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TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE

P. Pansu

16 mai 2005

1 Qu"est-ce que la topologie?

C"est l"´etude des propri´et´es des objets qui sont conserv´ees par d´eformation continue.

Belle phrase, mais qui n´ecessite d"ˆetre pr´ecis´ee.

1.1 Rappels

D´efinition 1Une partieU?Rest diteouvertesi pour toutx?U, il existe? >0tel que ]x-?,x+?[?U. Une partieF?Rest diteferm´eesi son compl´ementaireU=R\Fest ouvert. Exemple 2Un intervalle ouvert, comme]a,b[,]a,+∞[,]- ∞,b[,]- ∞,+∞[, est ouvert. Un intervalle ferm´e, comme{a},[a,b],[a,+∞[,]- ∞,b],]- ∞,+∞[, est ferm´e. Exemples extrˆemes :∅etRsont `a la fois ouverts et ferm´es. Proposition 3La r´eunion d"un nombre quelconque d"ouverts, l"intersection d"un nombre fini d"ouverts, sont ouvertes.

La r´eunion d"un nombre fini de ferm´es, l"intersection d"un nombre quelconque de ferm´es, sont

ferm´ees. Proposition 4Une partieFdeRest ferm´ee si et seulement si pour toute suite convergente de pointsxn?F, la limitelimn→∞xnappartient `aF. Proposition 5Une fonctionf:R→Rest continue si et seulement si pour tout ouvertUdeR, f -1(U)est ouvert. On aimerait une caract´erisation analogue des fonctions continues sur un intervalle, ou plus g´en´eralement sur un sous-ensemble deR.

1.2 Ouverts et ferm´es relatifs

D´efinition 6SoitEun sous-ensemble deR. Une partieA?Eest diteouverte dansEsi pour toutx?A, il existe? >0tel que]x-?,x+?[∩E?A. Une partieB?Eest diteferm´ee dansE si son compl´ementaireA=E\Best ouvert dansE. Exemple 7SoitE= [0,1[etA=]0,1[,B= [0,1/2[,C= [1/2,1[,D= [0,1/2]. AlorsAetB sont des ouverts deE, etCetDsont des ferm´es deE. Exemples extrˆemes :Eet∅sont `a la fois ouverts et ferm´es dansE. Remarquer queAest un ouvert deRetDest un ferm´e deR. Ils sonta fortioriouvert (resp. ferm´e) dansE. En revanche,BetCne sont ni ouverts, ni ferm´es dansR.

Proposition 8SoitEun sous-ensemble deR.

Une partieA?Eest ouverte (resp. ferm´ee) dansEsi et seulement si il existe un ouvertU (resp. un ferm´eF) deRtel queA=E∩U(resp.A=E∩F). Une partieA?Eest ferm´ee dansEsi et seulement si pour toute suite(xn)d"´el´ements deA convergeant vers un pointxdeE,x?A. 1 Preuve.SiUest un ouvert deR,U∩Eest un ouvert deE. En effet, six?U∩E, il existe ? >0 tel que ]x-?,x+?[?U. Alors ]x-?,x+?[∩E?U∩E. R´eciproquement, soitAun ouvert deE. A chaquex?Acorrespond un intervalle ouvert I x=]x-?x,x+?x[ tel queIx∩E?A. PosonsU=? x?AI x. C"est une r´eunion d"ouverts deR, donc c"est un ouvert deR. Par construction,A=U∩E. Le cas des ferm´es se d´eduit de celui des ouverts (passer au compl´ementaire). SoitAun ferm´e deE,A=F∩Eo`uFest ferm´e dansR. Si (xn) est une suite d"´el´ements de Aqui converge vers un pointxdeE, alorsx?F(proposition 4), doncx?A. Inversement, supposons queA?Fn"est pas ferm´e. AlorsB=E\An"est pas un ouvert deE. Autrement dit, il existe un pointy?Btel que pour tout? >0 il existe un pointx?]y-?,y+?[∩E qui n"appartient pas `aB. On applique cette propri´et´e pour?= 1/n. On trouve un pointxn? E\B=Atel que|xn-y|<1/n. On a donc trouv´e une suite (xn) d"´el´ements deAqui converge

vers un pointydeEqui n"appartient pas `aA. C"est la contrapos´ee de la propri´et´e de l"´enonc´e.D´efinition 9SoitEun sous-ensemble deR. SoitA?Eetx0?E. On dit queAest unvoisinage

dex0dansEs"il existe? >0tel que]x0-?,x0+?[∩E?A. Exemple 10A?Eest ouvert dansEsi et seulement siAest un voisinage de chacun de ses points. Par exemple, siE={0} ?[1,2[, alors{0}est un voisinage de 0 dansE, c"est un ouvert deE.

1.3 Fonctions continues sur un sous-ensemble de R

D´efinition 11SoitEun sous-ensemble deR. Une fonctionf:E→Restcontinue surEsi pour toutx0?Eet tout? >0, il existeα >0tel que x?E,|x-x0|< α? |f(x)-f(x0)|< ?. Remarque 12SoitIun intervalle deR. Une fonctionf:I→Rest continue si et seulement

si elle est continue au sens usuel : continue en chaque point int´erieur, continue `a droite (resp. `a

gauche) aux bornes lorsqu"elles appartiennent `aI. Exemple 13SoitE= [0,1[. La fonctionfd´efinie surEparf(x) =1x-1est continue surE.

La fonctiongd´efinie surEparg(x) =1x

pourx >0etg(0) = 0n"est pas continue surE. En revanche, les restrictions de ces fonctions `aE?={0}?[1/2,1[sont continues. SiEest un ensemble fini de points deR, toute fonction surEest continue. SiE=Z, toute fonction surEest continue. Proposition 14SoitEun sous-ensemble deR. Une fonctionf:E→Rest continue si et seulement si pour tout ouvertUdeE,f-1(U)est un ouvert deE. Preuve.Supposonsfcontinue surE. SoitUun ouvert deR. Soitx0?f-1(U), autrement dit,x0?Eety=f(x0)?U. CommeUest ouvert, il existe? >0 tel que ]y-?,y+?[?U. Par continu¨ıt´e def, il existeα >0 tel que x?E,|x-x0|< α? |f(x)-f(x0)|< ?. Alorsf(E∩]x0-α,x0+α[)?U, doncE∩]x0-α,x0+α[?f-1(U). Ceci prouve quef-1(U) est ouvert. Inversement, soitx0?Eet? >0. L"intervalle ]f(x0)-?,f(x0) +?[ est un ouvert deR. Alorsf-1(]f(x0)-?,f(x0) +?[) est ouvert. Il existe doncα >0 tel queE∩]x0-α,x0+α[? f -1(]f(x0)-?,f(x0) +?[). Six?Eet|x-x0|< α, alorsf(x)?]f(x0)-?,f(x0) +?[, donc

|f(x)-f(x0)|< ?. Ceci prouve quefest continue enx0.Exercice 15SoitEun sous-ensemble deR. Soitf:E→Rune fonction d´efinie surE. Montrer

quefest continue si et seulement si pour toutx?Eet pour toute suite(xn)de points deE convergeant versx,limn→∞f(xn) =f(x). 2 Solution de l"exercice 15.Continu¨ıt´e et suites. Sens direct. Supposonsfcontinue surE. Soit (xn) une suite d"´el´ements deEqui converge vers x

0?E. Fixons? >0. Par continu¨ıt´e def, il existeα >0 tel que

x?E,|x-x0|< α? |f(x)-f(x0)|< ?.

Comme (xn) converge versx0, il existeNtel que

n≥N? |xn-x0|< α. Commexn?E, pourn≥N,|f(x)-f(x0)|< ?. Ceci prouve que limn→∞f(xn) =f(x). Inversement, supposons quefn"est pas continue surE. Alors il existe un pointx0?Eet un? >0 tels que pour toutα >0, il existex?Etel que|x-x0|< αet|f(x)-f(x0)| ≥?. On utilise cet ´enonc´e pour chaqueα= 1/n. On trouve, pour chaquen, un pointxn?Etel que |xn-x0|<1/net|f(xn)-f(x0)| ≥?. Alors la suitef(xn), qui ne s"approche pas def(x0), ne converge pas versf(x0).

1.4 Objectif

On voit que les notions comme la continu¨ıt´e, la convergence de suites, les voisinages, les ouverts,

les ferm´es, ont un sens pour un sous-ensemble deR. Ils constituent le vocabulaire de la topologie.

L"objet de la suite du ce chapitre et de se familiariser avec les sous-ensembles deR, en accumulant des exemples instructifs d"ouverts, de ferm´es, de suites, de fonctions.

2 Connexit´e

2.1 Peut-on ˆetre ouvert et ferm´e?

Exemple 16SoitE=R?=R\ {0}. SoitA=]- ∞,0[. AlorsAest `a la fois ouvert et ferm´e. En effet,Aest ouvert dansRdonca fortioridansE. Pour la mˆeme raison, son compl´ementaire B=E\A=]0,+∞[ est ouvert dansE, doncAest ferm´e dansE. Exercice 17SoitEun sous-ensemble deR. On suppose qu"il existe trois r´eelsa < c < btels que a?E,b?Emaisc /?E. Montrer qu"il existe une partieA?Equi est `a la fois ouverte et ferm´ee, mais qui n"est ni vide ni ´egale `aE. Solution de l"exercice 17.Ouverts et ferm´es `a la fois. On poseA=E∩]- ∞,c[ etB=E∩]0,+∞[. AlorsAetBsont ouverts dansEet sont

compl´ementaires l"un de l"autre (carc /?E), donc ils sont aussi ferm´es dansE. Par hypoth`ese,

A?=∅etB?=∅, doncA?=E.

D´efinition 18On dit qu"une partieEdeRestconnexesi on ne peut pas la diviser en deux ouverts disjoints et non vides. Autrement dit,Eest non connexe s"il existeAnon vide et distinct deE, tel queAsoit `a la fois ouvert et ferm´e dansE. Proposition 19Un sous-ensemble deRest connexe si et seulement si c"est un intervalle. Preuve.D"apr`es l"exercice 17, un sous ensemble connexeEdeRa la propri´et´e suivante : pour tousa,b?E, ]a,b[?E. Autrement dit, il estconvexe. D"apr`es la Proposition 21 du chapitre sur la borne sup´erieure, c"est un intervalle. Inversement, soitIun intervalle. SoientAetBdes parties non vides deI, disjointes, telles queA?B=I. Soita?Aetb?B. Quitte `a ´echangerAetB, on peut supposer quea < b. On 3

borne sup´erieure (Proposition 15 du chapitre sur la borne sup´erieure), il r´esulte qu"il existe une

suite (xn) de points deAqui converge versc. D"autre part, ou bienc=b?B, ou bien l"intervalle ]c,b[ est enti`erement contenu dansB. Dans les deux cas, il existe une suite (yn) de points deBqui

converge versc. Par cons´equent, l"un des ensemblesAetBn"est pas ferm´e (Proposition 8).2.2 Connexit´e et valeurs interm´ediaires

Voici une seconde preuve de la connexit´e des intervalles. SoitIun intervalle. Supposons par l"absurde queI=A?Bo`uAetBsont deux ouverts non vides deI. D´efinissons une fonctionf surIen posantf(x) = 0 six?Aetf(x) = 1 six?B. Alorsfest continue surI. En effet, la

continu¨ıt´e enx0ne d´epend que des valeurs de la fonction au voisinage dex0. Six0?A,f= 0 au

voisinage dex0, carAest ouvert, donc c"est un voisinage dex0. Six0?B,f= 1 au voisinage de x

0carBest ouvert. Orfne prend que les valeurs 0 et 1, cela contredit le th´eor`eme des valeurs

interm´ediaires.

3 Description des ouverts

3.1 Des exemples

Toute r´eunion d"intervalles ouverts est un ouvert. On peut par exemple prendre une r´eunion finie d"intervalles ouverts disjoints, comme U o`u une r´eunion infinie comme U

2={x?R|cos(2πx)>0}=?

k?Z]k-14 ,k+14 On peut prendre des intervalles de plus en plus petits, comme U 3=? k?Z]k-3-|k|-1,k+ 3-|k|-1[. Bien qu"il y ait une infinit´e d"intervalles, la longueur totale deU3vaut 2 k?Z3 -|k|-1=23 + 2∞? k=13 -k-1= 1.

Pour obtenir une famille d"intervalles ouverts disjoints qui contient tous les demi-entiers, il suffit

d"adjoindre `aU3l"ensemble V 3=? k?N]k+12 -3-|k|-2,k+12 + 3-|k|-2[ et son sym´etrique par rapport `a l"origine. Leur longueur totale n"exc`ede pas 29
Pour couvrir tous les rationnels dont le d´enominateur est 4, il faut encore ajouter V 4=? k≥1]k2 +14 -3-|k|-3,k2 +14 + 3-|k|-3[ et son sym´etrique par rapport `a l"origine. Leur longueur totale n"excede pas 227
. A l"´etape suivante, il faut se m´efier, car 1/8 et 3/8 sont d´ej`a couverts par un intervalle deU3. Ca se complique vite, mais on con¸coit qu"on puisse fabriquer une famille d"intervalles ouverts deux `a deux disjoints qui contiennent tous les nombres rationnels dont le d´enominateur est une 4

puissance de 2, mais dont la longueur totale reste finie. Pourtant, le compl´ementaire de la r´eunion

de ces intervalles ne contient aucun intervalle!

Question.Peut-on construire une r´eunion d"intervalles disjoints qui contient tous les rationnels,

mais dont la longueur totale reste finie?

3.2 Composantes

L"ouvertU1est form´e de 3 morceaux, et chacun est un intervalle. Comment, dans un ouvert quelconque, reconnaˆıtre les morceaux? D´efinition 20SoitUun ouvert deR, etx?U. On appellecomposantedexdansUla r´eunion de tous les intervalles ouverts contenantxet contenus dansU. Exemple 21Dans l"ouvertU1, la composante de1/2est]0,1[. Proposition 22SoitUun ouvert deR. AlorsUest la r´eunion d"une famille d"intervalles ouverts deux `a deux disjointsU1,U2,...,Uk,..., en nombre fini ou infini. Preuve.Etant donn´e,x?U, notonsCxla composante dexdansU. C"est un intervalle ouvert. En effet, siyetzsont des points deCx, avecy < z, alors [y,z]?Cx. En effet, la r´eunion de deux intervalles contenantxest un intervalle contenantx. Or il existe des intervallesIcontenantxet yetJcontenantxetzqui sont contenus dansU. AlorsI?Jest un intervalle contenantxet contenu dansU, donc contenu dansCx. Comme il contientyetz, il contient [y,z]. Autrement dit,Cxestconvexe, c"est donc un intervalle. D"autre part,Cxest une r´eunion d"ouverts, donc un ouvert. Autrement dit,Cxest le plus grand intervalle ouvert contenantxet contenu dansU.

Six?Uety?Cx, alorsx?Cy. En effet,

y?Cx?il existe un intervalleIcontenantxetyet contenu dansU?x?Cy, par sym´etrie. CommeCxest le plus grand intervalle ouvert contenantxet contenu dansU, et commeCyest un intervalle ouvert contenantxet contenu dansU,Cy?Cx. Par sym´etrie,Cx=Cy. Six,y?Uet siCx∩Cy?=∅, alorsCx=Cy. En effet, siz?Cx∩Cy, alorsCz=Cxet C z=Cy.

On conclut que les composantes des ´el´ements deUforment une famille d"intervalles deux `a deux

disjoints, et dont la r´eunion estU, ce sont les composantes deU. Dans chaque composante, on peut choisir un nombre rationnel. On peut donc num´eroter les composantes par un sous-ensemble

AdeQ. CommeQest d´enombrable,Al"est aussi. Ou bienAest fini, ou bien il peut ˆetre num´erot´e

par les entiers.Corollaire 23Soit? >0. Il existe une famille d"intervalles ouverts deux `a deux disjointsUk,

k= 1,2,...telle que - Tout nombre rationnel est contenu dans l"un desUk. - La longueur totale?∞ k=1long(Uk)< ?. Preuve.Soient (un)n?Nune suite de r´eels strictement positifs. Etant donn´es deux entiers p?Zetq≥1, soitIp,q=]pq -u|p|uq,pq +u|p|uq[. AlorsIp,qest un intervalle ouvert de longueur

2u|p|uq. SoitU=?

p?Zq≥1Ip,q. AlorsUest un ouvert deRqui contient tous les rationnels. La somme des longueurs des intervallesIp,qvaut p≥0,q≥0u puq= 4(? p?Nu p)2. D"apr`es la proposition 22,Uest la r´eunion d"une famille d"intervalles ouverts deux `a deux disjointsUk. Montrons que la somme des longueurs desUkvaut au plus 4(? p?Nup)2. Pour chaque k, notonsJk={(p,q)|Ip,q?Uk}. Alors chaque couple (p,q) avecp?Zetq≥1 appartient `a un et 5 un seul desJk. En effet, commeIp,qest un intervalle ouvert contenu dansU, il rencontre une et une seule composante, dans laquelle il est enti`erement contenu. Remarquons queUk=? (p,q)?JkIp,q, donc (p,q)?Jk2u|p|uq, d"o`u k=1? (p,q)?Jk2u|p|uq p?Z,q≥12u|p|uq p?Nu p)2.

On choisitun=?1/22-n-2, de sorte que?

p?Nup=12 ?1/2.3.3 Hom´eomorphismes D´efinition 24SoientEetE?deux sous-ensembles deR. Unhom´eomorphismedeEsurE?est une fonction bijectivef:E→E?telle quefetf-1soient continues. S"il existe un hom´eomorphisme deEsurE?, on dit queEetE?sonthom´eomorphes. Exemple 25La fonctionfd´efinie sur]0,1]parf(x) = 1/xest un hom´eomorphisme de]0,1]sur [1,+∞[. Exercice 26Montrer que deux intervalles ouverts sont toujours hom´eomorphes. Montrer que deux intervalles ferm´es born´es de longueurs non nulles sont toujours hom´eomorphes. Solution de l"exercice 26.Intervalles hom´eomorphes.

SoitI=]a,b[ (resp. ]- ∞,b[, resp. ]a,+∞[) un intervalle ouvert. Soitfla fonction d´efinie sur

Rparf(x) =ae-x+bexe

-x+ex(resp.b-ex, resp.a+ex). Alorsfest un hom´eomorphisme deRsurI. En effet,fest continue etf-1, donn´ee par la formule f -1(y) =12 ?n(y-ab-y),resp.f-1(y) =-?n(b-y),resp.f-1(y) =?n(y-a), est continue. SoitI= [a,b] aveca < b. Soitfla fonction d´efinie sur [0,1] parf(x) =a(1-x) +bx. Alors fest un hom´eomorphisme de [0,1] surI. En effet,fest continue etf-1, donn´ee par la formule f -1(y) =y-ab-a, est continue. Exercice 27Montrer que si un sous-ensembleEdeRest hom´eomorphe `a un intervalle ouvert, alorsEest lui-mˆeme un intervalle ouvert. Solution de l"exercice 27.Ensembles hom´eomorphes `a un intervalle ouvert. Soitf:]0,1[→Eun hom´eomorphisme. D"apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires,E=

f(]0,1[) est un intervalle. Supposons queEest un intervalle ferm´e born´e. D"apr`es le th´eor`eme de

la borne atteinte appliqu´e `af-1, ]0,1[=f-1(E) est ferm´e born´e, contradiction. Supposons queE

est semi-ferm´e, de la forme [a,b[ ou [a,+∞[. Alors ]0,1[\{f-1(a)}est hom´eomorphe `a l"int´erieur

deEdonc est connexe, cela contredit l"exercice 17. On conclut queEest un intervalle ouvert. Th´eor`eme 1Deux ouverts deRsont hom´eomorphes si et seulement si ils ont le mˆeme nombre (fini ou infini) de composantes. 6 Preuve.SoientUetVdes ouverts deR. Soitf:U→Vun hom´eomorphisme. Alorsfenvoie chaque composante deUsur une composante deV. En effet, d"apr`es l"exercice 27, siCxest une composante deU,f(Cx) est un intervalle ouvert contenu dansV, doncf(Cx)?Cf(x). De mˆeme, f -1(Cf(x))?Cx, doncf(Cx) =Cf(x). Commefest bijective, siUancomposantes,Ven an aussi. SiUa une infinit´e de composantes,Ven a aussi une infinit´e. R´eciproquement, soientUetVdes ouverts ayant le mˆeme nombrende composantes. Num´erotons les composantes deUet deV: on obtient des intervalles ouvertsU1,...,Un,V1,...,Vn. D"apr`es

l"exercice 26, il existe un hom´eomorphismefi:Ui→Vi. La fonction obtenue en juxtaposant lesfi

est un hom´eomorphisme deUsurV. SoientUetVdes ouverts ayant chacun une infinit´e de composantes. On peut num´eroter les composantes deUpar des entiers,U1,U2,...,Uk,..., et de mˆeme pour les composantes deV, V

1,V2,...,Vk,.... De nouveau, on juxtapose des hom´eomorphismesfi:Ui→Vi. L"applicationf

obtenue est un hom´eomorphisme deUsurV. En effet, la continu¨ıt´e defen un pointxde?Ui ne d´epend que des valeurs defau voisinage dex. Or la composanteUi=Cxest un tel voisinage,

sur lequelf=fi, doncfest continue. Le mˆeme argument s"applique `a la r´eciproquef-1.4 Un exemple de compact : l"ensemble de Cantor

SoitFun ferm´e deR. Son compl´ementaire est la r´eunion d"une famille d´enombrable d"inter-

valles ]an,bn[ deux `a deux disjoints. Supposons queFne contienne aucun intervalle ouvert. On a l"impression queF={an|n?N}?{bn|n?N}est d´enombrable. Il n"en est rien. L"objet de cette section est de pr´esenter un contre-exemple.

4.1 D´efinition

On part de l"intervalleC0= [0,1]. On lui retire son tiers du milieu. On obtientC1= [0,1/3]? [2/3,1]. On recommence : on retire `a chacun des deux intervalles constituantC1son tiers du milieu. On obtientC2= [0,1/9]?[2/9,1/3]?[2/3,7/9]?[8/9,1]. Et on recommence...

On peut d´efinir les ensemblesCn, r´eunions de 2nintervalles ferm´es de mˆeme longueur, par

r´ecurrence surn:Cn+1s"obtient en retirant son tiers du milieu `a chacun des intervalles constituant

C n. D´efinition 28On appelleensemble de Cantorl"ensemble C=? n?NC n.

4.2 Lien avec le d´eveloppement en base 3

Le lemme suivant rappelle des propri´et´es du d´eveloppement en base 3. Lemme 29Tout r´eel positif ou nulxpeut s"´ecrire sous la forme x= 3mbm+ 3m-1bm-1+···+b0+ 3-1a1+ 3-2a2+···, o`u lesbiet lesajprennent les valeurs 0, 1 ou 2. Cette ´ecriture est unique sauf pour l"ensemble

(d´enombrable) des rationnels dont le d´enominateur est une puissance de 3. Un tel nombre poss`ede

exactement deux d´eveloppements en base 3, l"un (qu"on baptise premier d´eveloppement dex) pour

lequelan?= 2,2 =an+1=an+2=···, l"autre qui ne diff`ere du premier qu"`a partir dun-`emequotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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