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calcul diff´erentiel et optimisation

J. F´ejoz

Universit´e Paris-Dauphine

jacques.fejoz@dauphine.fr 2017

2Cet ouvrage est sous licenceCreative Commons Attribution 4.0 International. Pour

acc´eder `a une copie de cette licence, merci de se rendre `a l"adresse ou d"envoyer un courrier `a

Creative Commons

444 Castro Street, Suite 900

Mountain View, California, 94041, USA.

AvertissementLa d´ecouverte du calcul diff´erentiel et des ´equations diff´erentielles, notamment par I.

Newton

1et G. Leibniz,2est l"une des plus extraordinaires conquˆetes de l"esprit hu-

main. Ce cours en est une introduction. On y parle de d´eriv´ee d"une application, du th´eor`eme d"inversion locale et de certaines de ses variantes g´eom´etriques, des surfaces (sous-vari´et´es) deRn, des multiplicateurs de Lagrange, de convexit´e - l"alphabet de bien des raisonnements en math´ematiques et dans quasimenttoutes les disciplines scien- tifiques quantitatives. C"est un vieux sujet, mais on trouvera dans ce cours le portrait de math´ematiciens contemporains. Sous les hypoth`eses de ce cours, les applications poss`edent des formes normales lin´eaires (par exemple, le th´eor`eme d"inversion locale donne une condition n´ecessaire et suffisante pour qu"une application soit localement ´equivalente, `a changement de coordonn´ees pr`es,

`a l"identit´e). Il convient donc d"ˆetre `a l"aise avec lesrudiments de l"alg`ebre lin´eaire, dont

nous avons fait des rappels au fil du cours. Nous avons pris le parti de nous concentrer

sur le calcul diff´erentiel en dimension finie. Les ´equations diff´erentielles, ordinaires ou

aux d´eriv´ees partielles, sont trait´ees dans d"autres cours `a l"Universit´e Paris-Dauphine.

In´evitablement, le cours paraˆıtra abstrait sans un important travail d"appropriation, qui passe par la lecture et la relecture du cours, ainsi que lar´esolution des exercices. Il

faut savoir redire pr´ecis´ement les d´efinitions et les ´enonc´es des propositions et th´eor`emes,

ainsi qu"avoir au moins une id´ee des d´emonstrations, sansquoi l"on ne peut pas pr´etendre

comprendre les ´enonc´es, ni aller plus loin dans des cours ult´erieurs, mˆeme plus "concrets".

Les exercices sont le plus souvent des applications imm´ediates du cours. Il faut aussi s"entraˆıner `a fairecertains des exercices plus ambitieux, comportant plusieurs questions interd´ependantes qui ne sont pas directement reli´ees au chapitre en cours; c"est le seul test v´eritable pour voir si l"on a compris. Faire un dessin ou comprendre un cas particulier doivent permettre de ne jamais rester muet. L"examen a pour objectif de v´erifier la capacit´e `a r´esoudre des exercices simples mais

vari´es, et s"assurer que des cours plus pouss´es seront profitables. Essayer de s"y pr´eparer

sp´ecifiquement en apprenant rapidement un petit nombre de "questions de cours" ba- lis´ees, ou en apprenant `a r´esoudre un petit nombre d"exercices type, serait une perversion

de l"id´ee d"examen. Le jeu en est `a la fois int´eressant et difficile. J"esp`ere que le lecteur

y trouvera plaisir... Bon travail! J. F.

1. IsaacNewton, physicien et math´ematicien anglais (1642-1727), dont onpeut l´egitimement

soutenir qu"il marqua la naissance de la science moderne.

2. Gottfried WilhelmLeibniz, savant allemand (1646-1716).

3 4

Indications bibliographiques etremerciementsL"esprit de ce cours est proche des remarquables notes de cours de l"universit´e

Paris-Diderot (non publi´ees) d"A. Chenciner, du livres de M. Chaperon [Cha03] et de F. Laudenbach [Lau11], ainsi que du livre d"exercices de F. Rouvi`ere [Rou03], livres que l"on consultera avec profit. Les appendices de topologie sont inspir´es de cours de Choquet [Cho64] de T. Tao [Tao16]. Les chapitres portant une ´etoile peuvent ˆetre saut´es en premi`ere lecture. Ceux sur la formule de Stokes sont une introduction heuristique, dont les trous pourront ˆetre combl´es par la lecture d"ouvrages plus sp´ecialis´es.

Les livres suivants sont plus avanc´es et fourniront des r´ef´erences et des compl´ements

sur divers aspects du cours : - Arnold [Arn84] sur les ´equations diff´erentielles, - Arnold encore [Arn88, Arn89] sur les syst`emes dynamiques et la m´ecanique classique, - J.-P. Demailly [Dem06] sur l"analyse num´erique, - F. Pham [Pha92] sur le calcul et la g´eom´etrie diff´erentiels, - Rudin [Rud74] sur l"analyse complexe, - Hirsch [Hir94] et Milnor [Mil97] sur la topologie diff´erentielle, - H¨ormander [H¨or07] sur l"analyse convexe, - Kolmogorov-Fomin [KF57], H. Brezis [Bre99] ou Hirsch-Lacombe [HL99] sur l"analyse fonctionnelle. Merci `a ceux qui m"ont aid´e `a am´eliorer ce cours, dont A. Ben Amor, T. Castan, A. Chenciner, G. Flath, A. Frouvelle et D. Gontier, et qui continueront `a le faire... 5 6

Table des mati`eresAvertissement3

Indications bibliographiques5

1 D´eriv´ee d"un chemin9

2 D´eriv´ee d"une application17

3 ClasseC127

4 Le th´eor`eme du point fixe33

5 Inversion locale39

6 Forme normale d"une application lin´eaire 47

7 Forme normale d"une application 51

8 Fonctions implicites53

9 Submersions et immersions55

10 Incursion en analyse complexe'59

11 Surfaces I - Espace tangent63

12 Extrema de fonctions (semi-)continues 69

13 Factorisation des applications lin´eaires 75

14 Points critiques de fonctions79

7

8TABLE DES MATI`ERES

15 Surfaces II - Coordonn´ees85

16 D´eterminant91

17 Formes diff´erentielles'97

18 Surfaces III - Orientabilit´e'103

19 Int´egration'107

20 Formule de Stokes'113

21 D´eriv´ees d"ordre sup´erieur117

22 Forme normale d"une forme quadratique 121

23 Fonctions de Morse125

24 Convexit´e131

25 Fonctions convexes135

26 Et la dimension infinie?'141

A Topologie147

B Compacit´e153

C Espaces m´etriques complets157

Glossaire161

Alphabet grec165

Bibliographie168

Index169

Chapitre 1D´eriv´ee d"un cheminMots-clefs du chapitreChemin, courbe param´etr´ee, vitesse, acc´el´eration, for-

mule de Taylor, vecteur tangent, point r´egulier, point d"inflexion, point de rebrous- sement (cusp) Soitc:Iintervalle ouvertĂRÑRp,tÞÑcptq. Une telle application, qui ne d´epend que d"une variable, s"appelle uncheminou unecourbe param´etr´eedeRp: on peut penser `a la variabletcomme au temps et `acptqcomme la position d"un point mobile, au tempst. Lacourbe(non param´etr´ee) associ´ee `acest l"imagecpIq ĂRpde l"applicationc. R´eciproquement,cs"appelle unparam´etragede son image.

1.1 Exemple.Legraphed"une fonctionf:Iintervalle ouvertĂRÑRest la

courbe

C" tpx,fpxqq, xPIu ĂR2.

Son param´etrage par l"abscisse estc:IÑR2, xÞÑ px,fpxqq.

1.2 D´efinition.Lad´eriv´eedecentPIest la limite dansRp, si elle existe,

c

1ptq "limτÑ01

τpcpt`τq ´cptqq PRp.

Il est ´equivalent de dire que

c

1ptq "1

τpcpt`τq ´cptqq `op1q,

ou que cpt`τq "cptq `c1ptqτ`opτq,(1.1) quandτtend vers 0, c"est-`a-dire quecposs`ede un d´eveloppement limit´e du premier ordre ent, et que le coefficient dans le terme lin´eaire estc1ptq. - La notationopτkqd´esigne une fonction n´egligeable devantτkquandτtend vers 0, c"est-`a-dire telle que opτkq

τkÑ0.

9

10CHAPITRE 1. D´ERIV´EE D"UN CHEMIN

- En composantes, si l"on note

1c"¨°c

1... c p˛‹" , on obtient c

1pt`τq...

c ppt`τq˛‹" "¨°c

1ptq...

c pptq˛‹" `¨°c 1

1ptq...

c 1 pptq˛‹"

τ`¨°opτq...

opτq˛‹" donc c

1ptq "¨°c

1

1ptq...

c 1 pptq˛‹" .(1.2) La caract´erisation (1.1) a le m´erite de garder un sens siτest un vecteur, `a condition quec1pτqsoit une application lin´eaire et queopτqsoit pris au sens deop}τ}q; c"est celle-ci qui nous permettra de g´en´eraliser la notion de d´eriv´ee au cas de plusieurs variables.

1.a Exercice(Deux chemins de Lissajous).Tracer l"image des cheminsc" px,yq:

RÑR2suivants :

xptq "cos3tsint yptq "cos2t,# xptq "3cost`2cosp3tq yptq "3sint´2sinp3tq (ce sont deux exemples decourbes de Lissajous,2dont, par d´efinition, les compo- santes sont des polynˆomes trigonom´etriques). Indication.En exploitant la p´eriodicit´e et la sym´etrie par rapport aux axes de coordonn´ees, on se ram`ene `a ´etudiercsur l"intervaller0,π{2sdans le premier cas etr0,π{4sdans le second. Pour tracer les tangentes verticales et horizontales, on pourra utiliser la notion de vecteur tangent en un point r´egulier, d´ecrite ci-dessous; pour tracer les tangentes au point singuliert"π{2 de la premi`ere courbe, on utilisera la formule de Taylor rappel´ee ci-dessous ou, plus g´en´eralement, on pourra se r´eferrer `a l"exercice 1.b. Voir la figure 1.1. On note doncc1:IÑRpla d´eriv´ee ouvitessedec. C"est une application de mˆeme nature quecelle-mˆeme, `a savoir un chemin deRp. En continuant `a d´eriver, on notec2" pc1q1l"acc´el´eration,c3" pc2q1, puiscpkq" pcpk´1qq1pour les ordres de d´erivation suivants. Par exemple, quand un homme politique affirme que la hausse du chˆomage d´ec´el`ere, c"est dire que, sicest le nombre de chˆomeurs,c3ă0.

1. Noter les vecteurs verticalement est arbitraire. Cette convention a l"unique avantage de

faciliter le calcul des produits matrice-vecteur. Nous ne serons pas toujours coh´erents l`a-dessus

et nous noterons parfoisc" pc1,...,cpqun chemin dansRpsans que cela doivent ˆetre compris diff´eremment.

2. Jules AntoineLissajous(1822-1884), physicien fran¸cais, c´el`ebre pour son ´etude des

ph´enom`enes oscillatoires, ainsi que pour avoir exp´eriment´e, pendant le si`ege de Paris en 1870,

un syst`eme de communication optique via une montgolfi`ere 11

Figure1.1 - Deux chemins de Lissajous

L"allure d"un chemin au voisinage d"un point (notamment un point o`u la vitesse s"annule) est d´etermin´ee par l"importante formule de Taylor, que nous rappelons maintenant : le d´eveloppement de Taylor decs"obtient simplement en d´eveloppant chacune des coordonn´ees dec.

1.3 Rappel(Les deux formules fondamentales du calcul diff´erentiel [F´ej14]).Si

f:ra,bs ÑRest en escalier (constante sur chaque intervalle d"une subdivision finie dera,bs), on d´efinit de fa¸con ´evidente l"int´egrale def. Sifest seulement continue (´eventuellement par morceaux), il existe une suitepfnqde fonctions en escalier qui converge uniform´ement versf, et l"on montre que : 1) l"int´egrale defnconverge,

2) la limite ne d´epend pas du choix de la suite. Si maintenantc" pc1,...,cpqest

un chemin deRpcontinu surra,bs, on poseşb acptqdt"´şb ac1ptqdt,...,şb acpptqdt¯

Avec ces d´efinitions, on montre que,

1) Sic:ra,bs ÑRpest continue, la fonctionCptq "şt

acpsqdsest de classeC1et C

1ptq "cptq, i.e.Cest une solution de l"´equation diff´erentielleC1"cde donn´eec.

2) SiC:ra,bs ÑRpest de classeC1,Cpbq ´Cpaq "şb

aC1ptqdt, i.e. l"´equation diff´erentielle pr´ec´edente poss`ede au plus une solutionune fois queCpaqest fix´e.

1.4 Notation.On notec:pR,tq ÑRpun chemin d´efini sur un certain voisinage

detdansR. Cette notation permet de ne pas donner de nom `a ce voisinage. On peut aussi noterc:pR,tq Ñ pRp,aqsi de pluscptq "a.

1.5 Th´eor`eme(Formule de Taylor).Sicest de classeCk`1sur un voisinage det

(c"est-`a-dire quecpk`1qexiste sur ce voisinage et y est continue), pour toutτassez petit, cpt`τq "cptq `c1ptqτ` ¨¨¨ `cpkqptqτk k!`ˆ ż1

0p1´sqkk!cpk`1qpt`sτqds

k`1.

12CHAPITRE 1. D´ERIV´EE D"UN CHEMIN

D´emonstration.D"apr`es la seconde formule fondamentale ci-dessus, appliqu´ee au cheminsÞÑcpt`sτq,r0,1s ÑRp, cpt`τq "cptq `ż 1 0d dscpt`sτqds "cptq `ˆ ż1 0 c1pt`sτqds Ensuite, une int´egration par parties (en choisissant, comme primitive de 1, la fonctions´1, qui a le m´erite de s"annuler ens"1 et donc de faire disparaˆıtre le terme enc1pt`τq) montre cpt`τq "cptq ´"p1´sqc1pt`sτq‰10τ`ˆ ż1 0 p1´sqc2pt`sτqds 2 "cptq `c1ptqτ`ˆ ż1 0 p1´sqc2pt`sτqds 2, et, par r´ecurrence, la formule voulue. Voici maintenant une g´en´eralisation de la notion de vecteur vitesse. En effet, en un pointto`u la vitessec1s"annule, celle-ci ne suffit pas pour d´eterminer la direction tangente au chemin; c"est qu"on arrive trop lentement au pointcptqpour voir d"o`u l"on vient et o`u l"on va. On pallie cette difficult´e en acc´el´erant le temps.

1.6 D´efinition.Ladroite tangente`acentest la droite limite, si elle existe, de la

droite ("corde") joignantcptq`acpt`τqquandτtend vers 0. En prenant la limite quandτtend vers 0, on obtient la notion dedroite tangente `a gaucheou`a droite. La droiteDt,τjoignantcptq`acpt`τqest l"ensemble des pointsp" px,yqtels que les vecteursp´cptqetcpt`τq´cptqsoient colin´eaires. Elle a donc pour ´equation detpp´cptq,cpt`τq ´cptqq "????x´xptqxpt`τq ´xptq y´yptqypt`τq ´yptq???? "0. Le cas le plus simple est celui o`uc1ptq ‰0; on dit quetest un pointr´egulierdec.

D"apr`es la formule de Taylor au premier ordre :

cpt`τq "cptq `c1ptqτ`opτq, donc l"´equation est de la forme τpy1ptqpx´xptqq ´x1ptqpy´yptqq `op1qq "0. Apr`es division de l"´equation parτ(ce qui ne change pas la droite), quandτtend vers 0 l"´equation deDt,τtend vers l"´equation y

1ptqpx´xptqq ´x1ptqpy´yptqq "0

de la droite tangente entau chemin; c"est la droite passant parcptqet de pente y

1ptq{x1ptq PRY t8u(commex1ptqety1ptqne sont pas tous deux nuls, ce rapport

n"est pas ind´etermin´e). 13 En unpoint singulier, o`uc1ptq "0, on peut avoir besoin de calculer un ´equivalent plus pr´ecis decpt`τq´cpτqquandτtend vers 0. Souvent, il suffit de calculer un d´eveloppement limit´e decjusqu"au premier terme non nul de la s´erie de Taylor, et ce dernier indique alors la direction tangente. Si la s´erie de Taylor decentest nulle, on parle depoint plat, et il faut utiliser une autre ´echelle de comparaison.

1.b Exercice'(Vecteur tangent `a un chemin en un point singulier).

Soientc" px,yq:pR,tq ÑR2etkě1 tels quecsoit de classeCk`1et3 c

1ptq " ¨¨¨ "cpk´1qptq "0, cpkqptq ‰0;

on supposekminimal pour cette propri´et´e. En post-composantcpar une transformation lin´eaire qui envoie le vecteurvsur le premier vecteur de la base canonique, on se ram`ene au cas o`uxpkqptq ‰0. Soitquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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