La démonstration par récurrence
Exemple : Prenons un exemple simple pour illustrer le raisonnement par récurrence. On veut montrer par récurrence la propriété : ((pour tout entier n on a
S Antilles – Guyane septembre 2018
On considère la suite (un) définie par u0=1 et pour tout entier naturel n un+1=e×?un. 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n
Antilles-Guyane-Juin-2014.
D'après ce tableau énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite (un) . 2 .a. Démontrer
Sans titre
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n
Sans titre
I. Exercices. 1. Énoncés. Raisonnement par récurrence. Exercice 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n
Amérique du Sud novembre 2019
On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n on a un?1 . Initialisation u0=5?1.
S Liban mai 2013
> 0 donc f est strictement croissante sur ]??;6[ . On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n on a : 0 < vn
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Si b divise a alors tout diviseur de b est un diviseur de a. Démontrer que pour tout entier naturel n 2n + 3 et 5n + 7 sont premiers entre eux.
? Fi=(? ?
Pour tout entier naturel n on note Fn le nième nombre de Fermat. Montrer par récurrence et en utilisant le résultat de la question précédente que pour ...
S Antilles – Guyane septembre 2018
On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n on a : 2un=3n?1 . Initialisation. Pour n=0
Amérique du Sud novembre 2019
EXERCICE 4 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 5 points On considère la suite (un) définie définie pour tout entier n⩾0 par : {un+1=3-10 un+4 u0=5Partie A :
1. Déterminer la valeur exacte de
u1 et u2.2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un⩾1.
3. Démontrer que,pour tout entier nature n, un+1-un=(1-un)(un+2)
un+4.4. En déduire le sens de variation de la suite (un).
5. Justifier que la suite converge.
Partie B :
On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn=un-1 un+2.1.a. Démontrer que
(vn) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme v0.1.b. Exprimer vn en fonction de n.
En déduire que pour tout entier naturel n,
vn≠1.2. Démontrer que pour tout entier naturel n,
un=2vn+1 1-vn.3. En déduire la limite de la suite
(un).Partie C :
On considère l'algorithme ci-dessous :
1. Après exécution de l'algorithme, quelle valeur est contenue dans la variable n ?
2. À l'aide des parties A et B, interpréter cette valeur.
Amérique du Sud novembre 2019
CORRECTION
1. u1=3-10
9=17 9 u2=3-10 17 9+4 =3-9053=159-90
53=69532. On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, on a un⩾1.
Initialisation
u0=5⩾1La propriété est vérifiée pour n=0.
Hérédité
Pour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose que
un⩾1 et on doit démontrer que un+1⩾1. Or un+1=3-10 un+4-1=2-10 un+4=2un+8-10 un+4=2un-2 un+4=2(un-1) un+4 On a : un⩾1 donc un-1⩾0 et un+4>0 et un+1-1⩾0 soit un+1⩾1.Conclusion
Le principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n, on a : un⩾1.3. un+1-un=3-10
un+4-un=3u-n+12-10-un2-4un un+4=-un2-un+2 un+4. Or (1-un)(un+2)=-un2+un+2-3un=-un
2-un+2
Conséquence
un+1-un=(1-un)(un+2) un+4.4. Pour tout entier naturel n,
un⩾1 donc un+4>0 et un+2>0 et 1-un⩽0 et un+1-un⩽0.La suite
(un) est donc décroissante.5. La suite
(un) est décroissante et minorée par 1 donc la suite (un) est convergente.Partie B :
1.a. Pour tout entier naturel n :
vn+1=un+1-1 un+1+2=3-10 un+4-1 3-10 un+4+2= 2(un+4)-105(un+4)-10=2un+8-10
5un+20-10=2(un-1)
5(un+2)=2
5×un-1
un+2=2 5vnLa suite
(vn) est la suite géométrique de raison q=25 et de premier terme v0=u0-1
u0+2=4 7.1.b. Pour tout entier naturel n :
vn=v0×qn=47×(2
5)n vn+1-vn=25vn-vn=-3
7vn<0 La suite
(vn) est décroissante et v0=47<1 donc pour tout entier naturel n, on a vn<1 et vn≠1.2. Pour tout entier naturel n :
vn=un-1 un+2 ⇔ unvn+2vn=un-1 ⇔ 2vn+1=un(1-vn) ⇔ 2vn+11-v-n=un
0⩽2
5<1 donc
limn→+∞(2 5)n =0 et limn→+∞Amérique du Sud novembre 2019
Conséquence
limn→+∞ un= 2×0+11-0= 1.
Partie C
1. On peut utiliser l'algorithme pas à pas (remarque : on utilise alors des valeurs approchées).
On obtient :
u5=1,018 à 10-3 près u6=1,070 à 10-3 près donc n = 6. On propose un programme python pour obtenir ce résultat.Programme
Exécution du programme
Remarque
On a aussi : un=8×0,4n+7
7-4×0,4n par balayage on obtient le résultat précédent.
2.(un) est une suite décroissante , on obtient alors la valeur minimale de n pour laquelle un<1,01.
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