[PDF] 2.5 Applications de lintégrale de Riemann 28 a pour primitive sur [0

View - Download 2.5 Applications de lintégrale de Riemann 28 a pour primitive sur [0

Previous PDF

Next PDF

:2.5Applications del'intégralede Riemann28 apourprimitive sur[0,1]lafonction F(x)= x 2 sin 1 x six2]0,1]

0si x=0

Onr emarqueraquefn'estpas continueen0, maiselle estRiemann-intégrable,car elleestest bornéeetcontinue sur]0,1](voirProposition 2.56).

4)Unexemplede fonctionvérifiantla propriétédes valeursintermédiaires etquin'ad-

metpasde primitive,estobtenu enmodifianttrès légèrementla fonctionprécédente enposant: g(x)= 2xsin 1 x cos 1 x six2]0,1] 1 2 six=0 Lafo nctiongnepeutadmettr ede primitive.Sionsupposequeg,admet sur[0,1]une primitiveG,lafonct ionGFseraitunepri mitivedegf,cequ inepeut pasêtrele caspuisque (gf)(x)=

0six2]0,1]

1 2 six=0 nevérifiepas lapropriété desvaleursintermédiair es.

5)Unefonctionnon-intégrable ausensde Riemannpeutavoir desprimitives: lafonc-

tionf:[0,1]!Rdéfiniepar: f(x)= 2xsin 1 x 2 2 x cos 1 x 2 six2]0,1]

0six=0

n'estpas bornée(lim n!+• f 1 p 2kp =•),maiselle auneprimitive àsavoir la fonction F(x)=

F(x)=x

2 sin 1 x 2 six2]0,1]

0six=0

Ainsi,on peutconclure, quesurun intervalle[a,b],l'ensembledes fonctionsqui vérifient lapropriétés desvaleursintermédiairescontientstrictement celuidesfonctions quiad- mettentdesprimitives etcedernier contientstrictementcelui desfonctionscontinues ;et qu'iln'ya decomparaisonpour l'inclusion,entre l'ensembledefonctions intégrablesau sensdeRiemann sur[a,b]etceluides fonctionsqui admettentdesprimitives sur[a,b].

2.5Applicationsde l'intégraledeRiemann

2.5.1Lethéorème fondamentaldel'analyse (oudu calculintégral)

Lethéorème fondamentaleditque ladérivationet lecalculde primitive(primitiva- tion)soninverse l'unede l'autre

2.74T HÉORÈME(LETHÉORÈMEFONDAMENTAL)

Soitf:[a,b]!Runefonctiondérivable tellequesa dérivéef 0 soitRiemann-intégrable sur:[a,b],alors Z b a f 0 (x)dx=f(b)f(a). :2.5Applications del'intégralede Riemann29

Démonstration:Soitn2N

ets n ={a=x 0 D'autrepart,commefestdérivable sur[x k ,x k+1 ],d'aprèsle théorèmedesaccr oisse- mentsfinis,il existex k 2]x k ,x k+1 [telque f(x k+1 )f(x k )=f 0 (x k )(x k+1 x k

Alorslasomme deRiemannassociée àf

0 ,s n etx=(x 1 ,...,x n1 ),vérifie S(f,s n ,x)= n1 k=0 f 0 (x k )(x k+1 x k n1 k=0 [f(x k+1 )f(x k )]= f(b)f(a).

Commef

0 estRiemann-integrable,on aura(corollair e2.68) Z b a f 0 (x)dx=lim n!+• S(f,s n ,x)=f(b)f(a). Ona

2.76COROLLAIRE

Soitf:[a,b]!RunefonctionRiemann-intégrable etqui admetsur[a,b]uneprimitive

F:[a,b]!R,alors

Z b a f(x)dx=F(b)F(a). Notation:Soitf:[a,b]!RunefonctionRiemann-intégrable. Sicetdsontdans [a,b],onpose, sic>d, Z d c f(x)dx= Z c d f(x)dx. Aveccetteconvention,l'on a,pourtous u,v,wdans[a,b]lar elationdeChasles: Z w u f(x)dx= Z v u f(x)dx+ Z w v f(x)dx,

Ondéduitdu Théorème2.74:

2.77C OROLLAIRE

Soitf:[a,b]!Runefonctiondérivable tellequef

0 (x)=0,pourtout x2[a,b].Alors festunefonction constante.

Démonstration:Pourtoutc2[a,b],ona 0=

Z c a f 0 (x)dx=f(c)f(a),d'oùf(c)=f(a) i.e.festconstante. f(x)= 2xsin 1 x cos 1 x six2]0,1]

0six=0

estRiemann-intégrablesur [0,1]etadmetune primitive F(x)= x 2 sin 1 x six2]0,1]

0six=0

Onpeutalors calculersonintégrale sur[0,1]àl'aidede Fetonobtient : Z 1 0 f(x)dx=F(1)F(0)=sin1. :2.5Applications del'intégralede Riemann30 Théorème2.74nes'appliquepas, parexemplesi f:[0,1]!Restdéfiniepar : f(x)= 2xsin 1 x 2 2 x cos 1 x 2 six2]0,1]

0six=0

elleadmetune primitiveàsavoir F(x)=

F(x)=x

2 sin 1 x 2 six2]0,1]

0six=0

maisellen'est pasintégrablesur [0,1]puisqu'ellen'estpas bornée.

2.81THÉORÈME

Soitf:[a,b]!RunefonctionRiemann-intégrable. Soitc2[a,b].Pourtout x2[a,b], onpose F(x)= Z x c f(t)dt.Alors,

1)Lafonction FestM-Lipschitziennesur[a,b],oùM=sup

x2[a,b] |f(x)|. Festen particulieruniformémentcontinue sur[a,b].

2)Sideplus festcontinue enunpoint x

0

2[a,b]:

Festalors dérivableenx

0 etF 0 (x 0 )=f(x 0

Démonstration:

1)Soientx,x

0

2[a,b],

|F(x)F(x 0 Z x c f(t)dt Z x 0 c f(t)dt Z x x 0 f(t)dt M|xx 0

2)Soith2R

telsquex 0 +h2[a,b].Ona alors: F(x 0 +h)F(x 0 h f(x 0 1 h Z x 0 +h c f(t)dt Z x c f(t)dt]f(x 0 1 h Z x 0 +h x 0 f(t)dtf(x 0 1 h Z x 0 +h x 0 [f(t)f(x 0 )]dx.

Lafonctionfétantcontinueau pointx

0 ,ona :

8e>0,9h

quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

[PDF] dernier délai d inscription uir

[PDF] dernier recensement au niger

[PDF] dernier recensement de la population senegalaise

[PDF] derniere version r link 2

[PDF] dérogation plafonds de ressources logement social

[PDF] déroulement d'une séquence pédagogique

[PDF] déroulement de la guerre d'algérie

[PDF] déroulement élections municipales partielles

[PDF] déroulement oral agrégation interne mathématiques

[PDF] des arguments contre le terrorisme

[PDF] des arguments sur le travail de la femme

[PDF] des cartes pour comprendre le monde corrigé

[PDF] des cartes pour comprendre le monde etude critique de document

[PDF] des cartes pour comprendre le monde évaluation

[PDF] des cartes pour comprendre le monde sujet bac es