[PDF] TOPOLOGIE FAIBLE Rappelons quune topologie sur un ensemble

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TOPOLOGIE FAIBLE

SYLVIE BENZONI

Rappelons qu'unetopologiesur un ensembleXest une famille de parties deX, appelees ouverts, veriant les trois proprietes suivantes : (1) l 'ensemblev ide;et l'ensembleXlui-m^eme font partie des ouverts, (2) to uter euniond 'ouvertsest u nou vert, (3) to utei ntersection nied 'ouvertsest u nou vert. Une topologie est d'autant plusnequ'elle contient plus d'ouverts. Des exemples ex- tr^emes sont l atopologie grossiere(la moins ne!), pour laquelle seuls;etXsont des ouverts, l atopologie discrete(la plus ne), pour laquelle toutes les parties deXsont des ouverts. Un exemple moins trivial de topologie est celle engendree par les boules ouvertes dans un espace metrique : les ouverts sont alors tous les ensembles obtenus comme reunions quel- conques d'intersections nies de boules ouvertes. En particulier dans un espace vectoriel de dimension nie, toutes les normes sont equivalentes et engendrent la m^eme topologie. On dit qu'une topologie estsepareesi pour tout couple de points distinctsx1etx2, il existe des ouverts disjointsO1etO2tels quex12O1etx22O2. Une topologie d'espace metrique est toujours separee (il sut de prendre pour les ouvertsO1etO2des boules ouvertes de rayon strictement inferieur a la moitie de la distance entrex1etx2). Denition 1(Borel{Lebesgue).Dans un espace topologique separe, une partie estcom- pactesi de tout recouvrement par des ouverts on peut extraire un sous-recouvrement ni. Avec des symboles,KXest compacte si, pour toute famille d'ouverts(Oi)i2Itelle que K [i2IOiil existe une partie nieJdeItelle queK [j2JOj. Moralite (un anglophone parlerait de) : moins il y a d'ouverts, ou encore, moins la topologie est ne, plus il y a de compacts. Dans les espaces metriques, les compacts sont caracterises par deux proprietes : (1) l apre-compacite: un ensembleAest dit pre-compact (ou encoretotalement borne) si pour tout" >0,Aadmet un recouvrement ni par des boules de rayon", (2) l acompletude: toutes lessuites deCauchy sont convergentes. Dans un espace vectoriel norme de dimension nie (qui est toujours ferme), un ensemble est complet si et seulement s'il est ferme, et un ensemble est totalement borne si et seulement s'il est borne (il sut de le verier pour la normek k1, dont les boules sont des paves). Par suite, les compacts d'un espace vectoriel norme de dimension nie sont les ensembles fermes bornes. En revanche, dans un espace vectoriel norme de dimension innie, la boule fermee unite n'est jamais compacte : c'est le theoreme de Riesz (voir par exemple [1, p. 92]).Date: 3 mars 2010. 1

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1.Topologie faible

Desormais,Xest unR-espace deBanach , c'est-a-dire un espace vectoriel norme complet surR. Il est muni de la topologie engendree par les boules ouvertes, que l'on appellera topologie forte. On va denir la topologie faible comme ayant moins d'ouverts et on verra qu'elle a plus de compacts que la topologie forte. On noteX0ledual topologiquedeX, c'est-a-dire l'espace des formes lineaires continues surX: c'est un espace deBa nachp our la norme99denie par

9f9= sup

x6=0hf;xikxk; ouh;idesigne le crochet de dualite (c'est-a-dire quehf;xidesigne l'image dexpar la forme lineairef). Denition 2.Latopologie faiblesurXest la topologie la moins ne telle que toutes applicationsf:X!Ravecf2X0soient continues. Ceci est unedenition au sens ou il est possible de construire la topologie faible. En eet, celle-ci doit au minimum contenir tous les ensembles de la formef1(U) ouUest un ouvert deRetf2X0. Si l'on considere toutes les reunions quelconques d'intersections nies de tels ensembles, on obtient une topologie, et c'est bien s^ur celle qui a le moins d'ouverts parmi les topologies ayant les ensemblesf1(U) comme ouverts. La topologie faible est moins ne que la topologie forte, c'est-a-dire que tous les ouverts faibles sont fortement ouverts, car c'est le cas des ouverts faibles de la formef1(U) ou

Uest un ouvert deRetf2X0.

En dimension nie, la topologie faible co

ncide avec la topologie forte. En eet, notons (e1;:::;en) une base deXet (f1;:::;fn) sa base duale. SiUest un ouvert fort, six02U il exister >0 tel que la boule ouverte de centrex0et de rayonrsoit incluse dansU. Or d'apres l'inegalite triangulaire, cette boule contient l'ouvert faible

V(x0) :=fx2X;jhfi;xx0ij< r=n;8i2 f1;:::;ngg:

AinsiUest la reunion des ouverts faiblesV(x0) lorsquex0parcourtU, c'est donc un ouvert faible. En dimension innie en revanche, la topologie faible est strictement moins ne que la topologie forte : une boule ouverte n'est pas faiblement ouverte, voir [1, p. 37]. La topologie faible est separee. Ceci est une consequence du theoreme de

Hah n-Banach

(forme geometrique, voir [1, p. 7]): six16=x2il existef2X0et2Rtels que hf;x1i< g separent les pointsx1etx2. Rappelons qu'on appellevoisinaged'un pointxtout ensemble contenant un ouvert contenantx, et qu'unebase de voisinagesest une famille de voisinages telle que tout ouvert contenantxcontient au moins un de ces voisinages. Quel que soitx02X, une base de voisinages faibles dex0est formee par les ouverts faibles de la forme fx2X;jhfi;xx0ij< ";8i2Ig; ou" >0,Iest ni etfi2X0. On distingue la convergence d'une suite pour la topologie faible en la notant*(au lieu de!pour la convergence forte). Gr^ace aux bases de voisinages decrites ci-dessus, on voit que laconvergence faibleest caracterisee par : x n* x, 8f2X0;hf;xni ! hf;xi:

TOPOLOGIE FAIBLE 3

La convergence forte implique la convergence faible, car jhf;xni hf;xij 9f9kxnxk: Toute suite faiblement convergente est bornee. En eet, si (xn)n2Nest faiblement conver- gente, alors pour toutf2X0la suite numerique (hf;xni)n2Nest convergente donc bornee.

Gr^ace au theoreme de

B anach-Steinhaus

( ou[1, p. 16]) applique aTn:X0!Rdeni parTn(f) =hf;xniet au corollaire du theoreme de

Hahn-Banach

sel onl equelkxnk=9Tn9, on en deduit que (xn)n2Nest bornee. On a par ailleurs un resultat de: sixn* fetfn!falors hfn;xni ! hf;xi. En eet, jhfn;xni hf;xij jhfnf;xnij+jhf;xnxij 9fnf9kxnk+jhf;xnxij ou chacun des termes tend vers zero par hypothese. Lesfermessont par denition les complementaires des ouverts. Par suite, les fermes faibles sont des fermes forts. Mais la reciproque est fausse. Par exemple, la sphere unite n'est pas faiblement fermee en dimension innie, son adherence fermee etant la boule fermee (voir [1, p. 37]). En revanche, lesconvexesfortement fermes sont faiblement fermes. Demonstration.SiCXest convexe ferme, soientU=XnCetx02U. D'apres le theoreme de

Ha hn-Banach

i lex istef2X0et2Rtels que hf;x0i< Plus generalement, dans un espace re exif, les convexes fermes bornes sont faiblement compacts, voir [1, pp. 44-46]. Ce theoreme se demontre en passant par une topologie encore moins ne que la topologie faible dansX0.

2.Topologie faible

Etant donne un espace de

B anachXet son dual topologiqueX0, on peut bien entendu denir la topologie faible surX0. On va en fait denir une topologie encore moins ne (strictement siXn'est pas re exif).

4 SYLVIE BENZONI

Denition 3.Latopologie faiblesurX0est la topologie la moins ne telle que toutes applications

Jx:X0!R

f7! hf;xi avecx2Xsoient continues. La topologie faibleest separee. Ceci resulte quasiment directement des denitions. En eet, sif1etf2sont deux elements distincts deX0, il existex2Xtel quehf1;xi< hf2;xi. En choisissant un nombre reel2]hf1;xi;hf2;xi[, on peut prendreO1:=ff2 X

0;hf;xi< getO2:=ff2X0;hf;xi> gcomme ouverts faiblesseparantf1et

f 2. Quel que soitf02X0, une base de voisinages faiblesdef0est formee par les ouverts faiblesde la forme ff2X0;jhff0;xiij< ";8i2Ig; ou" >0,Iest ni etxi2X.

Laconvergence faibleest caracterisee par :

f n* f, 8x2X ;hfn;xi ! hf;xi: La convergence forte implique la convergence faible qui elle-m^eme implique la conver- gence faible. Toute suite faibleconvergente est bornee. En eet, si (fn)n2Nest faibleconvergente, alors pour toutx2Xla suite numerique (hfn;xi)n2Nest convergente donc bornee. Gr^ace au theoreme de

B anach-Steinhaus

[ 1,p .1 6]a pplique afn:X!Rd, on en deduit que (fn)n2Nest bornee. Par ailleurs sixn!xetfn* falorshfn;xni ! hf;xi. En eet, jhfn;xni hf;xij jhfnf;xij+jhfn;xnxij jhfnf;xij+9fn9kxnxk ou chacun des termes tend vers zero par hypothese. Lesfermes faiblessont par denition les complementaires des ouverts faibles. Les fermes forts, et m^eme les convexes fermes, ne sont pas fermes faiblesen general: siX n'est pas re exif et si2X00nJ(X), alors l'hyperplan (fortement et) faiblement ferme ?n'est pas faibleferme (voir [1, p. 42]). Cependant les boules fermees sont faible fermees et m^eme compactes (voir [1, p. 42{43]) : Theoreme 2(Banach{Alaoglu).La boule fermee unite est faiblecompacte. Ce theoreme intervient notamment dans la demonstration du theoreme de

Ka kutani

Ils permettent a eux deux d'extraire des sous-suites convergentes, moyennnant quelques precautions liees aux notions de metrisabilite et de separabilite.

3.Metrisabilite et separabilite

La notion de compacite denie par la propriete de

B orel{Lebesgue

( denition1) est equivalente a la propriete de B olzano{Weierstrass( selonl aquellet outesu iteb orneea dmet une sous-suite convergente) seulement dans les espaces metriques. Or l'espaceX0muni de la topologie faiblen'est pas metrisable siXest de dimension innie. Cependant, la boule fermee unite deX0est metrisable siXestseparable(c'est-a-dire admet une famille denombrable dense): il(voir [1, p. 48{49]) de denir la distancedpar d(f;g) =+1X n=12 njhfg;xnij;

TOPOLOGIE FAIBLE 5

ou (xn)n2Nest une famille denombrable dense dans la boule fermee unite deX.

Par suite, le theoreme de

Ba nach{Alaoglu

e stsu rtoutu tilel orsqueXest separable (voir [1, p. 50]) : Corollaire 1.SiXest separable, toute suite bornee dansX0admet une sous-suite faible convergente. Ceci s'applique par exemple aX=L1: toute suite bornee dansL1admet une sous- suite faibleconvergente.

En matiere de topologie faible, le theoreme de

Bo lzano-Weiestrass

es tv raiso usl 'hypo- these queXsoit re exif (comme dans le theoreme deKak utani):

Corollaire 2.SiXest re

exif, toute suite bornee dansX0admet une sous-suite faible- ment convergente. Attention, ceci ne s'applique pas aX=L1. La caracterisation des compacts faibles dansL1est fournie (voir par exemple a [2, p. 274]) par le

Theoreme 3(Dunford-Pettis).Soient

un espace mesure separable et localement com- pact etFun sous-ensemble borne deL1( ). AlorsFest faiblement compact si et seule- ment si (1)pour tout" >0, il existe >0tel que pour toutAde mesurejAj< , pour tout f2Fon aitR

Ajfj ",

(2)pour tout" >0, il existe un compactK tel que pour toutf2Fon aitR nKjfj ".

En particulier, si

est de mesure nie (par exemple si est un ouvert borne deRn muni de la mesure de

L ebesgue

), le point (2) est automatiquement satisfait. Un autre cas particulier est celui d'unemesure discrete, c'est-a-dire celui d'un espace

1, dans lequel le point (1) est automatiquement satisfait et ou l'on voit que la compacite

faible est equivalente a la compacite forte.

Tab. 1.EspacesLp(

) avec un ouvert deRnmuni de la mesure de Lebesgueespacere exifseparableson dualdual de L

1nonouiL

1? L p,ouiouiL p0,L p01< p <11 p +1p 0= 1L

1nonnon!L1L

1R eferences [1]

Br ezis

,H. An alysef onctionnelle: Th eoriee tapp lications.M asson1983. [2]

Ed wards

,R. E .F unctionalan alysis: t heoryand app lications.Holt -Rinehartand W inston,1965.quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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