

generalxn(notation:(P suiteformeesparsessommespartielles:Sn:=P knxk.

Denition2.4Soit(E;k:k)unevnet(P

nxn)nuneserieavaleursdans

E.Onditque(P

partiellesqu'onnotesimplementP+1 n=0xn.Onditque(P nxn)nestnorma- lementconvergentessilaserie(P nkxnk)nestconvergentedansR.

Onrappellequelaserie(atermespositifs)(P

nkxnk)nconvergessila suitedesessommespartiellesestdeCauchy:

8">0;9N2Ntq8pqN,pX

k=q+1kxkk"(2.2) danscecaslasuitedesrestesP+1 k=nkxkktendvers0quandn!+1. nxn)uneserie avaleursdansE,si(P nxn)estnormalementconvergentealors(P nxn) convergedansE. 26

Preuve:

knxkestde

Cauchy,oronapourpq:

kSpSqkpX k=q+1kxkk+1X k=q+1kxkk(2.3) 2 lumentconvergente. nn) nnfn)

2.3Espacesvectorielsnormesdedimension

nie sanspreciserlanorme. convergente.

Preuve:

M>0tellequeF

B(0;M)=[M;M]k.Soit(xn)n2FN([M;M]k)N,

27
lim nkx'(n)xk1=0: preuve. 2 alors touteslesnormessurEsontequivalentes.

Preuve:

x2Rnquel'onecritdanscettebasex=Pn i=1xiei,ona:

N(x)=N(nX

i=1x iei)nX i=1jxijN(ei)(nX i=1N(ei))kxk1 x,y: jN(x)N(y)jjN(xy)jCkxyk1(2.4) donc: N(x kxk1))kxk1N(x): queNetk:k1sontequivalentes.2 lapreuveestlaisseeaulecteur: lecteur... 28
compactesicedernierestdedimensioninnie). equivalences:

1.(xn)nconvergeversxpourk:k1,

2.(xn)nconvergeversxpourN,

2.4InegalitesdeHolderetdeMinkowski

Onaainsiq>1etq=p=(p1).Onad'abord:

Lemme2.1Soitxetydeuxreelspositifsona:

xyxp p+yqq(2.5)

Preuve:

exp(u p+vq)1pexp(u)+1qexp(v)(2.6) xyxp p+yqq: 2

Cecipermetd'etablirl'inegalitedeHolder:

29
n X i=1jaibij(nX i=1jaijp)1=p(nX i=1jbijq)1=q:(2.7)

Preuve:

reelsstrictementpositifs

S:=(nX

i=1jaijp)1=p;T:=(nX i=1jbijq)1=q: jaibij

STjaijppSp+jbijqqTq(2.8)

ensommantcesinegalites,onobtient: n X i=1jaibij

ST1pSpn

X i=1jaijp+1qTqn X i=1jbijq:(2.9) donc:nX i=1jaibijST cequiprouve(2.7).2

Onpeutendeduirel'inegalitedeMinkowski:

nX i=1jxi+yijp)1=p(nX i=1jxijp)1=p+(nX i=1jyijp)1=p:(2.10)

Preuve:

Remarquonsd'abord:

nquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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