Sommaire 1. Nature dune intégrale impropre
Intégrale impropre ou généralisée Intégration et Dérivation ... Définition : Quand une intégrale ne converge pas on dit qu'elle diverge.
1. Préliminaires La convergence de lintégrale impropre ? +? dt est
La convergence de l'intégrale impropre ? +? on peut donc dériver sous l'intégrale : F est deux fois dérivable sur R? et. F (x) = ?.
Intégrales dépendant dun paramètre
Intégrales impropres dépendant d'un paramètre. 3.1. Fonction définie par une intégrale impropre. Comme si cela ne suffisait pas nous avons encore une
INTÉGRALES IMPROPRES
On appelle primitive de f toute fonction F : I ?? R dérivable et dont la dérivée est f : F = f . Le théorème fondamental du calcul di érentiel et intégral
Chapitre 2 - Intégrale de Lebesgue
(pour obtenir ce résultat il faut dériver par rapport à n et trouver le maximum). La fonction majorante est sommable selon Lebesgue (intégrale impropre
Outils Mathématiques - Chapitre VIII : Transformée de Fourier
I : Dérivation complexe et fonctions holomorphes. • Chap. II : Fonctions analytiques et exemples existe en tant qu'intégrale impropre de Riemann. 8 / 60 ...
Outils Mathématiques - Chapitre VI : Transformée de Fourier
I : Dérivation complexe et fonctions holomorphes. • Chap. II : Fonctions analytiques et exemples existe en tant qu'intégrale impropre de Riemann.
Untitled
On doit alors estimer la dérivée. Intégrales impropres et singularités ... Pour montrer que cette intégrale est impropre prenons sa limite supérieure h ...
Math 256-Transformée de Fourier
réelles ou complexes) est de classe C1 si elle est dérivable de dérivée continue. de l'intégrale qui n'est pas vraiment une intégrale impropre.
2.5 Applications de lintégrale de Riemann 28 a pour primitive sur [0
R une fonction dérivable telle que sa dérivée f0 soit Riemann-intégrable sur : [a b]
ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles
Année 2013/2014
Chapitre 6 :
INTÉGRALES IMPROPRES
1 Rappels sur les intégrales dé?nies 2
1.1 Dé?nition de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2 Propriétés de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.3 Primitives & calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32 Notion d"intégrale impropre 4
2.1 Sur un intervalle semi-ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42.2 Exemples de référence : les intégrales de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62.3 Sur un intervalle ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62.4 Sur un intervalle privé d"un nombre ?ni de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72.5 Théorèmes opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83 Propriétés des intégrales impropres convergentes 8
3.1 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83.2 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83.3 Positivité et croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84 Théorème de comparaison pour les fonctions positives 9
4.1 Lemme fondamental et théorème de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94.2 Déclinaisons du théorème de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94.3 Comparaison aux intégrales de Riemann (HP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105 Intégrales absolument convergentes 10
6 Outils de calcul intégral 11
6.1 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127 Comparaison série-intégrale 12
8 Intégrales classiques 12
8.1 Intégrale de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128.2 Fonction Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122 - Intégrales impropres ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles
Dans ce chapitre, on cherche à étendre la notion d"intégrale des fonctions continues sur un segment au
cas de certaines fonctions continues sur un intervalle quelconque deR.1. Rappels sur les intégrales dé?niesDans tout ce paragraphe,a Définition 1.1Une fonction f: [a;b]!Rest ditecontinue par morceauxs"il existe des réels c 0=a âla fonction f est continue sur chaque intervalle ouvert]cj1;cj[,16j6p; âla fonction f admet des limites ?nies à droite en c0, à gauche et à droite en c1;:::;cp1et à gauche en
c p. 1.1 Dé?nition de l"intégrale
L"intégrale d"une fonctionfcontinue par morceaux sur un segment[a;b]a été dé?nie en première année.
Sans forcément connaître les détails techniques, il faut retenir l"idée générale suivante. On commence par
dé?nir l"intégrale d"une fonction en escalier puis on montre qu"en approchantfde plus en plus ?nement
par des fonctionsgen escalier, l"intégraleb ag(t)dtse stabilise autour d"une valeur que l"on prend comme dé?nition deb af(t)dt. Il en découle le résultat important suivant, à connaître car utile en pratique : Théorème 1.2 (Sommes de Riemann ou méthode des rectangles)Soit f: [a;b]!Rune fonction continue. On a :b a f(t)dt=limn!1ban n1P k=0f a+kban =limn!1ban n P k=1f a+kban En particulier, si f est continue sur[0;1], on a :1 0 f(t)dt=limn!11n n1P k=0fkn =limn!11n n P k=1fkn :01010101 rectangles gauche rectangles gauche rectangles droite rectangles droite n=10n=25n=25n=10 1.2 Propriétés de l"intégrale
Proposition 1.3 (Additivité par rapport aux bornes - Relation de Chasles)Soit f:I!Rune fonction continue par morceaux sur un intervalleI. On a :
8a;b;c2I;
c a f(t)dt+ b c f(t)dt= b a f(t)dt: Remarque 1.4La proposition précédente vaut quelque soit la façon dont sont ordonnésa,betc.
Année 2013/2014Intégrales impropres - 3Proposition 1.5 (Linéarité de l"intégrale)Soient f;g: [a;b]!Rdeux fonctions continues par
morceaux. Pour tout2R, on a :b
af(t) +g(t)dt= b a f(t)dt+ b a g(t)dt: Proposition 1.6 (Positivité de l"intégrale)Soit f: [a;b]!Rune fonction continue par morceaux. Si f est positive sur[a;b](i.e. f(x)>0pour tout x2[a;b]), alorsb af(t)dt>0. Remarque 1.7Attention, dansle résultatprécédent etdans lesdeux suivants, ilest essentield"avoira Corollaire 1.8 (Croissance de l"intégrale)Soient f;g: [a;b]!Rdeux fonctions continues par morceaux. Si f6g sur[a;b](i.e. f(x)6g(x)pour tout x2[a;b]), alorsb af(t)dt6b ag(t)dt. Corollaire 1.9 (Inégalité triangulaire intégrale)Soit f: [a;b]!Rune fonction continue par morceaux. On a :
b a f(t)dt6 b a jf(t)jdt: Proposition 1.10Soit f: [a;b]!Rune fonction continue par morceaux. Si f estcontinueetpositive, alors
b a f(t)dt=0() 8x2[a;b];f(x) =0
1.3 Primitives & calcul intégral
Définition 1.11Soit f:I!Rune fonction.
On appelleprimitivede f toute fonctionF:I!Rdérivable et dont la dérivée est f :F0=f . Lethéorème fondamental du calcul di?érentiel et intégralfait le lien entre les notions d"intégration, de
primitivation et de dérivation. Il se présente sous les trois formes suivantes. Théorème 1.12Soient f:I!Rune fonctioncontinueet a2I. La fonction f admet une unique primitiveFqui s"annule en a; elle est donnée par la formule : 8x2I;F(x) =
x a f(t)dt: Les autres primitives de f di?èrent deFpar une constante : il s"agit des fonctions de la formeG=F+k,
k2R. Théorème 1.13Soit f:I!Rune fonctioncontinueetFune primitive de f (pas nécessairement celle de
l"énoncé précédent). On a :
8a;b2I;
b a f(t)dt=F(b)F(a); le second membre étant traditionnellement désigné par le crochetF(b)F(a) =F(t)b t=a. Théorème 1.14Soit f:I!Rune fonctionde classeC1. On a :
8a;x2I;f(x) =f(a) +
x a f0(t)dt: 4 - Intégrales impropres ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles
Théorème 1.15 (Intégration par parties)Soient f;g: [a;b]!Rdeux fonctions de classeC1. On a :b
a f0(t)g(t)dt=f(t)g(t)b t=a b a f(t)g0(t)dt: Théorème1.16(Changementdevariable)Soientf: [a;b]!Runefonctioncontinueet': [;]!R une fonction de classeC1à valeurs dans[a;b]. On a :'()
'()f(t)dt= f'(u)'0(u)du: 2. Notion d"intégrale impropre2.1 Sur un intervalle semi-ouvert
Étant donnésa2Retb2Rtels queaOn dispose alors de la fonction F:x2[a;b[7!
x a f(t)dt; qui estl"unedes primitives def. Définition 2.1(i)On dit que l" intégrale impropre(ou éventuellementgénéralisée) !b a f(t)dt(2.1) estconvergentesiF(x)admet une limite ?nie lorsque x!b, xDans le cas contrair e,l"intégrale impr opre(2.1)est ditedivergente(la notation(2.1)ne désigne alors
qu"un objet abstrait qui n"a pas de valeur numérique). (iii) Le caractèr econv ergentou div ergentde l"intégrale impr opre(2.1)constitue sanature. Remarques 2.2On notera l"analogie avec les séries : F(x) =x af(t)dtreprésente une intégrale partielle pour l"intégrale impropre!b af(t)dt. Dans le cas d"une fonctionfpositive, on dispose de l"interprétation suivante en termes d"aire (cf. ?gure
page suivante). On cherche à dé?nir l"aire de la partieAdu plan (hachurée sur le dessin ci-dessous)
limitée par l"axe des abscsisses, la courbe représentative def, la droite d"équationt=aet, sib2R,
celle d"équationt=b. Pour cela, on considère la partie du plan (représentée en gris) limitée par l"axe
des abscisses, la courbe représentative def, et les droites d"équationst=aett=x; si son aire, égale
à F(x), converge vers`lorsquex!b, on décide de poser!b af(t)dt=`et d"attribuer cette valeur à l"aire deA, alors que dans le cas contraire, on ne dé?nit pas!b af(t)dt. On notera que la dé?nition générale précédente englobe les casb2Retb= +1, autrement dit les cas
d"un intervalle d"intégration borné et d"un intervalle d"intégration non borné. Attention à bien repérer,
dans la suite, les résultats spéci?ques à l"un des deux cas. La ?èche devantbdans la notation (2.1) indique la borne d"impropreté (ou de généralisation). C"est une
notation utile pour développer le cours mais qui sera rapidement délaissée en pratique au pro?t de la
notation plus classiqueb af(t)dt. Année 2013/2014Intégrales impropres - 5O~ı~ȷaCasb2Rx!bbO~ı~ȷaCasb= +1x!+1Exemple 2.3L"intégrale impropre
+1 0 etdtest convergente si, et seulement si, >0. Exemple 2.4Nature de l"intégrale impropre
+1 0 sintdt. Remarque 2.5On dé?nirait de même la nature et, le cas échéant, la valeur de l"intégrale généralisée
b !ag(t)dt d"une fonctiongcontinue sur un intervalle]a;b]aveca2R,b2Rtels queaF:x2I7! b x f(t)dt: du type!b af(t)dtpourront être transposés, à de légères modi?cations près, aux intégrales impropres du
typeb !ag(t)dt, sans que ce ne soit fait explicitement dans ce cours. Exemple 2.6L"intégrale impropre
1 0 lntdtest convergente. Le résultat suivant assure la cohérence de la dé?nition 2.1 avec la notion d"intégrale sur un segment :
Proposition 2.7Si b est réelet si
ef: [a;b]!Rest une fonction continue, alors la restriction f=efj[a;b[ est continue sur[a;b[et l"intégrale impropre!b af(t)dt est convergente, égale àb aef(t)dt. Corollaire 2.8Si b est réelet si f: [a;b[!Rest continue et admet une limite ?nie à gauche en b, alors
l"intégrale impropre!b af(t)dt est convergente. Remarque 2.9Les intégrales impropres qui satisfont les hypothèses du corollaire précédent sont parfois
dites"trivialement convergentes»ou"faussement impropres»: en e?et, la fonctionfpeut alors être
prolongée par continuité au segment[a;b], et son intégrale sur cet intervalle relève alors du cas classique
des intégrales sur un segment. Il est évidemment essentiel que l"intervalle d"intégration soit borné, comme le montre l"exemple de la?
fonction constante égale à 1 sur[0;+1[. Exemple 2.10Nature de l"intégrale impropre
1 01costt
2dt. 6 - Intégrales impropres ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles
Proposition 2.11Pour c2[a;b[donné, les intégrales!b af(t)dt et!b cf(t)dt sont de même nature et, siquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
0=a âla fonction f est continue sur chaque intervalle ouvert]cj1;cj[,16j6p; âla fonction f admet des limites ?nies à droite en c0, à gauche et à droite en c1;:::;cp1et à gauche en
c p. 1.1 Dé?nition de l"intégrale
L"intégrale d"une fonctionfcontinue par morceaux sur un segment[a;b]a été dé?nie en première année.
Sans forcément connaître les détails techniques, il faut retenir l"idée générale suivante. On commence par
dé?nir l"intégrale d"une fonction en escalier puis on montre qu"en approchantfde plus en plus ?nement
par des fonctionsgen escalier, l"intégraleb ag(t)dtse stabilise autour d"une valeur que l"on prend comme dé?nition deb af(t)dt. Il en découle le résultat important suivant, à connaître car utile en pratique : Théorème 1.2 (Sommes de Riemann ou méthode des rectangles)Soit f: [a;b]!Rune fonction continue. On a :b a f(t)dt=limn!1ban n1P k=0f a+kban =limn!1ban n P k=1f a+kban En particulier, si f est continue sur[0;1], on a :1 0 f(t)dt=limn!11n n1P k=0fkn =limn!11n n P k=1fkn :01010101 rectangles gauche rectangles gauche rectangles droite rectangles droite n=10n=25n=25n=10 1.2 Propriétés de l"intégrale
Proposition 1.3 (Additivité par rapport aux bornes - Relation de Chasles)Soit f:I!Rune fonction continue par morceaux sur un intervalleI. On a :
8a;b;c2I;
c a f(t)dt+ b c f(t)dt= b a f(t)dt: Remarque 1.4La proposition précédente vaut quelque soit la façon dont sont ordonnésa,betc.
Année 2013/2014Intégrales impropres - 3Proposition 1.5 (Linéarité de l"intégrale)Soient f;g: [a;b]!Rdeux fonctions continues par
morceaux. Pour tout2R, on a :b
af(t) +g(t)dt= b a f(t)dt+ b a g(t)dt: Proposition 1.6 (Positivité de l"intégrale)Soit f: [a;b]!Rune fonction continue par morceaux. Si f est positive sur[a;b](i.e. f(x)>0pour tout x2[a;b]), alorsb af(t)dt>0. Remarque 1.7Attention, dansle résultatprécédent etdans lesdeux suivants, ilest essentield"avoira Corollaire 1.8 (Croissance de l"intégrale)Soient f;g: [a;b]!Rdeux fonctions continues par morceaux. Si f6g sur[a;b](i.e. f(x)6g(x)pour tout x2[a;b]), alorsb af(t)dt6b ag(t)dt. Corollaire 1.9 (Inégalité triangulaire intégrale)Soit f: [a;b]!Rune fonction continue par morceaux. On a :
b a f(t)dt6 b a jf(t)jdt: Proposition 1.10Soit f: [a;b]!Rune fonction continue par morceaux. Si f estcontinueetpositive, alors
b a f(t)dt=0() 8x2[a;b];f(x) =0
1.3 Primitives & calcul intégral
Définition 1.11Soit f:I!Rune fonction.
On appelleprimitivede f toute fonctionF:I!Rdérivable et dont la dérivée est f :F0=f . Lethéorème fondamental du calcul di?érentiel et intégralfait le lien entre les notions d"intégration, de
primitivation et de dérivation. Il se présente sous les trois formes suivantes. Théorème 1.12Soient f:I!Rune fonctioncontinueet a2I. La fonction f admet une unique primitiveFqui s"annule en a; elle est donnée par la formule : 8x2I;F(x) =
x a f(t)dt: Les autres primitives de f di?èrent deFpar une constante : il s"agit des fonctions de la formeG=F+k,
k2R. Théorème 1.13Soit f:I!Rune fonctioncontinueetFune primitive de f (pas nécessairement celle de
l"énoncé précédent). On a :
8a;b2I;
b a f(t)dt=F(b)F(a); le second membre étant traditionnellement désigné par le crochetF(b)F(a) =F(t)b t=a. Théorème 1.14Soit f:I!Rune fonctionde classeC1. On a :
8a;x2I;f(x) =f(a) +
x a f0(t)dt: 4 - Intégrales impropres ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles
Théorème 1.15 (Intégration par parties)Soient f;g: [a;b]!Rdeux fonctions de classeC1. On a :b
a f0(t)g(t)dt=f(t)g(t)b t=a b a f(t)g0(t)dt: Théorème1.16(Changementdevariable)Soientf: [a;b]!Runefonctioncontinueet': [;]!R une fonction de classeC1à valeurs dans[a;b]. On a :'()
'()f(t)dt= f'(u)'0(u)du: 2. Notion d"intégrale impropre2.1 Sur un intervalle semi-ouvert
Étant donnésa2Retb2Rtels queaOn dispose alors de la fonction F:x2[a;b[7!
x a f(t)dt; qui estl"unedes primitives def. Définition 2.1(i)On dit que l" intégrale impropre(ou éventuellementgénéralisée) !b a f(t)dt(2.1) estconvergentesiF(x)admet une limite ?nie lorsque x!b, xDans le cas contrair e,l"intégrale impr opre(2.1)est ditedivergente(la notation(2.1)ne désigne alors
qu"un objet abstrait qui n"a pas de valeur numérique). (iii) Le caractèr econv ergentou div ergentde l"intégrale impr opre(2.1)constitue sanature. Remarques 2.2On notera l"analogie avec les séries : F(x) =x af(t)dtreprésente une intégrale partielle pour l"intégrale impropre!b af(t)dt. Dans le cas d"une fonctionfpositive, on dispose de l"interprétation suivante en termes d"aire (cf. ?gure
page suivante). On cherche à dé?nir l"aire de la partieAdu plan (hachurée sur le dessin ci-dessous)
limitée par l"axe des abscsisses, la courbe représentative def, la droite d"équationt=aet, sib2R,
celle d"équationt=b. Pour cela, on considère la partie du plan (représentée en gris) limitée par l"axe
des abscisses, la courbe représentative def, et les droites d"équationst=aett=x; si son aire, égale
à F(x), converge vers`lorsquex!b, on décide de poser!b af(t)dt=`et d"attribuer cette valeur à l"aire deA, alors que dans le cas contraire, on ne dé?nit pas!b af(t)dt. On notera que la dé?nition générale précédente englobe les casb2Retb= +1, autrement dit les cas
d"un intervalle d"intégration borné et d"un intervalle d"intégration non borné. Attention à bien repérer,
dans la suite, les résultats spéci?ques à l"un des deux cas. La ?èche devantbdans la notation (2.1) indique la borne d"impropreté (ou de généralisation). C"est une
notation utile pour développer le cours mais qui sera rapidement délaissée en pratique au pro?t de la
notation plus classiqueb af(t)dt. Année 2013/2014Intégrales impropres - 5O~ı~ȷaCasb2Rx!bbO~ı~ȷaCasb= +1x!+1Exemple 2.3L"intégrale impropre
+1 0 etdtest convergente si, et seulement si, >0. Exemple 2.4Nature de l"intégrale impropre
+1 0 sintdt. Remarque 2.5On dé?nirait de même la nature et, le cas échéant, la valeur de l"intégrale généralisée
b !ag(t)dt d"une fonctiongcontinue sur un intervalle]a;b]aveca2R,b2Rtels queaF:x2I7! b x f(t)dt: du type!b af(t)dtpourront être transposés, à de légères modi?cations près, aux intégrales impropres du
typeb !ag(t)dt, sans que ce ne soit fait explicitement dans ce cours. Exemple 2.6L"intégrale impropre
1 0 lntdtest convergente. Le résultat suivant assure la cohérence de la dé?nition 2.1 avec la notion d"intégrale sur un segment :
Proposition 2.7Si b est réelet si
ef: [a;b]!Rest une fonction continue, alors la restriction f=efj[a;b[ est continue sur[a;b[et l"intégrale impropre!b af(t)dt est convergente, égale àb aef(t)dt. Corollaire 2.8Si b est réelet si f: [a;b[!Rest continue et admet une limite ?nie à gauche en b, alors
l"intégrale impropre!b af(t)dt est convergente. Remarque 2.9Les intégrales impropres qui satisfont les hypothèses du corollaire précédent sont parfois
dites"trivialement convergentes»ou"faussement impropres»: en e?et, la fonctionfpeut alors être
prolongée par continuité au segment[a;b], et son intégrale sur cet intervalle relève alors du cas classique
des intégrales sur un segment. Il est évidemment essentiel que l"intervalle d"intégration soit borné, comme le montre l"exemple de la?
fonction constante égale à 1 sur[0;+1[. Exemple 2.10Nature de l"intégrale impropre
1 01costt
2dt. 6 - Intégrales impropres ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles
Proposition 2.11Pour c2[a;b[donné, les intégrales!b af(t)dt et!b cf(t)dt sont de même nature et, siquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
âla fonction f admet des limites ?nies à droite en c0, à gauche et à droite en c1;:::;cp1et à gauche en
c p.1.1 Dé?nition de l"intégrale
L"intégrale d"une fonctionfcontinue par morceaux sur un segment[a;b]a été dé?nie en première année.
Sans forcément connaître les détails techniques, il faut retenir l"idée générale suivante. On commence par
dé?nir l"intégrale d"une fonction en escalier puis on montre qu"en approchantfde plus en plus ?nement
par des fonctionsgen escalier, l"intégraleb ag(t)dtse stabilise autour d"une valeur que l"on prend comme dé?nition deb af(t)dt. Il en découle le résultat important suivant, à connaître car utile en pratique : Théorème 1.2 (Sommes de Riemann ou méthode des rectangles)Soit f: [a;b]!Rune fonction continue. On a :b a f(t)dt=limn!1ban n1P k=0f a+kban =limn!1ban n P k=1f a+kban En particulier, si f est continue sur[0;1], on a :1 0 f(t)dt=limn!11n n1P k=0fkn =limn!11n n P k=1fkn :01010101 rectangles gauche rectangles gauche rectangles droite rectangles droite n=10n=25n=25n=101.2 Propriétés de l"intégrale
Proposition 1.3 (Additivité par rapport aux bornes - Relation de Chasles)Soit f:I!Rune fonction continue par morceaux sur un intervalleI.On a :
8a;b;c2I;
c a f(t)dt+ b c f(t)dt= b a f(t)dt:Remarque 1.4La proposition précédente vaut quelque soit la façon dont sont ordonnésa,betc.
Année 2013/2014Intégrales impropres - 3Proposition 1.5 (Linéarité de l"intégrale)Soient f;g: [a;b]!Rdeux fonctions continues par
morceaux.Pour tout2R, on a :b
af(t) +g(t)dt= b a f(t)dt+ b a g(t)dt: Proposition 1.6 (Positivité de l"intégrale)Soit f: [a;b]!Rune fonction continue par morceaux. Si f est positive sur[a;b](i.e. f(x)>0pour tout x2[a;b]), alorsb af(t)dt>0.Remarque 1.7Attention, dansle résultatprécédent etdans lesdeux suivants, ilest essentield"avoira Lethéorème fondamental du calcul di?érentiel et intégralfait le lien entre les notions d"intégration, de Les autres primitives de f di?èrent deFpar une constante : il s"agit des fonctions de la formeG=F+k, Théorème 1.13Soit f:I!Rune fonctioncontinueetFune primitive de f (pas nécessairement celle deOn a :
b a f(t)dt6 b a jf(t)jdt: Proposition 1.10Soit f: [a;b]!Rune fonction continue par morceaux. Si f estcontinueetpositive, alors
b a f(t)dt=0() 8x2[a;b];f(x) =0
1.3 Primitives & calcul intégral
Définition 1.11Soit f:I!Rune fonction.
On appelleprimitivede f toute fonctionF:I!Rdérivable et dont la dérivée est f :F0=f . 8x2I;F(x) =
x a f(t)dt: On a :
8a;b2I;
b a f(t)dt=F(b)F(a); le second membre étant traditionnellement désigné par le crochetF(b)F(a) =F(t)b t=a. Théorème 1.14Soit f:I!Rune fonctionde classeC1. On a :
8a;x2I;f(x) =f(a) +
x a f0(t)dt: 4 - Intégrales impropres ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles
Théorème 1.15 (Intégration par parties)Soient f;g: [a;b]!Rdeux fonctions de classeC1. On a :b
a f0(t)g(t)dt=f(t)g(t)b t=a b a f(t)g0(t)dt: Théorème1.16(Changementdevariable)Soientf: [a;b]!Runefonctioncontinueet': [;]!R une fonction de classeC1à valeurs dans[a;b]. On a :'()
'()f(t)dt= f'(u)'0(u)du: 2. Notion d"intégrale impropre2.1 Sur un intervalle semi-ouvert
Étant donnésa2Retb2Rtels queaF:x2[a;b[7!
x a f(t)dt; qui estl"unedes primitives def. Définition 2.1(i)On dit que l" intégrale impropre(ou éventuellementgénéralisée) !b a f(t)dt(2.1) estconvergentesiF(x)admet une limite ?nie lorsque x!b, x
Dans le cas d"une fonctionfpositive, on dispose de l"interprétation suivante en termes d"aire (cf. ?gure
page suivante). On cherche à dé?nir l"aire de la partieAdu plan (hachurée sur le dessin ci-dessous)
limitée par l"axe des abscsisses, la courbe représentative def, la droite d"équationt=aet, sib2R,
celle d"équationt=b. Pour cela, on considère la partie du plan (représentée en gris) limitée par l"axe
des abscisses, la courbe représentative def, et les droites d"équationst=aett=x; si son aire, égale
à F(x), converge vers`lorsquex!b, on décide de poser!b af(t)dt=`et d"attribuer cette valeur à l"aire deA, alors que dans le cas contraire, on ne dé?nit pas!b af(t)dt.On notera que la dé?nition générale précédente englobe les casb2Retb= +1, autrement dit les cas
d"un intervalle d"intégration borné et d"un intervalle d"intégration non borné. Attention à bien repérer,
dans la suite, les résultats spéci?ques à l"un des deux cas.La ?èche devantbdans la notation (2.1) indique la borne d"impropreté (ou de généralisation). C"est une
notation utile pour développer le cours mais qui sera rapidement délaissée en pratique au pro?t de la
notation plus classiqueb af(t)dt.Année 2013/2014Intégrales impropres - 5O~ı~ȷaCasb2Rx!bbO~ı~ȷaCasb= +1x!+1Exemple 2.3L"intégrale impropre
+1 0 etdtest convergente si, et seulement si, >0.Exemple 2.4Nature de l"intégrale impropre
+1 0 sintdt.Remarque 2.5On dé?nirait de même la nature et, le cas échéant, la valeur de l"intégrale généralisée
b !ag(t)dt d"une fonctiongcontinue sur un intervalle]a;b]aveca2R,b2Rtels queaaf(t)dtpourront être transposés, à de légères modi?cations près, aux intégrales impropres du
typeb !ag(t)dt, sans que ce ne soit fait explicitement dans ce cours.Exemple 2.6L"intégrale impropre
1 0 lntdtest convergente.Le résultat suivant assure la cohérence de la dé?nition 2.1 avec la notion d"intégrale sur un segment :
Proposition 2.7Si b est réelet si
ef: [a;b]!Rest une fonction continue, alors la restriction f=efj[a;b[ est continue sur[a;b[et l"intégrale impropre!b af(t)dt est convergente, égale àb aef(t)dt.Corollaire 2.8Si b est réelet si f: [a;b[!Rest continue et admet une limite ?nie à gauche en b, alors
l"intégrale impropre!b af(t)dt est convergente.Remarque 2.9Les intégrales impropres qui satisfont les hypothèses du corollaire précédent sont parfois
dites"trivialement convergentes»ou"faussement impropres»: en e?et, la fonctionfpeut alors être
prolongée par continuité au segment[a;b], et son intégrale sur cet intervalle relève alors du cas classique
des intégrales sur un segment.Il est évidemment essentiel que l"intervalle d"intégration soit borné, comme le montre l"exemple de la?
fonction constante égale à 1 sur[0;+1[.Exemple 2.10Nature de l"intégrale impropre
101costt
2dt.6 - Intégrales impropres ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles
Proposition 2.11Pour c2[a;b[donné, les intégrales!b af(t)dt et!b cf(t)dt sont de même nature et, siquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] dernier recensement au niger
[PDF] dernier recensement de la population senegalaise
[PDF] derniere version r link 2
[PDF] dérogation plafonds de ressources logement social
[PDF] déroulement d'une séquence pédagogique
[PDF] déroulement de la guerre d'algérie
[PDF] déroulement élections municipales partielles
[PDF] déroulement oral agrégation interne mathématiques
[PDF] des arguments contre le terrorisme
[PDF] des arguments sur le travail de la femme
[PDF] des cartes pour comprendre le monde corrigé
[PDF] des cartes pour comprendre le monde etude critique de document
[PDF] des cartes pour comprendre le monde évaluation
[PDF] des cartes pour comprendre le monde sujet bac es
