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Propriété (admise) : En?± la limite d'une fonction polynômes est égale à la limite de son terme de plus haut degré Cas des fonctions homographiques

  • Comment trouver les asymptotes d'une fonction homographique ?

    Limites d'une fonction homographiqueModifier
    Autrement dit, une fonction homographique poss? deux asymptotes: les droites x = -d/c et y = a/c.

  • Comment trouver l'équation de l'asymptote ?

    On cherche la limite de y(t)/x(t) quand t tend vers t0. Si cette limite est égale à un réel a non nul, on cherche alors la limite de y(t) – ax(t) quand t tend vers t0. Si cette limite est égale à un réel b, alors la droite d'équation y = ax + b est asymptote à la courbe.

  • Comment définir une fonction homographique ?

    Une fonction homographique est une fonction qui admet une expression de la forme f(x)=cx+dax+b, avec c?=0 et ad-bc\\neq0. On est donc capable de déterminer si une fonction est homographique ou non.
  • Une asymptote est une droite vers laquelle la fonction tend. C'est à dire que plus x va se rapprocher de la limite étudiée, plus la fonction sera presque égale à la droite « asymptote ». Pour trouver une asymptote d'une fonction il faut donc regarder comment évolue la fonction au voisinage de la limite recherchée.
Fonctions Rationnelles1

2ma1 Fonctions rationnelles

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1

Fonctions Rationnelles

1

Prérequis :

• Vocabulaire et notations sur les fonctions (domaine de définition, ordonnée à l'origine, zéros, images, préimages). • Vocabulaire et notions d'algèbre sur les polynômes et leur factorisation.

Matériel Nécessaire :

• Ce polycopié, • Les séries : FRS1, etc. • Le livre " Notions élémentaires » • Crayon, règle, gomme pour les esquisses graphiques • Stylos pour les épreuves • Calculatrice non PRO

Vocabulaire :

Définitions :

Une fonction rationnelle est une fonction donnée par où () et () sont des polynômes.

Le domaine de définition d'une fonction rationnelle comprend toutes les valeurs réelles de

sauf celles qui annulent le dénominateur ().

Exemple :

est une fonction rationnelle.

Son domaine de définition est : =ℝ\

-2;2

Son graphe :

On remarque que, quand →±∞, la courbe se rapproche de la droite horizontale =1.

Cette droite est une asymptote horizontale.

De la même manière, les droites =-2 et =

2 sont les asymptotes verticales.

Les asymptotes sont représentées par des

droites en pointillés. Remarque : Une fonction polynômiale est une fonction rationnelle car 1 Sources du cours : Cours de S. Picchione et B. Gisin.

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2

Outils :

Pour étudier les fonctions rationnelles, il est nécessaire de définir un peu de vocabulaire et

quelques techniques algébriques.

Il sera nécessaire de savoir :

ü Déterminer le domaine de définition d'une fonction. (premier chapitre de l'année) ü Factoriser (diviser des polynômes) et étudier des polynômes (numérateur et dénominateur) dans un tableau de signes. (chapitre sur les fonctions polynômiales) Ce chapitre sera étudié plus en détails en 3 e mais on le commence en 2 e en guise d'introduction avec des techniques " intuitives ». Pour s'échauffer, commençons par simplifier des fractions (lorsque c'est possible) :

Exemple :

avec Exercice : Déterminer les domaines des fractions suivantes et les simplifier : (a) (b) (c)

Ø Fonctions rationnelles Série1 ex 1 & 2

Ø Notions élémentaires p.98 ex 7

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Asymptote verticale :

Exemple :

Que se passe-t-il près de x=0 ? Calculons quelques images pour le savoir:

Notation : →0

Notation : →0

-0,5 -0,1 -0,01 -0,001 0,5 0,1 0,01 0,001 On remarque que: plus s'approche de 0, du côté négatif, plus s'approche de ..........

Notation: Si →

alors Et: plus s'approche de 0, du côté positif, plus s'approche de ..........

Notation: Si →

alors

Définition : On dit qu'une droite verticale d'équation = est une asymptote verticale

(A.V.) de la fonction si l'une au moins des conditions suivantes est satisfaite :

Donc

possède une asymptote verticale (A.V.) d'équation : =.

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Exemple :

Déterminer son domaine de définition :

Comme n'est pas définie en -1 ( i.e. : (-1) n'existe pas ), nous désirons connaître les

valeurs de lorsque s'approche de -1. Nous allons calculer l'image, par , de nombres de plus en plus proches de -1 :

Nous remarquons que: Et que:

Si →-1

alors → .......... Si →-1 alors

Comme n'est pas définie en 1 ( i.e. : (1) n'existe pas ), nous désirons connaître les valeurs

de lorsque s'approche du nombre 1. Nous allons calculer l'image, par , de nombres de plus en plus proches de 1. Nous remarquons que : Si →1alors

Question : peut-on simplifier la fraction ?

Ø Fonctions rationnelles Série1 ex 3

→-1 →-1 -0,5 -0,9 -0,99 -0,999 -1,5 -1,1 -1,01 -1,001 →1 →1 0,5 0,9 0,99 0,999 1,5 1,1 1,01 1,001

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Asymptote horizontale :

Exemple : ()=

1

Que se passe-t-il pour la fonction

lorsque l'on prend des valeurs très grandes pour , c'est-à-dire si →∞ ? 2 10 125
364

234567

On remarque le 1 du numérateur reste fixe mais le dénominateur de la fraction devient de plus en plus grand. Pour comprendre ce qu'il se passe, représentons le 1 par un gâteau 2 Le dénominateur devient le nombre de part à découper. Plus il y a de personnes pour manger le gâteau et plus les parts seront petites. Lorsque le nombre de personne devient trop grand, il ne reste que des miettes pour chacun. Si on désire partager le gâteau avec une infinité de personnes alors il ne reste rien pour chaque personne !

Ainsi, si →∞ , alors

→0

Donc

possède une asymptote horizontale (A.H.) d'équation : =0 .

Définition : On dit qu'une droite horizontale d'équation =est une asymptote horizontale (A.H.)

de la fonction f si l'une au moins des conditions suivantes est satisfaite : Si →+∞ alors ()→ Si →-∞alors ()→ 2 Si vous êtes plutôt #teampizza que #teamgâteau, le raisonnement reste valable.

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Théorème :

Soit

X Y Y , le graphique de n'a pas d'asymptote horizontale.

(si =+1,,...7)

Exemple :

Exercice : Déterminer l'asymptote horizontale du graphique de , si elle existe : (a) u' (b) (c) v 2ma1 Fonctions rationnelles

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Asymptote oblique :

Pour trouver l'asymptote horizontale, on peut aussi effectuer la division polynômiale ! Mais si le quotient n'est pas une constante, il faut interpréter le résultat !

Exemple :

Divisons

+2 par -2 :

On peut donc écrire :

=+2+

Or, si →±∞ alors

→0 et on a donc : →+2 Cette fonction a une asymptote oblique ( A.O.) de droite: =+ Cela signifie que proche de ±∞, la fonction va se comporter comme la droite =+2.

Remarquons que

-2 , cette fonction possède aussi une asymptote verticale en =-2 Définition de l'asymptote oblique : Une droite ()=+ℎ ( est la pente et ℎ est l'ordonnée à l'origine) est appelée asymptote oblique de la fonction si l'une au moins des conditions suivantes est satisfaite; =0 =0 Autrement dit: Si tend vers ±∞, alors la différence entre et tend vers 0.

Illustration :

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8 Exercice : Déterminer l'équation de l'asymptote oblique des fonctions suivantes : (a) (b) (c)

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Etude à l'aide d'un tableau de signes :

Il s'agit de la même méthode utilisée pour l'étude des polynômes. Définition : Le tableau de signes d'une fonction présente les intervalles pour lesquels cette fonction est positive et ceux pour lesquels elle est négative.

Cette méthode est basée sur la règle de multiplication (et division) de signes. Il faut avoir

en tête la règle suivante : +1 +1 =1 -1 -1 =1 +1 -1 =-1= -1 +1 =-1

Nous dirons qu'une fonction est :

- Positive si son graphe est au-dessus de l'axe , càd : ()> 0 - Négative si son graphe est au-dessous de l'axe , càd : <0 - Nulle (ou égale à zéro) si son graphe intersecte l'axe , càd : =0 Exemple : Voici la représentation graphique d'une fonction polynômiale

On remarque que cette fonction a 3 zéros :

=-2; =0 et =1.

Elle est négative avant =-2et sur

l'intervalle entre 0 et 1.

Elle est positive sur l'intervalle entre -2 et 0

et aussi entre 0 et 1.

En tableau, on écrit :

-∞;-2 -2 -2;0quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34
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