[PDF] Sommaire 1. Nature dune intégrale impropre

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Intégrale impropre ou généralisée8 - 1Sommaire1. Nature d"une intégrale impropre 1

1.1. Locale intégrabilité . . . . . . . . . . . .11.2. Intégrale convergente . . . . . . . . . . .11.3. Exemples fondamentaux . . . . . . . . .21.4. Relation de Chasles . . . . . . . . . . . .21.5. Cas de problème aux deux bornes . . .31.6. Linéarité des intégrales convergentes . .31.7. Limite finie en un point fini . . . . . . .32. Intégrale des fonctions positives 3

2.1. Critère de comparaison . . . . . . . . . .42.2. Critère d"équivalence . . . . . . . . . . .42.3. Théorème des 3 conditions . . . . . . . .53. Intégrales absolument convergentes 5

3.1. Intégrale absolument convergente . . .53.2. Condition suffisante d"intégrabilité . . .53.3. Semi convergence . . . . . . . . . . . . .53.4. Un procédé utile . . . . . . . . . . . . . .53.5. Cas des fonctions de signe constant . . .64. Intégration et Dérivation 6

4.1. Intégration par parties . . . . . . . . . .64.2. Changement de variable . . . . . . . . .75. Intégrales dépendant d"un paramètre 8

5.1. Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . .85.2. ClasseC1. . . . . . . . . . . . . . . . . .85.3. Ensemble de définition . . . . . . . . . .96. How to... 10

6.1. Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . .106.2. Intégrale généralisée à paramètre . . . .117. Compléments 11

7.1. Avec Maple . . . . . . . . . . . . . . . .117.2. Les mathématiciens du chapitre . . . . .11IL s"agit de généraliser la notion d"intégrale aux cas où•fest continue, en général non bornée, sur un intervalle borné du type[a,b[ou]a,b], ou bien•fest continue sur un intervalle du type[a,+∞[ou]-∞,b].

Sauf indication particulière, on appelleraIun intervalle de l"un des quatre types précédents. On écrira les

théorèmes pourI=[a,b[ouI=[a,+∞[. Dans les autres cas, on adaptera les énoncés des théorèmes, ce qui

est toujours facile.

1. Nature d"une intégrale impropre

1.1. Locale intégrabilitéDéfinition :On dit quefest localement intégrable surI?

?α,β, tel que[α,β]?I,fest intégrable sur[α,β].

En pratique,fest le plus souvent continue surIce qui implique le fait qu"elle est localement intégrable surI.

Ceci sera le début invariable de l"étude d"une intégrale généralisée.

1.2. Intégrale convergenteDéfinition :Soitflocalement intégrable sur[a,b[.

On dit l"intégrale defsur[a,b[convergeouexiste?limx→b-? x af(t)dtexiste (au sens de limite finie).

On note cette limite

b

af(t)dt, ce qui estnouvellenotation.Notons que cette nouvelle notation est parfaitement compatible avec l"ancienne, il suffit de regarder ce

qui se passe quandfest continue sur[a,b].Définition :Soitflocalement intégrable sur[a,+∞[.

On dit l"intégrale defsur[a,+∞[convergeouexiste?limx→+∞? x af(t)dtexiste (au sens de limite finie).

On note cette limite

af(t)dt, ce qui estnouvellenotation.Cours de Spé T.S.I.c?Christophe Caignaert - Lycée Colbert - 59200 Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

8 - 2Intégrale impropre ou généraliséeDéfinition :Quand une intégrale ne converge pas, on dit qu"ellediverge.

La nature d"une intégrale généralisée est le fait qu"elle converge ou qu"elle diverge.Quand on a une intégrale, il nous faut maintenant déterminer, au départ, s"il s"agit d"une intégrale simple

ou d"une intégrale généralisée.•A une borne infinie, c"est toujours une intégrale généralisée.•A une borne finie, il faut regarder au moins si la fonction est définie, ou pas.Dans le cas où les théorèmes qui suivent se révèlent inapplicables ou difficiles à appliquer, on peut

toujours essayerde travailler en primitive, sans bornes aux intégrales, et calculer au bout du compte les

limites de ces primitives... Cela est même quelquefois indispensable, en particulier avec les intégrations

par parties. Après tout, on ne fait alors que revenir à la définition qu"on vient de donner.1.3. Exemples fondamentauxThéorème :(Riemann)?1

01tαdtconverge?α<1On a la même chose en un pointa:?b

a1|t-a|αdtconverge?α<1Théorème :(Riemann)?+∞

11tαdtconverge?α>1Théorème :?1

0ln(t)dtconverge.Théorème :?+∞

0e-αtdtconverge?α>0.

Démonstration :On cherche pour chacune de ces fonctions une primitive, ce qui est facile. On cherche ensuite

à quelle condition cette primitive a une limite finie à la borne considérée.Enfin, on veillera donc à ne pas confondre:•la convergence de lafonctionau point considéré, et•la convergence de sonintégrale.

Les deux notions sontindépendantes... comme le prouve le tableau page ci-contre:1.4. Relation de Chasles des intégrales convergentesThéorème :flocalement intégrable sur[a,b[avecc?]a,b[, alors?

b af(t)dtet? b cf(t)dtsont de même nature etsi elles convergent, on a:? b af(t)dt=? c af(t)dt+? b cf(t)dt

Démonstration :Il suffit d"écrire la relation de Chasles pour les intégrales simples entreaetxet de passer à la

limite quandx→b-On a bien sûr le même théorème sur tous les autres types d"intervalles.Cours de Spé T.S.I.c?Christophe Caignaert - Lycée Colbert - 59200 Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Intégrale impropre ou généralisée8 - 3TAB. 1 -Limite d"une fonction et convergence de son intégraleIntégraleSingularitéLimite de la fonctionConvergence de l"intégrale?+∞

11t2dt+∞0oui?+∞

11⎷tdt+∞0non?1

01⎷tdt0+∞oui?1

01t2dt0+∞non1.5. Cas de problème aux deux bornes

Il se peut que l"intégrale soit généralisée aux 2 bornes. Il faut traiter une borne à la fois. On coupe l"intégrale en

2 arbitrairement en un pointc.

On dira que l"intégrale converge?chacune des 2 intégrales converge.

Par exemple?

-∞f(t)dtconverge?? 0 -∞f(t)dtet?

0f(t)dtconvergent.

1.6. Linéarité des intégrales convergentesThéorème :f,gdont les intégrales convergent surI,λ,μ?K, alors

λ.f+μ.ga une intégrale convergente surIet:? I (λ.f+μ.g)(t)dt=λ? I f(t)dt+μ? I g(t)dt.

Démonstration :C"est un simple passage à la limite sur les primitives1.7. Limite finie en un point fini (faux problème)Théorème :flocalement intégrable sur[a,b[, borné, telle quefest prolongeable par continuité enb, c"est à

dire telle quefa une limite finie enb-, alors:? b af(t)dtconverge. Démonstration :fest prolongeable par continuité enb-, on note?fla prolongée sur[a,b], pourx?]a,b[,? x af(t)dt=? x a?f(t)dtqui tend vers l"intégrale simple? b a?f(t)dtpar continuité de la primi- tive.

Ce qui prouve que?

b af(t)dtconverge.Exemple :?1

0sinttdtconverge.

2. Intégrale des fonctions positives

Ce sont bien sûr des fonctions à valeurs réelles.Cours de Spé T.S.I.c?Christophe Caignaert - Lycée Colbert - 59200 Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

8 - 4Intégrale impropre ou généralisée2.1. Critère de comparaisonThéorème :?t?[a,b[, 0?f(t)?g(t)

b ag(t)dtconverge?? b af(t)dtconverge b af(t)dtdiverge?? b ag(t)dtdivergeThéorème :?t?[a,+∞[, 0?f(t)?g(t) ag(t)dtconverge?? af(t)dtconverge af(t)dtdiverge?? ag(t)dtdiverge

Démonstration :A chaque fois, seule la première assertion est à montrer. SoitFetGles primitives defetg

qui s"annulent ena. On aGqui est croissante majorée car l"intégrale degconverge. D"autre part, en tout pointtdeI,F(t)?G(t)etFest aussi croissante.

Ceci prouve queFest croissante majorée et donc converge. Enfin, l"intégrale defconverge surI.Exemple :On va déterminer la convergence de?

0sin

2t1+t2dt.

La fonctiont→sin2t1+t2est continue, donc localement intégrable sur[0,+∞[. On a un problème de conver-

gence, ou une singularité, en+∞.

Par ailleurs, elle estpositiveet on va montrer la convergence de l"intégrale en utilisant le critère de compa-

raison:?t?[0,+∞[, 0?sin2t1+t2?11+t2. Or?

011+t2dtconverge par existence d"une limite finie à la

primitive arctanten+∞.

Ceci prouve que?

0sin

2t1+t2dtconverge.

2.2. Critère d"équivalenceThéorème :f(t)≂b-g(t)

f(t)de signe constant au voisinage deb-? b af(t)dtet? b ag(t)dtsont de même nature.Théorème :f(t)≂+∞g(t) f(t)de signe constant au vois. de+∞? af(t)dtet? ag(t)dtsont de même na- ture. Démonstration :Compte tenu de l"équivalence, il existea?tel que sur[a?,b[ (ou sur[a?,+∞[), on a12g(t)?f(t)?2g(t).

Le caractère local de la convergence d"une intégrale, le critère de comparaison et la linéarité fournissent le

résultat.Exemple :On va déterminer la convergence de? 1

0sin⎷ttdt.

La fonctiont→sin⎷ttest continue, donc localement intégrable sur]0,1]. On a un problème de convergence,

ou une singularité, en 0.

Par ailleurs, elle estpositiveet on va montrer la convergence de l"intégrale en utilisant le critère d"équivalence:

sin⎷tt≂01⎷t. Or? 1

0dt⎷tconverge par existence d"une limite finie à la primitive 2⎷ten 0.Cours de Spé T.S.I.c?Christophe Caignaert - Lycée Colbert - 59200 Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Intégrale impropre ou généralisée8 - 5Ceci prouve que? 1

0sin⎷ttdtconverge.

2.3. Théorème des 3 conditionsThéorème :?t?[a,b[,f(t)?0

fcontinuesur[a,b[?b af(t)dtconverge b af(t)dt=0?

bpeut être une borne finie ou+∞, on a bien sûr le même théorème sur]a,b], queasoit fini ou-∞.

On utilise souvent ce théorème, par exemple quand on a un produit scalaire défini par une intégrale, pour

montrer le caractère défini-positif de la forme quadratique.

3. Intégrales absolument convergentes

3.1. Intégrale absolument convergenteDéfinition :flocalement intégrable surI, à valeur dansK, on dit que

l"intégrale defest absolument convergente?l"intégrale de|f|converge absolument.Exemple :?+∞

1sintt2dtconverge.

3.2. Condition suffisante d"intégrabilitéThéorème :flocalement intégrable surI, dont l"intégrale converge absolument surI, alors

l"intégrale defconverge surIet:????? I f(t)dt?????? I |f(t)|dt

Démonstration :On va le montrer pour une fonction qui est à priori à valeurs complexes.•Comme|Ref|?|f|et|Imf|?|f|, par linéarité, il suffit de le montrer pour les fonctions à valeurs

réelles.•Pourfà valeurs réelles, on notef+=max(f,0)etf-=max(-f,0). Ce sont deux fonctions positives, 0?f+?|f|et 0?f-?|f|, dont l"intégrale converge par majoration.

Et commef=f+-f-, on obtient par linéarité l"intégrale defqui converge surI.3.3. Semi convergenceDéfinition :On dit que

l"intégrale defest semi convergente surI??l"intégrale defsurIconverge, et l"intégrale de |f|surIdivergeExemple :?+∞

1sinttdtest semi convergente.

3.4. Un procédé utile•Si on aα<1 tel que limt→0tαf(t) =0, alors|f(t)|=o?1tα?

, et? 1

0f(t)dtconverge absolument donc

converge.Cours de Spé T.S.I.c?Christophe Caignaert - Lycée Colbert - 59200 Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

8 - 6Intégrale impropre ou généralisée•Si on aα>1 tel que limt→+∞tαf(t) =0, alors|f(t)|=o?1tα?

, et?

1f(t)dtconverge absolument donc

converge.Ceci n"est pas un théorème, il faut à chaque fois refaire la démonstration...

Il faut y observer qu"on travaille avec une fonction positive ou montrer la convergence absolue.Exemple :On va déterminer la convergence de?

0lnt1+t2dt.

La fonctiont→lnt1+t2est continue, donc localement intégrable sur]0,+∞[. On a un problème de conver-

gence, ou une singularité, en 0 et en+∞.

En 0,⎷t????lnt1+t2?

???tend vers 0, d"où????lnt1+t2? ???=o?1⎷t? et ainsi, par comparaison,? 1

0lnt1+t2dtconverge abso-

lument donc converge.

En+∞,t3/2????lnt1+t2?

???tend vers 0, d"où????lnt1+t2? ???=o?1t3/2? et ainsi, par comparaison,?

1lnt1+t2dtconverge

absolument donc converge.

Ceci prouve que?

0lnt1+t2dtconverge.

3.5. Cas des fonctions de signe constantThéorème :Sifest de signe constant sur[a,b[, alors:?

b af(t)dt,? b a-f(t)dtet? b a|f(t)|dtsont de même nature. La convergence de l"intégrale équivaut à sa convergence absolue. Démonstration :fou-fest positive, l"une des deux est:|f|.

La linéarité des intégrales convergentes permet de conclure.Quand on utilise ce théorème, on écritclairementque dans le cas d"une fonctionde signe constant, la

convergence de son intégrale équivaut à sa convergence absolue.4. Intégration et Dérivation

4.1. Intégration par partiesThéorème :uetvde classeC1sur[a,b[

lim t→b-u(t)v(t)existe et est finie? b au(t)v?(t)dtet? b au?(t)v(t)dtsont de même nature etsi elles convergent:? b au(t)v?(t)dt=? u(t)v(t)? b- a b au?(t)v(t)dtThéorème :uetvde classeC1sur[a,+∞[ lim t→+∞u(t)v(t)existe et est finie? au(t)v?(t)dtet? au?(t)v(t)dtsont de même nature etsi elles convergent:? au(t)v?(t)dt=? u(t)v(t)? a

au?(t)v(t)dtCes théorèmes sont à utiliser avec soin. La rédaction se faittoujoursen deux temps•une partie sur la nature des intégrales et•en cas de convergence, l"égalité proprement dite.Cours de Spé T.S.I.c?Christophe Caignaert - Lycée Colbert - 59200 Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Intégrale impropre ou généralisée8 - 7Démonstration :On le montre dans le premier cas, la démonstration est la même dans les autres cas. On a

toujours:? x au(t)v?(t)dt=? u(t)v(t)? x a x au?(t)v(t)dt

Siu(x)v(x)a une limite finie quandx→b-, les deux intégrales ont toutes les deux une limite finie ou toutes

les deux pas de limite finie. Elles sont donc de même nature.

Dans le cas où elles convergent, en passant à la limite quandx→b-, on obtient l"égalité annoncée.Exemple :?+∞

1sinttdtconverge.

En effet

sinttest continue sur[1,+∞[, donc localement intégrable sur[1,+∞[ C"est une intégrale généralisée en+∞. Montrons sa convergence grace au théorème d"intégration par parties. On poseu(t)=1tetv(t)=-cost, on a: limt→+∞1t× -cost=0 qui est une limite finie, ce qui prouve que

1sinttdtet?

1costt2dtsont de même nature.

Or????costt2?

????1t2et?

11t2dtconverge par Riemann.

Donc, par Riemann, comparaison, convergence absolue et intégration par parties,

1sinttdtconverge.

4.2. Changement de variableThéorème :βétant une borne finie ou+∞,

fcontinue surI ?monotone de classeC1sur[α,β[ ([α,β[)?I?

αf(?(t))??(t)dtet?

?(α)f(u)dusont de même nature etsi elles convergent:?

αf(?(t))??(t)dt=?

?(α)f(u)duCe théorème est à utiliser avec soin. La rédaction se faittoujoursen deux temps•une partie sur la nature des intégrales et•en cas de convergence, l"égalité proprement dite.Démonstration :On a toujours:?

x

αf(?(t))??(t)dt=?

?(x) ?(α)f(u)du

Ce sont deux fonctions continues dexet égales.

Elles ont donc toutes les deux une limite finie ou pas de limite finie quandx→β.

Dans le cas où elles ont une limite finie, par passage à la limite, on a l"égalité annoncée.Un changement de variable peut transformer une intégrale simple en intégrale généralisée et vice-versa.

012+costdtpour lequelu=tant2donne?

0... du.Exemple :On va déterminer la convergence de?

0sin?et?dt.

La fonctiont→sin?et?est continue, donc localement intégrable sur[0,+∞[. On a un problème de conver-

gence, ou une singularité, en+∞. On va montrer la convergence de cette intégrale au moyen d"un changement de variable: on poseu=et qui est bienmonotone de classeC1, sin?et?dt=sinuuduet ainsi?

0sin?et?dtest de même nature que

1sinuudu.Cours de Spé T.S.I.c?Christophe Caignaert - Lycée Colbert - 59200 Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

8 - 8Intégrale impropre ou généraliséePar ailleurs, on a montré que?

1sinuuduconverge et donc?

0sin?et?dtconverge.

5. Intégrales dépendant d"un paramètre

Il y a deux théorèmes où la fonction dépend d"un paramètre. Ces deux théorèmes vont être admis.

Il s"agit d"étudier la continuité et la classeC1de:F:x?→? b af(x,t)dtou de:F:x?→? af(x,t)dt selon que l"on intégre sur [a,b[ou sur[a,+∞[. Dans tous les cas,Jest l"intervalle de variation dex.

5.1. ContinuitéThéorème :Fdéfinie parF(x) =?

b af(x,t)dt f:J×[a,b[→R (x,t)?→f(x,t)? avecfcontinue surJ×[a,b[,

Si il existe?telle que?

??x?J,?t?[a,b[,|f(x,t)|??(t)?b a?(t)dtconverge? alorsFest définie et continue surJ.Théorème :Fdéfinie parF(x) =? af(x,t)dt f:J×[a,+∞[→R (x,t)?→f(x,t)? avecfcontinue surJ×[a,+∞[,

Si il existe?telle que:?

a?(t)dtconverge? alorsFest définie et continue surJ.

Il faut vérifier avec soin les hypothèses du théorème. Parfois, la fonction?est??annoncée??dans les questions

précédentes. La convergence de cette intégrale quandxest fixé s"obtient directement par convergence absolue

et comparaison à la fonction?. Le théorème, quand il s"applique, montre donc cette convergence...Exemple :SoitFdéfinie parF(x)=?

0dtt2+x2dont on va montrer qu"elle est continue surR?+.

x,t)→1t2+x2est bien continue surR?+×[0,+∞[comme fonction de 2 variables. On prend maintenanta>0 etx?[a,+∞[,?(x,t)?[a,+∞[×[0,+∞[,????1t2+x2? ????1t2+a2=?(t)(qui ne dépend pas dex), et d"autre part?

01t2+a2dtconverge.

Ceci prouve queFest continue sur tous les intervalles[a,+∞[aveca>0.

Enfin,Fest continue sur]0,+∞[

5.2. ClasseC1

Pour montrer queFest de ClasseC1, on commence toujours par montrer queFest continue surJ.Théorème :Fdéfinie parF(x) =?

b af(x,t)dt f:J×[a,b[→R (x,t)?→f(x,t)? avecfcontinue surJ×[a,b[,

Si il existe?telle que,?

??x?J,?t?[a,b[,|f(x,t)|??(t)?b a?(t)dtconverge?

alorsFest définie et continue surJ.Cours de Spé T.S.I.c?Christophe Caignaert - Lycée Colbert - 59200 Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Et si il existeψtelle que:?

b aψ(t)dtconverge? alorsFest de classeC1surJet:F?(x) =? b af(x,t)dt f:J×[a,+∞[→R (x,t)?→f(x,t)? avecfcontinue surJ×[a,+∞[,

Si il existe?telle que,?

a?(t)dtconverge? alorsFest définie et continue surJ.

Et si il existeψtelle que:?

aψ(t)dtconverge? alorsFest de classeC1surJet:F?(x) =?

Ce sont des fonctions réelles positives dont les intégrales convergent.Exemple :On reprend l"exemple précédent avecFdéfinie parF(x)=?

0dtt2+x2dont on va montrer main-

tenant qu"elle est de classeC1surR?+. On ne remontre pas la continuité déjà étudiée.

x,t)→1t2+x2admet une dérivée partielle par rapport àxqui est-2x(t2+x2)2continue surR?+×[0,+∞[

comme fonction de 2 variables. On prend maintenantA>a>0 etx?[a,A],?(x,t)?[a,A]×[0,+∞[,? ????-2x(t2+x2)2? ?????2A(t2+a2)2=ψ(t) (qui ne dépend pas dex), et d"autre part?

02A(t2+a2)2dtconverge.

Ceci prouve queFest de classeC1sur tous les intervalles[a,A]avecA>a>0,quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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