LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
L'élément distinct de
Calculs de déterminants
Si dans une matrice on change un ligne Li en Li −λLj alors le déterminant reste le même. Même chose avec les colonnes. L1. 1 0 2. L2. 3
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de déterminant au cas des matrices carrées 3 × 3. Vidéo https://clipedia.be/videos/determinant-3x3. Cette séquence exploite les notions de produit vectoriel
Rappel. Le polynôme caractéristique dune matrice carrée A est det
17 déc. 2012 §7.7 Trace déterminant et valeurs propres. Rappel. Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique ...
Déterminants
Comme on sait calculer le déterminant de la matrice triangulaire T et les déterminants des matrices élémentaires Ei + 3x3. = 8. On a. A =.. 1. 0 2. −3.
The determinant of a 3 × 3 matrix
We have seen that determinants are important in the solution of simultaneous equations and in finding inverses of matrices. The rule for evaluating the
Valeurs propres vecteurs propres
Remarque. • La matrice A− X In est à coefficients dans [X] donc son déterminant χA(X) appartient à [X].
Determinants 3x3.pdf
%203x3.pdf
Produit vectoriel de 2 vecteurs par la méthode du « déterminant d
"déterminant" d une matrice 3x3 : Disposer dans un tableau (matrice 3x3) les 3 vecteurs unitaires fondamentaux les 3 composantes du premier vecteur du
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3- Calcul du déterminant pour une matrice À toute matrice carrée correspond une valeur appelée le déterminant de que l'on dénote par ou encore
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Le déterminant concerne les matrices carrées Une matrice dont le déterminant est différent de zéro est une matrice dite régulière Ex matrice 3x3
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Donner des exemples Page 35 §4 Formule pour la matrice inverse Les théorèmes précédents se démontrent
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1 Qu'est-ce que le déterminant d'une matrice ? Nous généralisons ici la notion de déterminant que vous connaissez déjà en dimension 2 et 3 La définition que
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4 sept 2019 · La suppression d'une colonne nulle ou d'une ligne nulle préserve le rang Page 17 Calcul pratique du rang d'une matrice : pivot de Gauss
[PDF] Chapitre 7 D´eterminants
i) Le déterminant est linéaire par rapport `a chaque vecteur-colonne les autres étant fixés ii) Si une matrice A a deux vecteurs colonnes égaux
[PDF] CHAPITRE I : MATRICES 1 Trace 2 Déterminant
Théorème 2 2 Une matrice A est inversible si et seulement si son déter- minant est non nul 3 Matrices équivalentes et matrices semblables Si A B ? Mmn(K)
CHAPITRE I : MATRICES
1 Trace
La trace d"une matrice carréeAest la somme de ses coefficients diago- naux : trA=n X i=1A i;i: Proposition 1.1SoientA2Mm;n(K);B2Mn;m(K), alorstrAB= trBA.2 Déterminant
2.122 SiA=0 B @a b c d1 CA, on posedetA=jAj:=adbc.
Propriétés :
i)detAB= detAdetB; ii)detA6= 0,Ainversible et dans ce cas,A1=1detA0 B @db c a1 C A. 2.233 SiA=0 BBBBB@a
11a12a13
a21a22a23
a31a32a331
CCCCCA, on pose
Propriétés :
i)det0 B BBBB@ 1 2 31C
CCCCA=123;
1 ii)dettA= detA; iii) si Aa deux lignes ou deux lignes égales, alorsdetA= 0; iv)detAB= detAdetB; v)detA=P3i=1(1)i+jaijjAijj=P3j=1(1)i+jaijjAijjoùAijest la matrice22obtenue en barrant la ligneiet la colonnej.
Ces propriétes se démontrent directement à partir de la formule de défi- nition; pour la multiplicativité, les calculs sont un peu longs mais pas trop Définition 1 (la comatrice)On poseeA:= ((1)i+jjAijj)1i;j3.Lemme 2.1On a toujours :
A teA=teAA= detAI3Démonstration :On a :q.e.d.Théorème 2.2Une matriceAest inversible si et seulement si son déter-
minant est non nul.3 Matrices équivalentes et matrices semblables
SiA;B2Mm;n(K), alorsA;Bsont équivalentes s"il existeP2Mm(K) etQ2Mn(K)inversibles telles queA=PBQ. SiA;B2Mn(K), alorsA;Bsont semblables s"il existeP2M(K)telle queA=PBP1.Remarques :
a)Les matrices 0
B @0 1 0 01 C Aet0 B @1 0 0 01 CAsont équivalentes car0
B @0 1 0 01 C A0 B @1 1 0 11 C A= 0 B @1 0 0 01 C A. b) si A;Bsont semblables, alorstrA= trB(cartr(PBP1= tr(P1PB) = trB). En particulier les matrices0 B @1 0 0 01 C Aet0 B @0 1 0 01 CAne sont pas semn-
lables. 2 c)Les matrices 0 B @0 1 0 01 C Aet0 B @0 0 1 01 CAsont semblables car0
B @0 1 0 01 C A= P 0 B @0 0 1 01 CAP1avecP=0
B @0 1 1 01 C A.4 Exemple d"application
Soit(fn)n0la suite définie parf0= 0,f1= 1,fn+1=fn+fn1sin1.Alorsfn=1p5
(1+p5 2 )n(1p5 2 )n. En effet, on poseXn:=0 B @f n f n+11 C Asi n0etA:=0 B @0 1 1 11 CA. De sorte que :Xn+1=AXn. Donc,Xn=AX0=
A t(0;1) =la deuxième colonne deA.Or,A=PDP1avecP=0
B @1 1 01 CA;D:=0
B @0 001 CA,:= (1+p5
2 )et0:= (1p5
2Par conséquent,An=PDnP1=P0
B @n0 00n1 CAP1=1p5
0 B @?n0n ?n+10n+11 C A.D"où le résultat
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