La démonstration par récurrence
Exemple : Prenons un exemple simple pour illustrer le raisonnement par récurrence. On veut montrer par récurrence la propriété : ((pour tout entier n on a
S Antilles – Guyane septembre 2018
On considère la suite (un) définie par u0=1 et pour tout entier naturel n un+1=e×?un. 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n
Antilles-Guyane-Juin-2014.
D'après ce tableau énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite (un) . 2 .a. Démontrer
Sans titre
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n
Sans titre
I. Exercices. 1. Énoncés. Raisonnement par récurrence. Exercice 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n
Amérique du Sud novembre 2019
On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n on a un?1 . Initialisation u0=5?1.
S Liban mai 2013
> 0 donc f est strictement croissante sur ]??;6[ . On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n on a : 0 < vn
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Si b divise a alors tout diviseur de b est un diviseur de a. Démontrer que pour tout entier naturel n 2n + 3 et 5n + 7 sont premiers entre eux.
? Fi=(? ?
Pour tout entier naturel n on note Fn le nième nombre de Fermat. Montrer par récurrence et en utilisant le résultat de la question précédente que pour ...
S Antilles – Guyane septembre 2018
On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n on a : 2un=3n?1 . Initialisation. Pour n=0
S Liban mai 2013
Exercice 4 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 5 points On considère la suite numérique ( vn) définie pour tout entier naturel n par : {v0=1 vn+1=96-vnPartie A
1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour tout entier naturel n donné, tous les termes
de la suite, du rang 0 au rang n-.Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Justifier lequel en justifiant la réponse.
2. Pour n = 10 on obtient l'affichage suivant :
Pour n = 100, les derniers termes affichés sont : Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite ( vn) ?3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel, 0 <
vn< 3 b. Démontrer que, pour tout entier naturel n, vn+1-vn=(3-vn)26-vn La suite ( vn) est-elle monotone ?
c. Démontrer que la suite ( vn) est convergente.Partie B Recherche de la limite de la suite (
vn)S Liban mai 2013
On considère la suite ( wn) définie pour tout n entier naturel par : wn=1 vn-31. Démontrer que ( wn) est une suite arithmétique de raison -1 3.2. En déquire l'expression de (
wn), puis celle de ( vn) en fonction de n.3. Déterminer la limite de la suite (
vn).S Liban mai 2013
CORRECTION
Partie A
1. . Le premier algorithme n'affiche que vn . Le deuxième algorithme affiche vn=vn-1=...=v0=1. ( l'instruction précédent: Afficher v est l'instruction : v prend la valeur 1). . Le troisième convient (il est nécessaire pour avoir l'affichage de vn d'écrire l'instruction : Afficher v après l'instruction : Fin Pour.2. Conjectures :
( vn) est une suite croissante ( vn) est une suite convergente3. a. Remarque :
Soit f la fonction définie sur ]-∞;6[ par f(x)=9 6-x. f est dérivable sur ]-∞;6[ et f'(x)=9 (6-x)2> 0 donc f est strictement croissante sur ]-∞;6[. On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n on a : 0 < vn < 3 . Initialisation n = 0 v0= 1 donc 0 < v0 < 3La propriété est vérifiée pour n = 0.
. Hérédité Pour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose : 0 < vn < 3 et on doit démontrer : 0 < vn+1 < 3. 0 <vn < 3 or f est une fonction strictement croissante sur ]-∞;6[ donc f(0)6
3 et 1,5
6-vn-vn=9-vn(6-vn)
6-vn= 9-6vn+vn2
6-vn=(3-vn)2
6-vn Or 0 <
vn < 3 donc 6 - vn > 0 et (3-vn)2 > 0 Conclusion ;
Pour tout entier naturel n vn+1-vn > 0 et la suite ( vn) est strictement croissante. c. Pour tout entier naturel n on a vn < 3 donc la suite ( vn) est majorée par 3. Toute suite croissante et majorée est convergente donc la suite ( vn) est convergente. (on ne peut pas affirmer que 3 est la limite) Partie B
1. Nous savons que pour tout entier naturel n : 0 < vn < 3 donc vn-3≠0 et la suite ( wn)
S Liban mai 2013
telle que wn=1 vn-3 est bien définie pour tout entier naturel n. . Pour tout entier naturel n : wn+1=1 vn+1-3=1 9 6-vn-3=1
9-3(6-vn)
6-vn=6-vn
-9+3vn=6-vn 3(vn-3)
wn+1-wn=6-vn 3(vn-3)-1
vn-3= 6-vn-3
3(vn-3)=3-vn
3(vn-3)=-1
3 w0=1 v0-3=1 1-3=-1
2 ( wn) est la suite arithmétique de premier w0 = -1
2 et de raison r = -1
3. 2. Pour tout entier naturel n on a wn= w0+ nr
donc wn= -1 2 -n 3 . Pour tout entier naturel n
wn=1 vn-3 ⇔ 1 wn =vn-3 ⇔ vn=1 wn+3=1 -1 2-n 3+3=-6
3+2n+3
3. limn→+∞(3+2n)= +∞ et limn→+∞6
3+2n= 0
donc limn→+∞ vn= 3.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
[PDF] démontrer qu'une fonction est croissante
[PDF] démontrer qu'une fonction est décroissante sur un intervalle
[PDF] démontrer qu'une suite est arithmético-géométrique
[PDF] démontrer que deux droites sont orthogonales produit scalaire
[PDF] démontrer que deux plans sont parallèles
[PDF] démontrer que l'affirmation l'homme descend du singe est fausse
[PDF] démontrer que les droites (ab) et (cd) sont parallèles
[PDF] démontrer suite géométrique
[PDF] démucilagination
[PDF] denis toupry
[PDF] dénoncer les travers de la société exemple
[PDF] denrées alimentaires autorisées usa
[PDF] denrées alimentaires autorisées usa 2016
[PDF] denrées alimentaires autorisées usa 2017
