[PDF] Corrigé de la seconde épreuve de lagrégation interne 2012

View - Download Corrigé de la seconde épreuve de lagrégation interne 2012

Previous PDF

Next PDF

Corrige de la seconde epreuve de l'agregation interne 2012

I-A-1)FixonsN2N: un pointa2Eappartient aT

N(u) si et seulement si :

8" >0;9n>N ;kunak< " ;

ce qui montre que :A=TN(u)[V(u)T

N(u). Reciproquement, sia62A, on a :a62V(u)

donc il existe un reelr >0 et un entiern0tels que :kunak>rpour tout entiern>n0. Mais l'ensemblefkunak=N6n < n0gest ni, donc s'il est non vide il admet un plus petit element >0, et en posant :"= min(r; )>0 on obtient :kunak>"pour toutn>N, donca62T

N(u), et on en conclut par contraposee que :T

N(u) =A.

I-A-2)On en deduit que :

V(u)F=\

N2NT N(u); et si`2F, pour tout entier naturelNon a :`2T

N(u), donc pour tout reel" >0 il existe

un entiern>Ntel que :kun`k< ", donc`2V(u) et nalement :V(u) =F. I-A-3.a)L'ensembleV(u) est donc une intersection de fermes deE, donc il est ferme. I-A-3.b)Si la suiteuest bornee, elle admet une valeur d'adherence par le theoreme de Bolzano-Weierstrass puisqueEest suppose de dimension nie, doncV(u) est non vide, et il existe un reelMtel queT0(u) est contenu dans la boule fermee de centre 0 et de rayonM, donc son adherence l'est aussi doncV(u) est borne : on en conclut queV(u) est compact. I-A-4.a)Par l'absurde, supposons que l'ensembleIdes entiersntels que : u n62B=k[ i=0B(`i; ") soit inni. Cela permet de construire une suitevextraite deuet a valeurs dansEnB, et vest bornee donc possede une valeur d'adherence`, et commeEnBest ferme on obtient : d(`; `i)>" >0 pour tout 06i6k. Mais`est aussi une valeur d'adherence deuce qui est contradictoire, doncIest ni ou vide, donc il existen02Ntel que :n < n0pour toutn2 I. I-A-4.b)Siuconverge vers`, toute suite extraite deuconverge vers`doncV(u) est un singleton. Reciproquement, siuest bornee et possede une unique valeur d'adherence`, on deduit duaque pour tout reel" >0 il existe un entiern0tel queun2 B(`; ") pour tout entiern>n0, c'est a dire queuconverge vers`d'ou l'equivalence. I-A-5)Pour toutn2Nposons :w2n=unetw2n+1=vn. On a bien s^ur :V(u)[V(v)V(w) (en extrayant dewles suites (w2'(n))n2Net (w2'(n)+1)n2Nrespectivement), et si une suite (w'(n))n2Nextraite dewconverge vers`, l'un des deux ensemblesfn2N='(n) est pairget fn2N='(n) est impairgest inni, ce qui permet de construire une suite extraite soit deu soit devconvergeant vers`et on a donc :V(w)V(u)[V(v) d'ou l'egalite souhaitee. I-B-6)Soituune suite discrete convergeant vers`: il existe donc un entiern0tel que : kun`kn0: S'il existait deux entiersm; n>n0tels que :um6=un, on obtiendrait : kunumk6kun`k+kum`k< r ce qui est contradictoire, donc :un=un0pour toutn>n0etuest stationnaire, donc`=un0. I-B-7)Soituune suite discrete : d'apresI-A-2on a :V(u)W=\ N2NT

N(u), et si`2V(u)

il existe une suitevextraite deuqui converge vers`. Maisvest elle aussi discrete, donc elle est stationnaire en`et on en deduit que :`2W, d'ou l'egalite. I-B-8)Cela equivaut a : 2p6n <2p+ 2p= 2p+1(et on a alors :k=n2p), et la suite (2 p)p2Nest strictement croissante et tend vers +1, d'ou le resultat. En d'autres termes,p est le plus grand entier tel que 2 p6net il est unique, puis il determinek. 1 I-B-9)En langage algorithmique, cela devient (avecq= 2p) :

Entrern;

Poserp= 0 etq= 1 ;

Tant que 2q6nfaire :

p p+ 1 etq 2q;

Fin tant que;

Acherpetk=nq.

Remarque :l'interdiction des fonctions \puissance" excluta fortioril'usage du logarithme, et on ne peut donc pas se contenter d'ecrire :p=Eln(n)ln(2) ouEest la partie entiere! p n01122223333333344444 u n=kn00101230123456701234 I-B-10.b)La suiteuest a valeurs dansNdonc elle est discrete, donc le resultat deB-7 montre queV(u)N. Pour toutk2N, soitqun entier naturel tel que 2q> k: pour tout entierp>qon obtient :u'(p)=ken posant'(p) = 2p+k, et (u'(p))p>qest une suite extraite deuqui est constante egale ak, donck2V(u). On en conclut que :V(u) =N. I-B-11.a)L'entiernn'intervient pas (!), mais on peut ecrire le developpement propre en base 2 dexsous la forme : x=+1X m=1a m2 m ouaest une suite a valeurs dansf0;1gqui comporte une innite de termes dierents de 1.

Pour tout entierm>1, on a donc :

q m2 m6x Mais on a : 2 m6'(m)<2m+1pour toutm>1 donc'est strictement croissante, et la suitev'(m) m>1converge versx, qui est donc une valeur d'adherence dev. I-B-11.b)La suitevest a valeurs dans [0;1[ donc d'apresA-3l'ensembleV(v) est un ferme deRinclus dans [0;1]. Mais on a montre qu'il contient [0;1[, d'ou :V(v) = [0;1] . I-C-12)L'ensembleTN(u) est non vide car il contientuNet est minore caruest bornee, ce qui assure l'existence de sa borne inferieuremNpar la denition axiomatique deR. I-C-13.a)Commeuest majoree la suite (mN)N2Nl'est aussi, et pour toutN2Non a : T N+1(u)TN(u), doncmN+1>mNet (mN)N2Nest croissante, donc elle est convergente. I-C-13.b)Pour toutN2Net tout entiern>Non a : infu6un6supu, d'ou : infu6mN6supu, et en passant a la limite on en deduit que : infu6liminfn!+1un6supu. I-C-14)Posons :`= liminfn!+1unet soient" >0 un reel etNun entier naturel. Comme la suite (mp)p2Nconverge vers`en croissant, il existe un entierp>Ntel que :`" < mp6`, et commemp= infTp(u) il existe un entiern>ptel que :mp6un< mp+". On obtient donc un entiern>Ntel que :`" < un< `+", donc`2V(u).

I-C-15)Pour toutN2Non a :TN(u)[mN;+1[, doncT

N(u)[mN;+1[ car cet

intervalle est un ferme. Mais d'apresI-A-2on a :`2T

N(u) pour toutN2N, d'ou :

`>mN. En faisant tendreNvers l'inni, on en deduit que :`>liminfn!+1uncomme demande.

Comme liminf

n!+1un2V(u), on en conclut que : liminfn!+1un= minV(u) = infV(u) . 2 I-C-16)Pour tous entiersn>N, on a :mN= infTN(u)6un6vn, doncmN6xpour toutx2TN(v) et on obtient par denition de la borne inferieure :MN= infTN(v)>mN. En faisant tendreNvers l'inni, on en deduit que : liminfn!+1vn>liminfn!+1un. I-C-17)Pour tous entiersn>N, on a :mN= infTN(u)6unetMN= infTN(v)6vn, donc :un+vn>mN+MN, d'ou :sN= infTN(u+v)>mN+MNcomme ci-dessus. En faisant tendreNvers l'inni, on en deduit que : liminf n!+1(un+vn)>liminfn!+1un+ liminfn!+1vn; et en posant :un= (1)netvn= (1)n+1pour toutn2Non obtient : liminf n!+1(un+vn) = limn!+1(un+vn) = 0 tandis que : liminfn!+1un= liminfn!+1vn=1: I-D-18)La suite (vn)n2Nde la questionB.11verie pour tout entier naturelp:

06vn+1vn=12

psi 2p6n <2p+11;mais :v2p+11=2p12 petv2p+1= 0: Pour corriger cela, posons :un= sin( vn) pour toutn2N. On obtient donc : jun+1unj6jvn+1vnj62 p<2n si 2p6n <2p+11 pour tout tout entier naturelp, ainsi que : ju2p+1u2p+11j= sin2 p+1 <2 p+1<22 p+11; donc la suite (un)n2Nest a evolution lente, et elle est bien s^ur bornee. De plus, pour tout x2[0;1] il existe une suite extraite devqui converge versx, donc une suite extraite deu qui converge vers sin( x), d'ou :V(u) = [1;1] et (un)n2Nn'est pas convergente. Remarque :cette question est loin d'^etre evidente puisque l'exemple classiqueun= ln(n) n'est pas borne et l'exemple propose enB.11n'est pas a evolution lente : mieux vaut ne pas perdre trop de temps sur ce genre de question... I-D-19)Par denition de la connexite il existe une partition de l'espace metriqueV(u) en deux fermes non vides, donc deux fermes deEnotesF1etF2tels queK1=F1\V(u) et K

2=F2\V(u) sont non vides et :K1[K2=V(u) etK1\K2=;. Mais l'espaceV(u)

est compact caruest bornee, doncK1etK2le sont aussi. I-D-20)L'espaceK1K2est compact et la fonctionf:K1K2!Rdenie par : f(x; y) =kxykest continue, donc elle atteint un minimum qui est par denition la distanceaentreK1etK2: commefest a valeurs strictement positives puisqueK1etK2 sont disjoints, on en deduit queal'est aussi. I-D-21)Les fonctionsf1; f2:E!Rdenies parf1(x) =d(x; K1) etf2(x) =d(x; K1) sont continues d'apres l'inegalite triangulaire, donc 1et

2sont des ouverts deE, ce qui

montre queKest un ferme deB(0; M) qui est compacte, donc il est lui aussi compact. I-D-22)On obtient aisement par l'inegalite triangulaire : d( 1;

2)>d(K1; K2)2a3

=a3 et en xant un entier naturelpon obtient un entier naturelN > ptel que : kun+1unkN puisque la suite (un+1un)n2Ntend vers 0 et qu'on a :a >0. En choisissant`12K1on obtient un entiern0>Ntel que : kun0`1k1, et supposons par l'absurde queun2 1[

2pour tout entiern>n0: comme

kun+1unk< d( 1;

2) pour toutn>n0, on en deduit par recurrence que :un2

1pour toutn>n0, donc que toute valeur d'adherence deuappartient a

1. Mais on a :

d(

1; K2) =d(

1; K2)>d(K1; K2)a3

=2a3 >0 donc

1etK2sont disjoints, ce qui contredit le fait queupossede une valeur d'adherence

dansK2. On en conclut qu'il existe un entiern>n0tel queun62 1[

2, et comme

u n2B(0; M) on a :un2K. On a donc montre que pour tout entier naturelpil existe un entiern > ptel queun2K, ce qui permet de montrer qu'il existe une suite extraite deua valeurs dansK. Elle admet donc une valeur d'adherence qui n'est pas dansK1[K2=V(u), ce qui est contradictoire et on en conclut queV(u) est connexe.

II-23)Si`2V(u), il existe une suiteu'(n)

n2Nextraite deuqui converge vers`2K, et commefest continue la suiteu'(n)+1 n2Nconverge versf(`) donc :fV(u)V(u). La suiteu'(n)1 n2Nn'estpas forcement convergente, mais elle est a valeurs dansKqui est compact donc elle possede une valeur d'adherence`02Vu, et on obtient de m^eme : `=f(`0) d'ou l'inclusion reciproque, et nalement :fV(u)=V(u) . II-24)CommeQest un corps, pour toutx2[0;1] on a les equivalences : f(x)2Q, j2x1j2Q,2x12Q,x2Q: II-25.a)Pour toutn2N, notonsH(n) l'hypothese :un=hnb oub>hn2N. L'hypothese H(0) est donc vraie, et siH(n) est veriee on obtient : u n+1= 12hnb

1=b j2hnbjb

=hn+1b et :b62hnb6b, d'ou : 06hn+16betH(n+ 1) est vraie, d'ou le resultat. II-25.b)Comme [[0; b]] est ni, il existe deux entiersm6=ntels quehm=hn, et quitte a reordonnermetnon peut poser :m=Netn=N+pavecp >0 : les suites (uq)q>Net (uq+p)q>Nont le m^eme premier terme et sont denies par la m^eme relation de recurrence, donc :uq+p=uqpour tout entierq>Net la suiteuestp-periodique a partir du rangN. II-26.a)Pour toutn2N, notonsP(n) l'hypothese :fn(x) =anx+bnouan; bn2Z. L'hypotheseP(0) est donc vraie, et siP(n) est veriee on obtient : f n+1(x) = 1 j2anx+2bn1j= 1"n(2anx+2bn1) =2"nanx+(12"nbn+"n) avec"n2 f1;1g, doncP(n+ 1) est vraie et on conclut par recurrence. II-26.b)Observons de plus qu'on obtient ci-dessus :an+1=2"nanavec"n2 f1;1get a

0= 1, donc :janj= 2npour toutn2N. En considerant les suitesaetbdenies par

x=u0, on obtient deux entiersp >0 etNtels que :aN+pu0+bN+p=aNu0+bN, et comme a

N+p6=aNpuisquejaN+pj>jaNjon en deduit que :u02Q.

II-27.a)Tant queun612

on obtient :un+1= 2un, et comme2p11 + 2 p612 on en deduit par recurrence nie que :un=2n+11 + 2 psi 06n6p1 , puis que :up=21 + 2 p=u0. II-27.b)On en deduit que la suiteuestp-periodique, donc elle est en particulier discrete et le resultat de la questionI-B-7permet d'en deduire que :V(u) =n2n1 + 2 p.

16n6po

III-28)Pour tout" >0 et toutm2Non a evidemment : 06Hm(x; u; ")61 . III-29)Posons :Gm(") =Hm(x; u; ") pour tout entierm>1 etG(") =H(x; u; ") pour tout reel" >0. Pour tout entierm>1 l'applicationGmest donc croissante, et le resultat de la questionI-C-16permet d'en deduire queGest croissante, donc qu'elle admet une limite a droite en 0 puisqu'elle est minoree (par 0). 4 III-30)On deduit des questionsIII-28etI-C-13que : 06H(x; u; ")61 pour tout" >0, puis que : 06F(x; u)61 . III-31.a)Comme les (xk)06k6psont distincts, on a :r= min06k ;l6pjxkxlj>0 , et pour tout reel 0< " 1; et gr^ace a la questionI-C-17on en deduit que : p X k=0H(xk; u; ")61; puis en faisant tendre"vers 0 que :pX k=0F(xk; u)61 . III-31.b)Pour tout entier naturelNon en deduit que :NX k=0F(xk; u)61 , donc que la serie a termes positifs X k>0F(xk; u) est convergente et que :+1X k=0F(xk; u)61 . III-32.a)Pour tout reel" >0, il existe un entierNtel que :j`unj< "pour tout entier n>N, donc pour tout entierm>Non obtient : H m(`; u; ")>mNm d'ou :H(`; u; ") = 1. En faisant tendre"vers 0, on en conclut que :F(`; u) = 1 . III-32.b)Six2Rn f`g, on obtientF(x; u)>0 parIII-30et :F(x; u) +F(`; u)61 par la questionIII-31-a, d'ou :F(x; u) = 0. III-33)En notantf=F(a; u)>0, on en deduit qu'il existe un reelr >0 tel que :

G(") =H(a; u; ")>f2

>0 pour tout 0< " < r, donc pour tout" >0 par croissance deG. Mais si l'ensembleI"=fn2N=jaunj< "getait ni, on obtiendrait un entierNtel que : H m(a; u; ")6Nm pour tout entierm>1; donc :H(a; u; ") = 0 en faisant tendremvers +1: l'ensembleI"est donc inni pour tout reel" >0, donc pour tout" >0 et toutN2Nil existe un entiern>Ntel quejunaj< ", d'ou :a2V(u) . III-34)Considerons la suite reelleudenie par :un= 1 s'il existe un entierptel quen=p2 etun= 0 sinon : elle diverge, mais pour tout reel" >0 et tout entierm>1 on a : H m(0; u; ")>mpm m donc on obtient :Hm(0; u; ") = 1 en faisant tendremvers +1et donc :F(0; u) = 1. III-35)Considerons la suiteuconstruite enI-B-10: on a doncV(u) =N, mais pour tout entier naturelket tout reel 0< " <1 on obtient pour tout entierm>k: H m(k; u; ") =fn2[[0; m1]]=n= 2p+kavec 06k <2p6mgm

6ln(m)mln(2)

donc la suite

Hm(k; u; ")

m>1tend vers 0 , d'ou :H(k; u; ") = 0 puis :F(k; u) = 0. IV-36)L'ensembleG(L; r) est invariant par permutation des (xi)16i6pet suppression des doublons, donc on se ramene a la listeL0= (2;3;5;12;14;15;20) pour obtenir :

G(L;2) = [2;5][[12;15][[20;20] etN(L;2) = 3:

5

IV-37)En langage algorithmique, on obtient :

EntrerLetr;

TrierLen une liste croissante (yk)16k6p;

Poseri= 1 etN= 0 ;

Tant quei6pfaire :

Poserj=i;

Tant que (j < petyj+1yj6r) faire :

j j+ 1 ;

Fin tant que;

N N+ 1 eti j+ 1 ;

Fin tant que;

AcherN(L;r) =N.

La boucle surjdetermine le plus grand indicei6j6ptel queyk+1yk6rpour tout i6k6j1, donc la composante connexe deG(L; r) contenantyiest [yi; yj] (il ne faut pas oublier le cas ouj=i), et la boucle suripasse ensuite ayj+1pour la composante suivante... IV-38)Pour tousm; n2[[p; p21]] tels que :junumj<2r5 , on sait qu'il existe k; l2[[1; q]] tels que :xm2i y kr5 ; yk+r5quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

[PDF] agregation physique

[PDF] agrégation physique sujet 2017

[PDF] agrégats comptabilité nationale

[PDF] agrément b2 catégorie 2

[PDF] agrément b2 catégorie 3

[PDF] agrement de transport de marchandise au maroc

[PDF] agri sciences technologies

[PDF] agriculture au niger pdf

[PDF] agriculture et élevage au niger

[PDF] agriculture la plus rentable

[PDF] agrosysteme champ de mais

[PDF] ahdat fes yawm 1 3 2016

[PDF] ahouzar 2015 2eme

[PDF] aiac concours 2016

[PDF] aiac concours 2017