[PDF] Topologie générale Topologie générale. Unige.

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Cours donné par

TatianaSmirnova-NagnibedaTopologie générale

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Table des matières

1 Espaces topologique. Ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2 Sous-espaces. Bases de topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3 Applications continues. Homéomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

4 Espace métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

5 Topologie produit, topologie quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

5.1 Topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

5.2 Topologie des quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

6 Suites et limites, espaces séparés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

7 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 7

8 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

9 Variétés et classification des surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

9.1 Théorème de classification de surfaces à homéomorphismes près . . . . . . .

71
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Topologie générale Unige

Introduction

Continuité en général :

Pour une fonctionf:X!Y

fest continue en un pointxsi8" >0;9 >0tel que siyestproche dex, alorsf(y)sera" proche def(x) Pour cela, il nous faut une métrique dans chacun des ensemblesXetY. Dans certains cas, les métriques seront équivalentes, mais pas toujours. On va regarder les invariants des espaces par continuité. 3/ 72

Topologie générale Unige

1 Espaces topologique. Ouverts et fermés

Définition

SoitXun ensemble. Une topologie surXest une famille de sous-ensembles deX(appelés les ouverts) qui satisfont trois conditions : •1);;Xsont dansT •2) Toute union des éléments deTest de nouveau un élément deT. •3) Toute intersection d"un nombre fini d"éléments deTest aussi un élément deT

Remarques

•Tpeut être finie ou infinie, dénombrable ou non. •Sur un ensembleX, on peut définir à priori plusieurs topologies, sijXj>1.

Exemples

•1)XquelconqueTtriv=fX;;gla topologie triviale. •2)XquelconqueTdisc=P(X) =tous les sous-ensembles deX. •3)X=Rnmuni de la métrique euclidienne :d2(x;y) =v uutn X i=1(xiyi)2avecx;y2Rn

Topologie standard surRn:

T st=fURn8x2U9 >0tel queUBd2(x;)g= tous les sous-ensemblesURntel que chaque point deUest contenu dansUavec une petite boule ouverte autour de lui.

Montrons que c"est bien une topologie :

-i) mathbbR n;; 2 Tst -ii) Supposons quex2[ iU iAlors,9tel queSUiB(x;) =) 9xtel quex2Ui=) 9tel queB(x;)UicarUiouverts. 4/ 72

Topologie générale Unige

-iii) Vérifions la condition puor les intersections finies : x2U1\ \Un=) 8i= 1;;n;x2Ui=)i;8itel queB(x;i)Uisi min1in

AlorsB(x;)n\

i=1U i=)n\ i=1U iest aussi un ouvert. •XquelconqueTf=fU P(X) :XnUest finig

Remarque

T f=Tdisc() jXj<1

Définition

SoientT1etT2deux topologies sur un ensembleX.

On dit queT1est plus fine queT2siT1 T2

C"est une relation d"ordre partiel sur l"ensemble des topologies surX.

Exemples

•1) Voir remarque précédente •2) SurRn,Ttriv Tf Tst Tdisc

Plus généralement,8Tsur8X:Ttriv T Tdisc

PourjXj>1, au moins une des deux inclusions est stricte.

Remarques

•Il suffit de demander, dans la condition iii) que8U1;U22 T; U1\U22 Tiii") En effet, si la condition est vérifiée pour les couplesU1;U22 T, alors8n2 U

1\ \Un= (U1\U2)\U3\ \Un= ((U1\U2)\U3))\Un)2 Tpar iii")

•2) La condition iii) n"est en général pas vérifiée sur les intersections infinies! 5/ 72

Topologie générale Unige

Exemple

U n= (1n ;1n )2 Tst Toutes les intersections finies desUnsont des intervalles ouverts et donc2 Tst Mais\ n1U n=f0g=2 Tst

Définition

Soit(X;T)un espace topologique.

Un sous-ensembleFXest dit fermé siXnF2 T

(Voir un exo Série 1 qui montre que l"on peut définir un espace topologique à partir des fermés

en modifiant les axiomes)

Nota Bene!

Fermé-ouvert n"est pas une dichotomie!!!

•On peut avoir des sous-ensembles à la fois fermés et ouverts :X;;;8A;2 P(X)dansT. •On peut avoir des sous-ensembles qui ne sont ni ouverts, ni fermés, par exemple(0;1]dans T st

Définition

Soit(X;T)un espace topologique.

Pour un pointx2X, un sous-ensembleN P(X)est un voisinage dexs"il existe un ouvert

U2 Ttel quex2UN

Définition

(X;T)un espace topologique. SoitAX. On définitAl"intérieur deA: A =fx2A:Aest un voisinage dexg

Exemple

A= [0;1], alorsA= (0;1)

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Topologie générale Unige

Proposition 1

•1)AA •2)8A;Aest ouvert.

Preuve

•1) Trivial par la définition deA •2)8x2A;9Ux2 Ttel queUxA(on réécrit la définition deAet la définition d"un voisinage) Mais maintenant,8y2Ux; yappartient àAavec l"ouvertUx3y. Donc,Aest un voisinage dey. DoncUxA

Donc8x2A; UxA

AlorsA=[

x2AU xpar axiome (ii),Aest un ouvert.

Définition

(X;T)un espace topologique,AX On noteAl"adhérence deA.A=fx2XXnAn"est pas un voisinage dexg

Proposition 2

•1)AA •2)8A;Aest fermé

Exemples

•1)[0;1] = [0;1] •2)(0;1) = [0;1] 7/ 72

Topologie générale Unige

Preuve de la Proposition 2

•1) Clairement,AAcara2A; a =2XnAet doncXnAne peut pas être un voisinage dea. •2) On montre queXnAest ouvert

XnA=fx2XjXnAest un voisinage dexg= (XnA)circ

Donc par la Proposition 1,XnAest un ouvert=)Aest un fermé

Nota Bene!

XnA= (XnA)(exo 6 série 1)

Théorème 1

(X;T)un espace topologique. •1)AXest un ouvert deTsi et seulement siA=A •2)AXest un fermé deTsi et seulement siA=A

Preuve Théorème 1

•1)(=par Proposition 1=)SoitAest ouvert. En particulier, il est lui-même un voisinage de tout point à l"intérieur deA:

Rappel

XNest un voisinage d"un pointxs"il existeU2 Ttel quex2UN Dans la situation oùAXest un ouvert etx2A, on prendU=Adans cette définition et on a queAest un voisinage de toutx2A Cela montre queAA. D"autre part,AApar Proposition 1.

DoncA=A

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Topologie générale Unige

•2)(=par Proposition 2 =)SoitAun fermé. AlorsXnAest un ouvert=)XnA= (XnA)par Proposition 1

Mais(XnA)=XnA=)XnA=XnA=)A=A

Corrolaire 1

•1)(A)=A •2)(A) =A

Définition

(X;T)un espace topologique,AX @Abord deA=AnA

Corrolaire 2

Étant donnéAX, on a :

X=At@At(XnA)=At(XnA)=AtXnA

@A=@(XnA)

Remarque

@Apeut contenir des points deAet des points deXnA

Exemple

A= [0;1)(R;Tst)

A = (0;1);A= [0;1];@A=f0;1g

Définition

AXest densedansXsiA=X

Dans d"autre termes,XnA=;=)(XnA)=;, ce qui veut dire queXnAne contient aucun ouvert deT ()tout ouvert deTcontient au moins un point deA 9/ 72

Topologie générale Unige

On a également :

Aest dense si et seulement siX=At@A(Corrolaire 2)

Exemple

Q(R;Tst. AlorsQest dense (vu en Analyse 1. Tout intervalle ouvert contient un rationnel)

De plus,Q=;

Prenons06=U2 Tst

9" >0; x2Utel que(x";x+")U

On sait que(x";x+")est non-denombrable etQest dénombrable =)Ucontient nécessairement des points deRnQ=)U6Q=)Q=;

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Topologie générale Unige

2 Sous-espaces. Bases de topologies

Définition

(X;T)un espace topologique. SoitYX On définit une topologie surYque l"on appelle la topologie induite par la topologieT,TYen prenant : T

Y=fU\YjU2 T g

(Y;TY),Ymuni de la topologie induiteTYest dit un sous-espace de(X;T)

Il faut voir queTYest bien une topologie.

•i);=; \Y,Y=X\Y=) ;;Y2 TY •ii) Soit(U0) TY Alors U 0=[ U \Y= ([ U

2T\Y2 TYavec(U)2 T

•iii)n\ i=1U 0i=n\ i=1(Ui\Y) = n\ i=1U i! 2T \Y=)n\ i=1U

0i2 TYavecUi2 T

Exemples

•1)(X;T) = (R;Tst) Y= [0;1)avecTYSoitA= [0;1)DansTst,An"est ni ouvert, ni fermé.

Par contre,A= [0;1)est ouvert dansTYcarA= (1;1)

2T st\Y YnA= [1;1)=2 TYcar on ne peut pas écrire[1;1)comme une intersectionY\Uavec U2 T

DoncAn"est pas fermé dansTY

•2)(X;T) = (R;Tst)Y0= (1;1)etA= [0;1)

YnA= (1;0)2 TY0carY0nA=Y0\(1;0)

2T st =)Aest fermé dansTY0

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Topologie générale Unige

Par contre,An"est pas ouvert dansTY0car on ne peut pas écrire[0;1)comme une intersection d"un ouvert deTstavec(1;1) •3)(X;T) = (R;Tst)Y00= [0;1)

AlorsA= [0;1)est fermé et ouvert dansTY00

Exemple

R n+1Bd2(0;1)la boule ouvert centrée en zéro de rayon 1.

B(0;1) =fx2Rn+1:jjxjj2<1g=fx2Rn+1:d2(0;x)<1g

@B

2(0;1) =Snla sphère de dimensionnRn+1

En particulier,S1= le cercle unité.

On peut considérer les boules et les sphéres avec la topologie induite parTstsurRn+1

Proposition 1

Soit(X;T)un espace topologique,(Y;TY)un sous-espace etAXA\YT YA T\Y

De plus , siAY, alors c"est une égalité.

Remarque

En général, ce n"est pas une égalité :

Par exemple, pourX= [1;1]; Y= [0;1]; A= [1;0;)

A\Y=;=)A\YT

Y=;

MaisA= [1;0]et doncA\Y=f0g 6=;

Preuve de la Proposition 1

Pas dans le cours, mais elle se trouve dans le livre "Introduction to Topology" de Th.Gamelin dans le chapitre 2.

Définition

Soit(X;T)un espace topologiqueB Test une base de la topologieTsi8U2 T; Uest une union d"élémetnts deB.

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Topologie générale Unige

Exemple

Soit(X;Tdisc)etB= (fxg)x2X=fA2 P(X)jAj= 1g

T disc=P(X)

Remarque

Par convention,;s"obtient comme une union sur une famille vide.

Exemple

fBd2(x:r)x2Rn;r >0gest une base deTstsurRn

Théorème 1

SoitXun ensemble. Une famille de sous-ensemblesB P(X)est une base topologique surX si et seulement si : •1)X=[ b2Bb •2)8B1;B22B8x2B1\B2;9b2Btel quex2bB1\B2

Preuve

=)SoientTune topologie surXetBune base deT. A voir :Bsatisfait les points 1) et 2) du Théorème 1 : •1) est vrai par définition d"une base carX2 T •2)Bune base=)B T, donc8B1;B22B, on aB1\B22 T=)B1\B2est une union d"éléments deB, et donc8x2B1\B2;9b2Btel quex2B (=SoitBP(X)satifaisant 1) et 2) On définitT=U2P(X)Uune union d"éléments deBget vérifie queTest bien une topologie surX.

On vérifie les 3 axiomes d"une topologie :

•i);est une union vide par convention.

X2 Tpar la condition 1) du Théorème 1

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Topologie générale Unige

•ii) Une union d"éléments deBest une union d"éléments deB •iii) SoientU1;U22 T. A voir :U1\U22 T. U 1=[ iB i; U2=[ jB javecBietBjdes éléments deB. U

1\U2=[

iB i[[ jB j=[ i;jB i\Bj

Par 2),8i;j;8x2Bi\Bj;9Bx2Btel quex2BBi\Bj

AlorsBi\Bj=[

x2Bi\BjB x2 Tpar définition deT

Nota Bene!

Une manière de comprendre le Théorème 1 est qu"une base détermine une topologie surX. (Par contre, une topologie peut admettre des bases différentes) On peut aussi comparer des topologies différentes surXà l"aide des bases, voir Série 3.

On peut aussi parler de sous-bases :

Définition

Soit(X;T)un espace topologiqueS Test une sous-base deTsi l"ensemble de toutes les intersections finies d"éléments deSest une base deT.

Exemples

•PourXun ensemble quelconque : fXnfxgx2Xgest une sous-base de la topologieTfinsurX. !exo dans la série 3. •Toute base est aussi une sous-base (trivialement)quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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