[PDF] Première S Exercices sur la dérivation 2010-2011 1 Exercice 1

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Première S Exercices sur la dérivation 2010-2011 1

Exercice 1

Prouver l"existence du nombre dérivé au point a de la fonction f indiquée et calculer sa valeur. 1) f(x) = x² - 5x + 3 ; a = 2 2) f(x) = 1

1 - x ; a = 0

Exercice 2

f est une fonction dérivable sur Y. 1) Une équation de la tangente à sa courbe C au point d"abscisse -2 est y = 4x - 7. En déduire l"approximation affine locale de f(-2 + h). 2) L"approximation affine locale de f(3 + h) est -2 + 5h. En déduire une équation de la tangente à sa courbe C au point d"abscisse 3.

Exercice 3

f est la fonction x ?? x²; a est un réel. 1)

Donner l"approximation affine locale de f(a + h).

2) Déterminer, en fonction de h, l"erreur commise lorsque l"on remplace f(a + h) par cette approximation affine. 3) Comment choisir h pour que la précision de cette approximation soit égale

à 10

-6 ? Première S Exercices sur la dérivation 2010-2011 2

Exercice 4

A l"aide d"un grapheur, on a obtenu

la courbe représentant la fonction f : ?? -x

4 + 2x² + x et la tangente T à

cette courbe au point A(-1;0).

Cette tangente semble être tangente à la

courbe en un second point B. Le prouver. Première S Exercices sur la dérivation 2010-2011

CORRECTION

3

Exercice 1

Prouver l"existence du nombre dérivé au point a de la fonction f indiquée et calculer sa valeur. 1) f(x) = x² - 5x + 3 ; a = 2 2) f(x) = 1

1 - x ; a = 0

On pose t(h) =

f(a+h) - f(a) h pour h ¹ 0

1) Après calcul on a t(h) = = h + 2a - 5

Cette fonction est définie pour tout a réel. Le nombre dérivé en a de la fonction f est donc f"(a) = lim h®0 t(h) = 2a - 5 En particulier pour a = 2, f"(a) = 2×2 - 5 = -1 2)

De même : t(h) = 1

1 - (a + h)

- 1 1 - a h = 1 - a - (1 - (a + h)) h(1 - a - h)(1 - a) t(h) = 1 (1 - a - h)(1 - a)

Cette fonction t est définie pour a

¹ 1 et h ¹ 1 - a

Pour a

¹ 1, le nombre dérivé en a de la fonction f est donc : f"(a) = lim h®0 t(h) = 1 (1 - a)²

Pour a = 0, f"(0) = 1

Exercice 2

f est une fonction dérivable sur Y. 1) Une équation de la tangente à sa courbe C au point d"abscisse -2 est y = 4x - 7. En déduire l"approximation affine locale de f(-2 + h). Première S Exercices sur la dérivation 2010-2011

CORRECTION

4 2) L"approximation affine locale de f(3 + h) est -2 + 5h. En déduire une équation de la tangente à sa courbe C au point d"abscisse 3.

1) L"approximation affine locale de f(-2 + h) est : f(-2) + hf"(-2).

Or l"équation de la tangente à la courbe C au point d"abscisse nous fournit f(-2) et f"(-2). f(-2) = 4

´(-2) - 7 = -15 et f"(-2) = 4

L"approximation affine locale de f(-2 + h) est donc : -15 + 4h. 2) f(3 + h) » -2 + 5h

Donc f(3) = -2 et f"(3) = 5.

Une équation de la tangente à C au point d"abscisse 3 est : y = f"(3)(x - 3) + f(3)

Soit : y = 5(x - 3) - 2

Soit y = 5x - 17

Exercice 3

f est la fonction x ?? x²; a est un réel. 1)

Donner l"approximation affine locale de f(a + h).

2) Déterminer, en fonction de h, l"erreur commise lorsque l"on remplace f(a + h) par cette approximation affine. 3) Comment choisir h pour que la précision de cette approximation soit égale

à 10

-6 ?

1) f(a + h) » f(a) + hf"(a) = a² + 2ah

2) Erreur commise : E(h) = f(a + h) - (a² + 2ah) = (a + h)² - a² - 2ah = a² +

2ah + h² - a² - 2ah = h²

3) E(h) ≤ 10-6  h² ≤ 10-6  h ≤ 10-3 Première S Exercices sur la dérivation 2010-2011

CORRECTION

5

Exercice 4

A l"aide d"un grapheur, on a obtenu la

courbe représentant la fonction f : ?? -x

4 + 2x² + x et la tangente T à cette

courbe au point A(-1;0). Cette tangente semble être tangente à la courbe en un second point B. Le prouver.

Déterminons une équation de la droite T :

y = f"(-1)(x + 1) + f(-1) f"(x) = -4x

3 + 4x + 1

f"(-1) = 4 - 4 + 1 = 1 f(-1) = 0

Une équation de T est donc y = x + 1

Déterminons une équation de la tangente à la courbe au point d"abscisse 1 : y = f"(1) (x - 1) + f(1) f"(1) = -4 + 4 + 1 = 1 et f(1) = -1 + 2 + 1 = 2

D"où : y = x - 1 + 2

Soit y = x + 1

On reconnait une équation de T.

Les points d"abscisses -1 et 1 admettent donc une tangente commune à la courbe.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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