[PDF] Agrégation interne de Mathématiques Session 2009 Première

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Agrégation interne de

Mathématiques

(et CAERPA)

Session 2009

Première épreuve écrite

{ 2 { { NOTATIONS { ndesigne un entier naturel non nul. [n] designe l'ensemble desnpremiers entiers non nuls. Ndesigne l'ensemble des entiers naturels,Rle corps des nombres reels. etCle corps des nombres complexes. M ndesigne l'algebre des matrices carrees de taillena coecients complexes. Son element neutre pour la multiplication, la matrice identite, est notee1n. P ndesigne l'ensemble des matrices carrees de taillendont tous les coecients sont des nombres reels positifs. P >0ndesigne l'ensemble des matrices carrees de taillendont tous les coecients sont des nombres reels strictement positifs. S ndesigne l'ensemble des matrices carrees de taillendont tous les coecients sont des nombres

reels positifs et dont les sommes des coecients de chaque ligne sont egales a 1, c'est a dire le sous-

ensemble dePnforme par les matricesM= (ai;j)(i;j)2[n][n]telles que :8i2[n];Pn j=1ai;j= 1. Soientxetydeux vecteurs deRnde coordonnees respectives (x1;:::;xn) et (y1;:::;yn). On note x6ysi, pour toutidans [n],xi6yi. SoientA= (ai;j)(i;j)2[n][n]etB= (bi;j)(i;j)2[n][n]dansPn. On noteA6Bsi, pour tous entiers ietjdans [n], on aai;j6bi;j. Dans les espaces vectoriels de dimension nie consideres dans ce probleme, la notion de limite est relative a l'unique topologie associee a une norme arbitraire sur ces espaces. { PR

ELIMINAIRES {

Soientt1;:::;tndes nombres reels strictement positifs tels quePn i=1ti= 1. Soientz1;:::;zndes nombres complexes tels que :8< :8i2[n];jzij61; j Pn i=1tizij= 1: On se propose de demontrer qu'il existe un nombre complexezde module 1 tel que, pour toutidans [n], on aitzi=z.

1.Dans le cas particulier ouz1;:::;znsont des nombres reels tels quePn

i=1tizi= 1, demontrer que, pour toutidans [n], on azi= 1.

2.Demontrer le cas general (Indication : on pourra, en posantZ=Pn

i=1tizi, considerer la partie reelle du nombre complexePn i=1tizi=Z.) { PARTIE I {

Dans cette partie, on supposen= 2.

Soientx;ydeux nombres reels; on pose

P x;y=12

1x1 +x

1 +y1y

1.Determiner les valeurs propres dePx;yet, pour chaque valeur propre, son sous-espace propre

associe. Pour quelles valeurs de (x;y), la matricePx;yest-elle diagonalisable?

2.On suppose desormais1< x <1 et1< y <1.

{ 3 { (a)Demontrer qu'il existe un nombre reelutel que1< u <1 et une matrice inversibleU tels que P x;y=U11 0 0u U : (b)En deduire que la suite (Pkx;y)k2Nadmet une limite quandktend vers +1. Cette limite est noteeL. Quel est le rang deL? (c)Demontrer que

L=12 +y+x

1 +y1 +x

1 +y1 +x

SoitAune matrice dansP>02. On noteA=a b

c d

4.Exprimer le discriminant Adu polyn^ome caracteristique de la matriceAen fonction de

a;b;c;d.

5.Demontrer l'inegalite A>0.

6.En deduire queApossede deux valeurs propres reelles distinctes. En notant1,2ces deux

valeurs propres numerotees de facon a avoir1> 2, demontrer l'inegalite1>j2j:

7.Donner une condition necessaire et susante pour que la suite (Ak)k2Nadmette une limite

lorsquektend vers +1. Dans le cas ou cette limite existe et n'est pas nulle, que peut-on dire de son rang? Proposer une methode pour calculer cette limite.

8.Soient1et2deux nombres reels tels que1>j2j:Exhiber une matriceAdansP>02dont

les valeurs propres sont1et2(Indication : on pourra commencer par traiter le cas1= 1). { 4 { { PARTIE II { Les matrices deMnsont considerees comme des endomorphismes deCn. SoitAune matrice de M n; on note(A) le rayon spectral deA, c'est-a-dire le maximum des modules des valeurs propres deA. Sixest un vecteur deCn, on noteraAxl'image du vecteurxpar l'endomorphisme deni par la matriceA.

II A : On se propose de demontrer l'equivalence :

(A)<1()limk!1Ak= 0:

1.Soitun nombre complexe tel quejj<1. SoitBune matrice nilpotente dansMn, c'est-a-dire

qu'il existe un entier naturel`>1 tel queB`= 0; soitCla matrice1n+B. (a)Pour tout entierk>`, exprimerCken fonction de1n;B;:::;B`1. (b)En deduire que la suite (Ck)k2Ntend vers 0.

2.SoitAdansMn.

(a)Soitune valeur propre deA. On poseF=[k2NKer(A1n)k. i. Justier queFest un sous-espace vectoriel deCnet queA(F)F. ii. SoitAl'endomorphisme deFdeni parA(x) =Ax, pourx2F. Dans le cas ou jj<1, demontrer que la suite (Ak)k2Ntend vers 0. (b)On suppose(A)<1. Demontrer que la suite (Ak)k2Ntend vers 0. (c)Reciproquement, si la suite (Ak)k2Ntend vers 0, montrer que le module de toute valeur propre deAest strictement inferieur a 1.

II B :

1.SoitIAl'ensemble forme par les nombres reels strictement positifs

tels que la suite(A= )k k2Ntende vers 0. Demontrer queIAest l'intervalle ](A);+1[.

2.On suppose queAadmet la valeur propre 1 et qu'il existe deux vecteursxetynon nuls tels

queAx=xetAy=y+x. Demontrer que la suite (Aky)k2Nn'est contenue dans aucune partie compacte deCn.

3.On suppose que la suite (Ak)k2Na pour limite une matriceBnon nulle.

(a)Demontrer que(A) = 1. (b)Soitune valeur propre de module 1 deA. Demontrer que la suite (k)k2Nconverge dans

Cet en deduire que= 1.

(c)Demontrer que le sous-espace vectorielF1deni a la question IIA2(a) est egal a Ker(A 1 n). { PARTIE III { Dans la suite du probleme, on fait les conventions suivantes : SoitA= (ai;j)(i;j)2[n][n]dansMn. Sixest un vecteur deCnde coordonnees (x1;:::;xn), les coordonnees du vecteurAxsont notees ((Ax)1;:::;(Ax)n); autrement dit, pour tout entieridans [n], (Ax)i=nX j=1a i;jxj: On notewle vecteur deCndont toutes les coordonnees sont egales a 1. { 5 {

1.SoitA2 Pn. Demontrer queAappartient aSnsi et seulement siAw=w.

2.SoientAetBdansPn(respectivementSn). Demontrer queABest dansPn(respectivement

S n).

3.SoitA2 Sn.

(a)SoitBl'ensemble forme par les vecteursvde coordonnees (v1;:::;vn) tels que, pour tout idans [n],jvij61. Demontrer queBest conserve parA. (b)En deduire que(A) = 1.

4.SoitAdansP>0n\ Sn.

(a)Soitv= (v1;:::;vn) un vecteur propre associe a une valeur proprede module 1 deA. Demontrer que les coordonnees devsont egales et determiner. (Indication : on pourra utiliser une egalite1 =jPn j=1ai;jv jv ijpourvinon nul convenablement choisi.) (b)Soitvun vecteur deBtel qu'il existedansCtel queAv=v+w. En considerant la suite (Akv)k2N, demontrer que= 0. (c)Demontrer que 1 est une racine simple du polyn^ome caracteristique deA. (d)Demontrer qu'il existe une matriceUinversible et une matriceB2 Mn1telles que (B)<1 et

A=U11 0

0B U : (e)En deduire que la suite (Ak)k2Nadmet une limite quandktend vers +1. Cette limite est noteeL. Quel est le rang deL? (f)Demontrer que la limiteLde la suite (Ak)k2Ns'ecrit : L=0 B BB@u

1u2::: un

u

1u2::: un.........

u

1u2::: un1

C CCA: ouu1;:::;unsont des nombres reels strictement positifs veriantPn i=1ui= 1. (g)Demontrer que Ker (tA1n) est la droite engendree par le vecteur de coordonnees (u1;:::;un). (h)Dans le cas particulier ouAettAsont toutes deux dansSn, expliciterL.

5.SoitAdansSn.

(a)Demontrer queAest la limite d'une suite de matrices deP>0n\Sn. (Indication : on pourra remarquer que siAetBsont dansSnet sitest un nombre reel dans[0;1],tA+(1t)B est dansSn.) (b)En deduire quetAadmet un vecteur propre relatif a la valeur propre 1 dont toutes les coordonnees sont positives. (c)Demontrer sur un exemple que 1 n'est pas en general une racine simple du polyn^ome caracteristique deA. (d)Demontrer sur un exemple queApeut avoir des valeurs propres de module 1 dierentes de 1. { 6 { { PARTIE IV { Dans toute cette partie, on considere une matriceA= (ai;j)(i;j)2[n][n], et on suppose queA2 P>0n. IV A : On se propose de demontrer que(A) est une valeur propre deAet que le sous-espace propre associe est une droite engendree par un vecteur dont les coordonnees sont des nombres reels strictement positifs.

1.Soitxun vecteur non nul deCndont les coordonnees sont des nombres reels positifs. Demontrer

que les coordonnees du vecteurAxsont des nombres reels strictement positifs.

2.Soitun nombre reel. Supposons que, pour toutidans [n], on aitPn

j=1ai;j=. Demontrer queest une valeur propre deAet que=(A).

3.SoitBdansP>0ntelle queA6B.

(a)Pour tout vecteurxdeCndont les coordonnees (x1;:::;xn) sont des nombres reels positifs, demontrer que

Ax6Bx :

(b)Soitkun entier naturel>2. Demontrer queAk6Bk. (c)En deduire l'inegalite(A)6(B).

4.On pose= mini2[n](Pn

j=1ai;j). Demontrer que6(A). On pourra considerer la matrice B= (bi;j)(i;j)2[n][n]telle que, pour tous entiersietjdans [n], b i;j=ai;jP n k=1ai;k

5.On pose= maxi2[n](Pn

j=1ai;j). Demontrer l'inegalite(A)6.

6.Soitxun vecteur non nul deCndont les coordonnees (x1;:::;xn) sont des nombres reels

strictement positifs. Soient etdeux nombres reels strictement positifs tels que x6Ax6x : (a)SoitSla matrice diagonale : S=0 B BBB@x 100

0x2......

.........0 00xn1 C CCCA: Justier queSest inversible et determiner les coecients de la matriceS1AS. (b)En deduire les inegalites

6(A)6.

(c)Demontrer qu'il existe un indiceidans [n] tel que (Ax)i6(A)xi.

7.Soitxun vecteur non nul deCndont les coordonnees (x1;:::;xn) sont des nombres reels

strictement positifs. On suppose que(A)x6Ax. Demontrer queAx=(A)x(Indication : on pourra considerer le vecteurA(Ax(A)x)).

8.Soitune valeur propre deAdont le module est egal a(A). Soitvun vecteur propre associe,

de coordonnees (v1;:::;vn), et soitxle vecteur de coordonnees (jv1j;jv2j;:::;jvnj). (a)Demontrer quexest un vecteur propre deAassocie a la valeur propre(A). (b)Demontrer que toutes les coordonnees dexsont strictement positives. { 7 { (c)En utilisant la matriceSdenie dans la question IVA6a associee a ce vecteurx, demontrer qu'il existe une matriceUinversible et une matriceBtelles que(B)< (A) et

A=U1(A) 0

0B U : IV B : On etudie le comportement de la suite (Ak)k2N.

1.Demontrer qu'il existe un unique vecteurydeCnayant pour coordonnees des nombres reels

strictement positifs dont la somme est egale a 1 et tel queAy=(A)y. De m^eme, demontrer qu'il existe un unique vecteurzdeCnayant pour coordonnees des nombres reels strictement positifs dont la somme est egale a 1 et tel que tAz=(A)z.

2.On suppose(A) = 1. Demontrer que la suite (Ak)k2Ntend vers la matriceL,

L= (yizj)(i;j)2[n][n];

ou (y1;:::;yn) et (z1;:::;zn) sont respectivement les coordonnees des vecteursyetzde la question IVB1.

3.On suppose(A)>1. Pour tout entier naturelk, on noteAk= (a(k)

i;j)(i;j)2[n][n]. Pour touti etjdans [n], demontrer que la suite (a(k) i;j)k2Ntend vers +1. { 8 { { PARTIE V {

Dans cette partie, on prendn= 3.

Pour toute matriceBdansM3, Tr(B) designe la trace de la matriceB, somme de ses coecients diagonaux. SoitA= (ai;j)(i;j)2[3][3]2 P>03. On note1;2;3les trois valeurs propres complexes deA, distinctes ou confondues, numerotees de telle facon que1=(A).

1.Demontrer les inegalites Tr(A)>0 et Tr(A2)> a21;1+a22;2+a23;3. En deduire l'inegalite

3Tr(A2)>Tr(A)2.

2.Exprimer Tr(A) et Tr(A2) en fonction de1;2;3.

3.On suppose que l'on a1= 1 et que2et3sont deux nombres complexes conjugues2=reit

et3=reitoutetrsont des nombres reels et 06r <1. (a)Demontrer l'egalite 3Tr(A2)Tr(A)2= 2(12rcos(t+3 ))(12rcos(t3 (b)En deduire que2est a l'interieur d'un triangle inscrit sur le cercle unite; preciser la nature et les sommets de ce triangle.

4.Reciproquement, posons1= 1,2=reitet3=reit, outetrsont des nombres reels et

06r <1. On suppose que2est a l'interieur du triangle trouve a la question V3. Demontrer

que1;2;3sont les valeurs propres d'une matrice deP>03.Indication : On pourra considerer la matrice : 13 0 @1 + 2rcos(t) 12rcos(t+3 ) 12rcos(t3

12rcos(t3

) 1 + 2rcos(t) 12rcos(t+3

12rcos(t+3

) 12rcos(t3 ) 1 + 2rcos(t)1 A

5.On admet que, si1,2et3sont trois nombres reels qui satisfont aux conditions

1= 1;j2j<1;j3j<1; 1+2+3>0;

il existe une matriceAdansP>03dont les valeurs propres sont1,2et3. Compte tenu de cela et des questions precedentes, decrire l'ensembleSforme par les triplets (1;2;3) deC3tels qu'il existe une matriceAdansP>03dont les trois valeurs propres complexes distinctes ou confondues, sont1;2;3, numerotees de telle facon que1=(A).FIN DU SUJETquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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