[PDF] Corrigé : Exercices de dérivation (Première ES)

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Corrigé : Exercices de dérivation

(Première ES)

Exercice 1 : (Utilisation des formules)

Dériver les fonctions suivantes en précisant le domaine de dérivabilité :

1) f(x) = -5x + 2f est dérivable sur ℝ et f '(x) = - 5

2) g(x) = 2x2 - 4x + 3g est dérivable sur ℝ et g '(x) = 2(2x) - 4

= 4x - 4

3) h(x) = 6

xh est dérivable sur ℝ\{0} et h '(x) = -6 x2

4) i(x) = 2√xi est dérivable sur ]0;+∞[ et i '(x) = 2×1

2√x =

1 √x

5) j(x) = (3x + 2)2

= 9x2 + 12x + 4j est dérivable sur ℝ et j '(x) = 9×2x + 12 = 18x + 12

6) k(x) = 7x+1

x-3k est dérivable sur ℝ\{3}. On pose u(x) = 7x + 1 v(x) = x - 3 u '(x) = 7 et v '(x) = 1. On applique la formule (u v) ' = u'v-uv' v2

D'où : k '(x) = 7(x-3)-(7x+1)

(x-3)2 = 7x-21-7x-1 (x-3)2 = -22 (x-3)2

7) l(x) = 5

x2+1l est dérivable sur ℝ . On pose : u(x) = 5 et v(x) = x2 + 1 u '(x) = 0 v '(x) = 2x . On applique la formule (u v) ' = u'v-uv' v2 l '(x) = -5×2x (x2+1)2 = -10x (x2+1)2

8) m(x) = 4x

√xm est de la forme uxv. On pose u(x) = 4x et v(x) = √x u '(x) = 4 et v '(x) = 1 2 √x. On utilise (uv)' = u'v + uv'

D'où : m '(x) = 4

√x + 4x

2√x =

4 √x + 2x√x

9) n(x) = 2

3x3 - 5

4x2 + 2n est dérivable sur ℝ et n '(x) = 2

3×3x2 - 5

4×2x = 2x 2 - 2,5x

10) o(x) =

9x x2+3o est dérivable sur ℝ. On pose u(x) = 9x et v(x) = x2 + 3 u '(x) = 9 et v '(x) = 2x.

On utilise (u

v) ' = u'v-uv' v2 o '(x) = 9(x2+3)-2x(9x) (x2+3)2 = 9x2+27-18x2 (x2+3)2 = -9x2+27 (x2+3)2

Exercice 2 : Tangente + Variations

Soit la fonction f définie par f(x) = 5x+9

3x-41)Ensemble de définition de f :

f est définie si et seulement si 3x - 4 ≠ 0

Or, 3x - 4 = 0 si et seulement si x = 4

3

Donc :

Df = ℝ\{4

3}

2)f est dérivable sur Df . On pose u(x) = 5x + 9 et v(x) = 3x - 4

u '(x) = 5 et v '(x) = 3 . On utilise la formule : (u v) ' = u'v-uv' v2

D'où : f '(x) =

5(3x-4)-3(5x+9)

(3x-4)2 = 15x-20-15x-27 (3x-4)2 = -47 (3x-4)2

3) L'équation réduite de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse - 1 :

(T-1) : y = f '(-1)(x - (-1)) + f(-1) (T-1) : y = -47 (3(-1)-4)2(x + 1) + 5×(-1)+9

3×(-1)-4

(T-1) : y = - 47 49x -
47
49 +
4 -7Donc : (T-1) : y = - 47 49x -
75
49

4) Variations de f sur ]

4

3;+[ :

On sait que f '(x) = -47

(3x-4)2. - 47 < 0 et (3x - 4)2 > 0 sur ]4

3;+[

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